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2014世纪金榜课时提升作业(四十五) 第七章 第四节


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课时提升作业(四十五)
一、填空题 1.经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数为_______. 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的 位置关系是_______. 3.(201

3·淮安模拟)已知直线 l⊥平面α ,直线 m?平面β .给出下列命题: ①α ∥β ?l⊥m;②α ⊥β ?l∥m;③l∥m?α ⊥β ;④l⊥m?α ∥β .其中正确的 命题的序号是________. 4.已知 a,b 是异面直线,且 a?平面α ,b?平面β ,a∥β ,b∥α ,则平面α 与平 面β 的位置关系是________. 5.(2012·淮安模拟)a,b,c 为三条不重合的直线,α ,β ,γ 为三个不重合平 面,现给出六个命题:
?a ? c ①? ?a ? b ?b ? c ?c ? ? ③? ??? ? ?c ? ? ?? ? c ⑤? ??? a ?a ? c ?a ? ? ②? ?a ? b ?b ? ?  ?? ? ? ④? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ⑥? ?a ? ? ?a ? ?

其中正确的命题是________.(填序号) 6.设α ,β 是两个不同的平面,m,n 是平面α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面β 内的两条相交直线,则α ∥β 的一个充分不必要条件可以是_______.(填序号)
-1-

(1)m∥β 且 l1∥α (3)m∥β 且 n∥β

(2)m∥β 且 n∥l2 (4)m∥l1 且 n∥l2

7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点, AP ? , 过 P,M,N 的平面交上底面 于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=_______.
a 3

8.已知平面α ∥平面β ,P 是α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 分别与α ,β 交于 A,C,过点 P 的直线 n 分别与α ,β 交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的 长为________. 9.如图所示,正四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 C1C,C1D1,D1D,DC 的 中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 只需满足条件 ________时,就有 MN∥平面 B1BDD1.

10.(能力挑战题)如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于 点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形(A′不与 A,F 重合), 则下列命题中正确的是________.
-2-

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE;③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. 二、解答题 11.(2013·盐城模拟)如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F,G 为棱 AD,AB, A1A 的中点.

求证:平面 EFG∥平面 CB1D1. 12.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平 面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM∥平面 ABFE.

13.(能力挑战题)如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60°, PA=AC=a,PB=PD= 2 a,点 E 在 PD 上, 且 PE∶ED=2∶1,在棱 PC 上是否存在一点 F,
-3-

使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

答案解析
1.【解析】若这两个点确定的直线与已知平面相交,则无法作出平行平面, 若这两个点确定的直线与已知平面平行,可以作出一个平行平面. 答案:0 或 1 2.【解析】这条直线与另一个平面平行或在平面内. 答案:平行或直线在平面内 3.【解析】①正确.∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又 m?β,∴l⊥m. ②错.l⊥α,α⊥β,则 l 可以平行于平面β,l 也可在β内,l 与 m 可平行, 可异面,可相交.
③正确. l ? ?, l ? m ? m ? ? ? ? ? ? ? ?. m ? ??

④错.l⊥α,l⊥m,则可以有α与β相交或平行. 答案:①③ 4.【解析】任取一点 P(P ? α且 P ? β), 过 P 作 a′∥a,b′∥b,则 a′∥α,b′∥β,
-4-

因为 a∥β,b∥α, 所以 a′∥β,b′∥α,又 a′与 b′相交, 所以α∥β. 答案:α∥β 5.【解析】①④正确,②错在 a,b 也可能相交或异面. ③错在α与β可能相交.⑤⑥错在 a 可能在α内. 答案:①④ 6.【思路点拨】选出的条件能推出α∥β,而反之不成立. 【解析】如图①,α∩β=l,m∥l,l1∥l, 满足 m∥β且 l1∥α,故排除(1);在图②中,m∥n∥l∥l2 满足 m∥β且 n∥l2,故 排除(2);如图②,α∩β=l,m∥n∥l,满足 m∥β且 n∥β,故排除(3);

(4)中,当 m∥l1 且 n∥l2 时,由于 m,n 是平面α内的两条不同直线,故可得 m,n 相交,从而α∥β.反之,当α∥β时,不一定有 m∥l1 且 n∥l2,如图③. 答案:(4) 7.【解析】∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, ∴MN∥PQ. ∵M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点, AP ? , ∴CQ= , 从而 DP=DQ=
a 3
2 2 2a a. , ∴PQ= 3 3

a 3

-5-

答案:

2 2 a 3

【误区警示】本题易忽视平面与平面平行的性质,不能正确找出 Q 点的位置, 从而无法计算或计算出错,造成失分. 8.【解析】分两种情况考虑,即当点 P 在两个平面的同一侧和点 P 在两平面之 间两种可能.由两平面平行得交线 AB∥CD,截面图如图所示,

由三角形相似可得 BD ? 答案:
24 或 24 5

24 或 BD ? 24. 5

9.【解析】要使 MN∥平面 B1BDD1,只需直线 MN 在过点 N 与平面 B1BDD1 平行的平面内.取 B1C1 的中点 I,易证平面 INHF∥平面 B1BDD1.此时,根据题意,只需 M∈线段 HF,即 有 MN∥平面 B1BDD1. 答案:M∈线段 HF 10.【思路点拨】注意折叠前 DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变. 【解析】①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC, ∴点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,BC? 平面 A′DE,DE?平面 A′DE,∴BC∥平面 A′DE.③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-FED 的体积达到最大. 答案:①②③ 11. 【证明】连结 BD,在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,对角线 BD∥B1D1, 又∵E,F 分别为棱 AD,AB 的中点.
-6-

∴EF∥BD,∴EF∥B1D1, 同理可证:GE∥B1C, 又∵EF∩GE=E,B1D1∩B1C=B1, ∴平面 EFG∥平面 CB1D1. 12.【证明】方法一:因为 EF∥AB,FG∥BC, EG∥AC,∠ACB=90°, ∴∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,∴BC=2FG. 取 BC 的中点 N,连结 GN, 因此四边形 BNGF 为平行四边形,所以 GN∥FB. 在□ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连结 MN, 则 MN∥AB. ∵MN∩GN=N, ∴平面 GMN∥平面 ABFE. 又 GM?平面 GMN, ∴GM∥平面 ABFE. 方法二:因为 EF∥AB,FG∥BC, EG∥AC,∠ACB=90°, 所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,因此 BC=2FG.
-7-

连结 AF,由于 FG∥BC,FG= BC, 在□ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM∥BC, 且 AM= BC, 因此 FG∥AM 且 FG=AM, 所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此 GM∥FA. 又 FA?平面 ABFE,GM? 平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE. 13.【证明】存在.证明如下:取棱 PC 的中点 F,线段 PE 的中点 M,连结 BD.设 BD 与 AC 交于点 O, 连结 BF,MF,BM,OE. ∵PE∶ED=2∶1,M 是 PE 的中点, 可知 E 是 MD 的中点,又 F 为 PC 的中点, ∴MF∥EC,BM∥OE. ∵MF? 平面 AEC,CE?平面 AEC, BM? 平面 AEC,OE?平面 AEC, ∴MF∥平面 AEC,BM∥平面 AEC. ∵MF∩BM=M, ∴平面 BMF∥平面 AEC. 又 BF?平面 BMF,∴BF∥平面 AEC.
1 2

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