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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练课件


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一部分
微专题强化练

第一部分 二 25(文23) 增分指导练 审题技能训练

1

考 题 引 路

2

强 化 训 练

3

易 错 防 范

考题引路

考例 1 行.

(文)(2015· 陕西文,17)△ABC 的内角 A,B,C 所 3b)与 n=(cos A,sin B)平

对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, (1)求 A;

(2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积.

[ 立意与点拨 ]

考查正弦定理、余弦定理及三角形的面

积.解答本题审题一要抓住 m∥n,二要从 a>b 得出A>B,简化

求值过程.

[解析] (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3b cos A=0,由正 弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0,又 sin B≠0,从而 tan π A= 3,由于 0<A<π,所以 A=3; (2)解法一:由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,而 a= π 7,b=2,A=3,得 7=4+c2-2c,即 c2-2c-3=0 因为 c>0,所以 c=3. 1 3 3 故△ABC 的面积为2bcsin A= 2 .

7 2 解法二:由正弦定理,得 π=sin B, sin 3 21 从而 sin B= 7 . 2 7 又由 a>b 知 A>B,所以 cos B= 7 , π 故 sin C=sin (A+B)=sin (B+3) π π 3 21 =sin Bcos 3+cos Bsin 3= 14 , 1 3 3 所以△ABC 的面积为 2 absin C= 2 .

(理)(2015· 福建理,19)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)= cos x 的图象经如下变换得到:先将 g(x)图象上所有点的纵坐标 π 伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2 个单位长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同 的解 α,β. (ⅰ)求实数 m 的取值范围; 2m2 (ⅱ)证明:cos (α-β)= 5 -1.

[ 立意与点拨 ]

考查三角函数图象变换和性质及诱导公

式,运算求解能力和推理论证能力.解答本题一要注意向右平

移与向左平移的区别;二要注意化一角一函讨论图象与性质的
技巧;三要注意方程“有两个不同解”的含义,恰当转化.
[解析] 解法一:(1)将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐 标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y=2cos x 的图象,再将 π π y=2cos x 的图象向右平移2个单位长度后得到 y=2cos (x-2)的 图象,故 f(x)=2sin x,从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程 π 为 x=kπ+2(k∈Z).

(2)(ⅰ)f(x)+g(x)=2sin x+cos x 2 1 = 5( sin x+ cos x) 5 5 1 2 = 5sin (x+φ)(其中 sin φ= ,cos φ= ). 5 5 m 依题意,sin (x+φ)= 在区间[0,2π)内有两个不同的解 α, 5 m β 当且仅当| |<1,故 m 的取值范围是(- 5, 5). 5

(ⅱ)因为 α,β 是方程 5sin (x+φ)=m 在区间[0,2π)内的两 个不同的解, m m 所以 sin (α+φ)= ,sin (β+φ)= . 5 5 π 当 1≤m< 5时,α+β=2(2-φ), 即 α-β=π-2(β+φ); 3π 当- 5<m<1 时,α+β=2( 2 -φ), 即 α-β=3π-2(β+φ); 所以 cos(α-β)=-cos 2(β+φ) 2 2 m m =2sin2(β+φ)-1=2( )2-1= 5 -1. 5

解法二:(1)同解法一. (2)(ⅰ) 同解法一. (ⅱ) 因为 α, β 是方程 5sin (x+φ)=m 在区间[0,2π)内的两 个不同的解, m m 所以 sin (α+φ)= ,sin (β+φ)= . 5 5 π 当 1≤m< 5时,α+β=2(2-φ), 即 α+φ=π-(β+φ);

3π 当- 5<m<1 时,α+β=2( 2 -φ), 即 α+φ=3π-(β+φ); 所以 cos (α+φ)=-cos (β+φ). 于是 cos (α-β)=cos [(α+φ)-(β+φ)] =cos (α+φ)cos (β+φ)+sin (α+φ)sin (β+φ) =-cos2(β+φ)+sin (α+φ)sin (β+φ) m 2 m 2 2m2 =-[1-( ) ]+( ) = 5 -1. 5 5

考例 2

( 文 )(2015· 安徽文, 17) 某企业为了解下属某部门

对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职

工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样
本数据分组区间为:[40,50),[50,60),?,[80,90),[90,100].

(1)求频率分布直方图中a的值;

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人 的评分都在[40,50)的概率.

[立意与点拨]

考查频率分布直方图与古典概型,运算求

解能力、数据处理能力和逻辑思维能力;解答本题一要抓住频 率分布直方图的性质;二要明确可用频率估计概率;三要会用 列举法计数基本事件.

[ 解析 ]

(1) 由频率分布直方图可知: (0.004 + a + 0.018 +

0.022×2+0.028)×10=1,解得a=0.006. (2) 由频率分布直方图可知 ,评分不低于 80 分的频率为

(0.022 + 0.018)×10 = 0.4 ,所以评分不低于 80 分的概率的估计
值为0.4.

(3) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 : 在 [40,50) 内 的 人 数 为 0.004×10×50=2(人),在[50,60)内的人数为 0.006×10×50= 3(人),设[40,50)内的两人分别为 a1,a2;[50,60)内的三人为 A1, A2,A3,则从[40,60)的受访职工中随机抽取 2 人,基本事件有 (a1,a2),(a1,A1),(a1,A2),(a1,A3),(a2,A1),(a2,A2),(a2, A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)共 10 种;其中 2 人评分都在 1 [40,50)内的结果只有 1 种,即(a1,a2),故所求概率为10.

(理)(2015·山东理,19)若n是一个三位正整数,且n的个位

数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位
递增数”(如 137,359,567等 ) .在某次数学趣味活动中,每位参 加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽

取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字
之积不能被 5整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).

[立意与点拨 ]

考查离散型随机变量的分布列及期望,阅

读理解能力、数据处理能力和推理论证能力.解答本题一要抓
住“三位递增数”的含义;二要注意“将三位数字之积”被 5(或10)整除合理转化.
[解析] (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145, 235,245,345; (2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C3 9=84, 随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此

C3 2 8 P(X=0)=C3=3, 9 C2 1 4 P(X=-1)=C3=14, 9 1 2 11 P(X=1)=1-14-3=42. 所以 X 的分布列为 X P 0 2 3 -1 1 14 1 11 42

2 1 11 4 则 E(X)=0×3+(-1)×14+1×42=21.

易错防范

案例 1 (文)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn+1=Sn +4(n∈N*),a1=2. (1)证明:数列{an}是等比数列;
2 S n (2)设 bn=a2 , { b } 的前 n 项和为 T ,试比较 n n n Tn与 3 的大小;

(3)证明:不存在正整数 n 和大于 4 的正整数 m,使得等式 Sn+1-m am+1= 成立. Sn-m

[易错分析]

一是不会借助an=Sn-Sn-1,利用配凑法转化

条件式,导致整个题目无法进行求解;二是求解第(2)问时,不 会利用换元简化计算,导致运算失误;三是证明否定性命题时

无法找到矛盾.
[解答] (1)证明:∵2Sn+1=Sn+4,∴2Sn=Sn-1+4(n≥2), an+1 1 两式作差得 2an+1=an,即 a =2(n≥2), n a2 1 又∵a2=1,∴a =2, 1 1 ∴{an}是以 2 为首项,2为公比的等比数列.

1 n-2 1n (2)由(1)知 an=(2) ,∴Sn=4[1-(2) ], 1 n-2 16 1n bn=(4) ,Tn= 3 [1-(4) ]>0, 1n 令 p=(2) >0,
2 16 ? 1 - p ? 1-p S2 2 n =3× =3(-1+ ), Tn=16 1+p 1+p 2 ? 1 - p ? 3 2 S2 S n n ∵n→+∞时,p→0,T →3,∴T <3. n n

(3)证明:假设存在正整数 n 和大于 4 的正整数 m,使等式 Sn+1-m Sn+1-m-Sn+m am+1= 成立,则有 am= , Sn-m Sn-m an+1 1n 1 n+1-m ∴Sn-m= a ,即 4[1-(2) ]-m=(2) , m 化简得(4-m)2n=4+2m-1,若存在正整数 n 和大于 4 的正 整数 m,则等式左边为负数,右边是正数,矛盾. ∴不存在正整数 n 和大于 4 的正整数 m,使得等式 am+1 Sn+1-m = 成立. Sn-m

[警示]

一熟记基础知识;二是注重基本方法的掌握与训

练;三是注意掌握证明否定性命题的一般方法,特别是寻找矛 盾的一般规律.

(理)(2015·北京东城练习)对于数列{an}(n=1,2,?,m),

令bk为a1,a2,?,ak中的最大值,称数列{bn}为{an}的“创新
数 列 ” . 例 如 数 列 2,1,3,7,5 的 创 新 数 列 为 2,2,3,7,7. 定 义 数 列 {cn}:c1,c2,c3,?,cm是自然数1,2,3,?,m(m>3)的一个排

列.
(1)当m=5时,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn}; (2)是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存 在,求出所有的数列{cn};若不存在,请说明理由.

[ 易错分析 ]

一是对于新定义 “ 创新数列 ” 不能正确理

解,而致解题无从下手.二是对于存在性命题的一般讨论方法
掌握不熟练.致使解题过程不严谨;三是分类讨论时考虑不全 致误.

[解答]
个,

(1)由题意,创新数列为3,4,4,5,5的数列{cn}共有两

即数列3,4,1,5,2;数列3,4,2,5,1.

(2)存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列. 设数列{cn}的创新数列为{en}(n=1,2,3,?,m),

因为em是c1,c2,?,cn中的最大值,所以em=m.
由题意知,ek为c1,c2,?,ck中的最大值, ek+1为c1,c2,?,ck,ck+1中的最大值,

所以ek≤ek+1,且ek∈{1,2,?,m}.
若{en}为等差数列,设其公差为d, 则d=ek+1-ek≥0且d∈N, 当d=0时,{en}为常数列,又em=m, 所以数列{en}为m,m,?,m,

此时数列{cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列;

当d=1时,因为em=m,所以数列{en}为1,2,3,?,m, 此时数列{cn}为1,2,3,?,m;

当d≥2时,因为
em=e1+(m-1)d≥e1+(m-1)×2=2m-2+e1, 又m>3,e1>0,所以em>m,这与em=m矛盾,

所以此时 {en} 不存在,即不存在 {cn} 使得它的创新数列为
公差d≥2的等差数列. 综上,当数列 {cn} 为以 m 为首项的任意一个符合条件的数 列或{cn}为数列1,2,3,?,m时,它的创新数列为等差数列. [警示] 1.注重对常见题型解题的规范性训练;2.加强阅读

理解能力的训练;3.注重思维的严谨性训练.


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