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2010-2011学年第一学期徐州市高一数学期末考试试题及答案


江苏省徐州市 2010-2011 学年度第一学期期末考试 -

高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1. sin 300o = ▲ . ▲ .

2. 设集合 U = {1, 2,3, 4,5},A = {1, 2},B = {2, 4} ,则 ? ( A U B ) = U

x π 3.函数 f ( x) = 3 sin( ? ) ( x ∈ R )的最小正周期为 2 4



. ▲ .

4. 已知向量 a 与 b 的夹角为 θ ,且 a = 3 , b = 4 , a + b = 5 ,则 θ = 5. 若函数 f ( x) = a sin x + 3cos x 是偶函数,则实数 a = 6.
3





(lg 5 ? 1)3 ? (lg 2 ? 1) 2 =



. ▲ .

7. 已知函数 f ( x) = (2a ? 1) x ,当 m > n 时, f (m) < f (n) ,则实数 a 的取值范围是

1 8. 已知 tan(π ? α ) = ? ,则 sin α cos α ? 2sin 2 α = 2





1 3 9.在平面直角坐标系中,已知单位圆与 x 轴正半轴交于 A 点,圆上一点 P (? , ), 2 2
则劣弧 AP 的弧长为 ▲ . 10. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点,那么称这个点为“好点”,

1 下面五个 M (1,1), N (1, 2), Q(2,1), G (2, 2), H (2, ) 中,“好点”为 ▲ . 2 ? 1 x x ≥ 4, ?( ) , 11. 已知函数 f ( x) = ? 2 则 f (2 + log 2 3) = ▲ . ? f ( x + 1), x < 4, ? 12. 已知函数 f ( x) = log a (1 ? x) + log a ( x + 3) ,若函数 f ( x ) 的最小值为 ?2 ,则实数 a 的值

B
为 ▲ .

13.如图,已知 Rt△BCD 的一条直角边 BC 与等腰 Rt△ABC 的斜边 BC 重合,若

D

uuuv uuu v uuuv AB = 2 , ∠CBD = 30 , AD = m AB + n AC ,
o

A
第 13 题

C

则m?n =



. .

14.若函数 f ( x) = x + 13 ? 2mx ( m ∈ N? ) 的最大值是正整数 M ,则 M = ▲

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知全集 U = R ,集合 A = { x x > 0} , B = x ?1 < x ≤ 1} ,求: { (1) A I B ; (2) A U B ; (3) A I ?U B .

16.(本小题满分 14 分) 已知向量 a = (1, ?2) , b = (3,4) . (1) 若 (3a ? b) ∥ (a + kb) ,求实数 k 的值; (2) 若 a ⊥ ( ma ? b) ,求实数 m 的值;

17.(本小题满分 14 分)

1 13 π 已知 cos α = ,cos(α ? β ) = ,且 0 < β < α < . 7 14 2
⑴ 求 tan 2α 的值; ⑵ 求 β 的值.

18. (本小题满分 16 分) 已知向量: a = (2 3 sin x,cos x + sin x), b = (cos x,cos x ? sin x) ,函数 f ( x) = a ? b . (1)若 f ( x) = 1 ,求 x ; (2)写出函数 y = f ( x) 的单调增区间;

? π? (3)若 x ∈ ?0, ? ,求函数 y = f ( x) 的值域. ? 2?

19.(本小题满分 16 分) 某汽车生产企业,上年度生产汽车的投入成本为 8 万元/辆,出厂价为 10 万元/辆,年 销售量为 12 万辆.本年度为节能减排,对产品进行升级换代.若每辆车投入成本增加的

1 比例为 x (0 < x ≤ ) , 则出厂价相应提高的比例为 0.75x , 同时预计年销售量增加的比 2
例为 0.5x . (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;? (2)当投入成本增加的比例 x 为何值时,本年度比上年度利润增加最多?最多为多少?

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = x ? a , g ( x) = ax,(a ∈ R ) . (1)若函数 y = f ( x) 是偶函数,求出的实数 a 的值; (2)若方程 f ( x) = g ( x) 有两解,求出实数 a 的取值范围; (3)若 a > 0 ,记 F ( x) = g ( x) ? f ( x) ,试求函数 y = F ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值.

江苏省徐州市 2010-2011 学年度第一学期期末考试 -

高一数学参考答案与评分标准
一、填空题: 1. ?

3 2

2. {3,5}

3. 4π

4. 90o

5. 0

6. ?1

?1 ? 7. ? ,1? ?2 ?

8. 0

2π 10. G, H 3 二、解答题:
9.

11.

1 24

12.

1 2

13. ?1

14. 7

15.(1) A I B = { x 0 < x ≤ 1} . ……………………………………………………………4 分 (2) A U B = { x x > ?1} .………………………………………………………………8 分 (3) A I ?U B = { x x > 1} ……………………………………………………………14 分 ………………………………4 分

16.(1) 3a ? b = (0, ?10) , a + kb = (1 + 3k , ?2 + 4k ) ,

因为 (3a ? b) ∥ (a+kb) , 所以 ?10 ? 30k = 0 ,所以 k = ? .

1 3

…………………7 分

(2) ma ? b = (m ? 3, ?2m ? 4) ,………………………………………………………10 分 因为 a ⊥ ( ma ? b) ,所以 m ? 3 ? 2(?2m ? 4) = 0 , 所以 m = ?1 .…………………………………………………………………………14 分

1 π 17.⑴由 cos α = ,0 < α < , 7 2
4 3 ?1? 得 sin α = 1 ? cos α = 1 ? ? ? = , …………………………………………2 分 7 ?7?
2 2

∴ tan α =

sin α 4 3 = × 7 = 4 3 ,………………………………………………………4 分 cos α 7

于是 tan 2α = ⑵由 0 < β < α <

2 tan α 2× 4 3 8 3 .…………………………………………7 分 = =? 2 2 1 ? tan α 1 ? (4 3) 47

π π 13 ,得 0 < α ? β < ,又∵ 0 < cos(α ? β ) = , 2 2 14
2 2

3 3 ? 13 ? ∴ sin(α ? β ) = 1 ? cos (α ? β ) = 1 ? ? ? = ,………………………………11 分 14 ? 14 ?
∴ cos β = cos[α ? (α ? β ] = cos α cos(α ? β ) + sin α sin(α ? β )

=
∴β =

1 13 4 3 3 3 1 × + × = , 7 14 7 14 2

π . ………………………………………………………………………………14 分 3

18. f ( x) = 2 3 sin x cos x + cos 2 x ? sin 2 x

π = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + ) . ………………………………………………4 分 6 π (1) f ( x ) = 1 , 即 2sin(2 x + ) = 1 , 6 π π π 5π 故 2 x + = + 2k π ,或 2 x + = + 2k π,(k∈ Z) , 6 6 6 6 π 所以 x = k π ,或 x = + k π,(k ∈ Z) .………………………………………………8 分 3
(2) 2 x + 当

π ? π π? π π? ? ∈ ? 2k π ? , 2k π + ? , x ∈ ? k π ? , kπ + ? 时, 即 函数 y = f ( x) 为增函数, 6 ? 2 2? 3 6? ?

π π? ? 所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? k π ? , k π + ? ,(k ∈ Z) .………………12 分 3 6? ? π ? π 7π ? 1 π ? π? (3)因为 x ∈ ?0, ? 所以 2 x + ∈ ? , ? , 所以 ? ≤ sin(2 x ? ) ≤ 1 , 6 ?6 6 ? 2 6 ? 2?
故 f ( x ) 的值域为 [ ?1, 2] .……………………………………………………………16 分 19.(1)由题可知,本年度每辆车的利润为 10(1 + 0.75 x) ? 8(1 + x) 本年度的销售量是 12(1 + 0.5 x) ,故年利润

y = 12(1 + 0.5 x) [10(1 + 0.75 x) ? 8(1 + x) ] ? 1? = ?3 x 2 + 6 x + 24, x ∈ ? 0, ? .………………………………………………………6 分 ? 2?
(2)设本年度比上年度利润增加为 f ( x ) ,则

? 1? f ( x) = ( ? 3x 2 + 6 x +24) ? 24 = ?3( x ? 1) 2 + 3 , 因为 x ∈ ? 0, ? , ? 2?

1 9 ? 1? 在区间 ? 0, ? 上 f ( x) 为增函数,所以当 x = 时,函数 y = f ( x) 有最大值为 . 4 2 ? 2?
故当 x =

1 时,本年度比上年度利润增加最多,最多为 2.25 亿元 .……………16 分 2

20. (1)因为函数 f ( x) = x ? a 为偶函数,所以 f (? x) = f ( x) , 即 ? x ? a = x ? a ,所以 x + a = x ? a 或 x + a = a ? x 恒成立,故 a = 0 .……4 分 (2)方法一: 当 a > 0 时, x ? a ? ax = 0 有两解, 等价于方程 ( x ? a )2 ? a 2 x 2 = 0 在 (0, +∞) 上有两解, 即 (a 2 ? 1) x 2 + 2ax ? a 2 = 0 在 (0, +∞) 上有两解,………………………………6 分 令 h( x) = (a 2 ? 1) x 2 + 2ax ? a 2 ,

? a 2 ? 1 < 0, ? 因为 h(0) = ? a 2 < 0 ,所以 ? 故 0 < a < 1 ;…………8 分 2 2 2 ? ? = 4a + 4a (a ? 1) > 0, ?
同理,当 a < 0 时,得到 ?1 < a < 0 ; 当 a = 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 (?1,0) U (0,1) .…………………………………10 分 方法二: x ? a = ax 有两解, 即 x ? a = ax 和 a ? x = ax 各有一解分别为 x = 若 a > 0 ,则

a a ,和 x = ,…………6 分 1? a 1+ a

a a >0且 > 0 ,即 0 < a < 1 ;………………………………8 分 1? a 1+ a a a 若 a < 0 ,则 <0且 < 0 ,即 ?1 < a < 0 ; 1? a 1+ a 若 a = 0 时,不合题意,舍去.
综上可知实数 a 的取值范围是 (?1,0) U (0,1) .…………………………………10 分 方法三:可用图象,视叙述的完整性酌情给分. (3)令 F ( x) = f ( x) ? g ( x) ①当 0 < a ≤ 1 时,则 F ( x) = a( x 2 ? ax) ,

对称轴 x =

a ? 1? ∈ ? 0, ,函数在 [1, 2] 上是增函数, 2 ? 2? ?

所以此时函数 y = F ( x) 的最大值为 4a ? 2a 2 .

?? a( x 2 ? ax),1 < x ≤ a a ?1 ? ②当 1 < a ≤ 2 时, F ( x) = ? ,对称轴 x = ∈ ? ,1? , 2 2 ?2 ? ? a ( x ? ax), a < x ≤ 2
所以函数 y = F ( x) 在 (1, a ] 上是减函数,在 [ a, 2] 上是增函数,

F (1) = a 2 ? a , F (2) = 4a ? 2a 2 ,
1)若 F (1) < F (2) ,即 1 < a <

5 ,此时函数 y = F ( x) 的最大值为 4a ? 2a 2 ; 3

5 2)若 F (1) ≥ F (2) ,即 ≤ a ≤ 2 ,此时函数 y = F ( x) 的最大值为 a 2 ? a . 3 a ③当 2 < a ≤ 4 时, F ( x) = ?a ( x 2 ? ax) 对称轴 x = ∈ (1, 2] , 2 a a3 , 此时 F ( x) max = F ( ) = 2 4 a ④当 a > 4 时,对称轴 x = ∈ ( 2, +∞ ) ,此时 F ( x) max = F (2) = 2a 2 ? 4a 2
综上可知,函数 y = F ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值

[ F ( x)]max

5 ? 2 ?4a ? 2a , 0 < a < 3 , ? ? a 2 ? a, 5 ≤ a ≤ 2, ? 3 =? ……………………………………………………16 分 ? a3 2 < a ≤ 4, ? , ?4 ? 2a 2 ? 4a, a > 4. ?


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