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数值分析习 题 五 解 答


习 题 五 解 答

1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分,并比较结果。 (1) ? (3) ?
1 0

x 4? x

dx 2

(n ? 8)

,(2) ?
1

2?

x sin xd x
0



( n ? 8)

2

xdx

(n ? 4)

1

,(4) ?

e
0

?x

dx

(n ? 4)

指出: 教材中梯形公式和抛物线公式是指单一的而非复化的, 但应用复化公式才符合多 节点情形。按教材设想,此处应该应用 P118 公式。 解:(1)n=8,则
h ? b?a n ? 1? 0 8 ? 1 8

,

应用复化梯形公式得

?

1 0

x 4? x

dx ? 2

h 2

[ f (0 ) ? 2 ? f ( x k ) ? f (1)] ? 0 .1 1 1 4 0 2 4 ;
k ?0

7

应用复化抛物线公式得

?

1 0

x 4? x

dx ? 2

h 6

[ f (0 ) ? 4 ? f ( x
k ?0

7

k?

) ? 2 ? f ( x k ) ? f (1)] ? 0 .1 1 1 5 7 1 8 1
2 k ?0

7

如果采用经典方法推导出的抛物线公式,则得

?

1 0

x 4? x
2

dx ?

h

2 4 6 1 3 5 7 [ f (0 ) ? f (1) ? ? 2 ( f ( ) ? f ( ) ? f ( )] ? 4 ( f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ))] ? 0 .1 1 1 5 2 3 8 3 8 8 8 8 8 8 8

可见,两个抛物线公式结果不一样,因为实际上取的节点不一样多。 1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分,并比较结果。 (1) ?
1 0

x 4? x
2

dx(n ? 4)

解:解:将区间[0,1]4 等分,5 个分点上的被积函数值列表如下(取 2 位小数)
x y 0 0 0.25 0.06 0.5 0.12 0.75 0.16 1 0.20

(1)矩形法。 用矩形法公式计算(取 2 位小数)

?

b a

f ( x)dx ? 1 4

b?a n

( y 0 ? y1 ? ? ? y n ?1 )

?

(0 ? 0 .0 6 ? 0 .1 2 ? 0 .1 6 ) ? 0 .0 9

或者

1

?

b a

f ( x)dx ? 1 4

b?a n

( y1 ? y 2 ? ? ? y n )

?

(0 .0 6 ? 0 .1 2 ? 0 .1 6 ? 0 .2 0 ) ? 0 .1 4

(2)梯形法 用梯形法公式计算(取 2 位小数) :

?

b a

f ( x)dx ? 1 4

b?a 1 [ ( y 0 ? y n ) ? y 1 ? y 2 ? ? ? y n ? 1 )] n 2

?

[(0 ? 0 .2 0 ) ? 0 .0 6 ? 0 .1 2 ? 0 .1 6 ] ? 0 .1 1

(3)抛物线法 用抛物线法公式计算(取 2 位小数) :

?

b a

f ( x)dx ? 1 12

b -a 3n

[ ( y 0 ? y n ) ? 2 ( y 2 ? y 4 + ? + y n - 2 ) ? 4 ( y 1 ? y 3 + ? + y n - 1 )]

?

[(0 ? 0 .2 ) ? 2 ? 0 .1 2 ? 4 ? (0 .0 6 ? 0 .1 6 )] ? 0 .1 1
8 4

2、用复化梯形公式计算积分 ? 要求为 1 0 ? 4 。 解: ?
8 4

1 x

dx

,由此计算 ln2(注: ?

8 4

1 x

d x ? ln 2

) ,精度

1 x

d x ? ln 8 ? ln 4 ? ln

8 4

? ln 2


? 1 2 ? 10
?
?4

要求精度为 1 0 ? 4 ,即误差不超过 ?


? 4 n

将积分区间[4,8]n 等份,则步长 h 在本题中,复化梯形公式的余项为
r ? ? 8?4 12
2 h f ?? (? ) ? ?

8?4 n

8?4 4 2 16 ( ) f ?? (? ) ? ? f ?? (? ) 2 12 n 3n

注意到
f (x) ? 1 x
?2 ?3 , f ? ( x ) ? ? x , f ?? ( x ) ? 2 x

, ,

所以在[4,8]区间上 则
r ? 16 3n
2

?3 f ?? ( x ) ? 2 ? 4

?2?8

?3

?

16 ? 2 3n ? 4
2 3

?

1 6n
2



要使
1 6n
2

1 6n
2

?

1 2

? 10

?4

,需有
2 4

?

1 2

? 10

?4

? 3n ? 10 ? n ?
b

100 3

? n ? 5 7 7 .3 6 7 ? n ? 5 7 8 。

3、用复合梯形公式计算积分 ?

f ( x)dx
a

,问将积分区间[a,b]分成多少等份,才

能保证误差不超过ε (不计舍入误差)? 解:对于复合梯形公式来说,如果 f ?? ( x ) 在积分区间上连续,则其余项为
2

r ? ?

b?a 12

2 h f ?? (? ), ? ? [ a , b ]



设M 则 令

? m ax f ?? ( x )
a? x?b


(b ? a ) M
3 2

r ?

(b ? a ) 12

2 h f ?? (? ) ?

12n
??
3

(b ? a ) M
3

12n

2



得n

?

(b ? a ) M 1 2? ?[ (b ? a ) M
3

即当 n

1 2?

] ? 1 时,能保证计算的精度要求。

4、已知飞机在高度 H 的上升速度 v(H)如下: H(km) v(km/s) 0 50.0 2 46.0 4 40.0 6 32.2
10 0

8 22.5
1 v(H ) dH

10 10.0

求从地面(H=0km)上升到 H=10km 高空所需要的时间 ? 形公式与高阶牛顿—柯特斯公式) 解:利用复化梯形公式计算,n=5,h=2
T ? ? ? h 2 1 v (0 ) 1 50 ? 1 10 [ f ( a ) ? f (b ) ? 2 ? f ( xi )
i ?1 4

。(分别用复合梯

?

1 v (1 0 ) ? 2(

? 2( 1 46 ?

1 v(2) 1 40 ?

? 1

1 v(4)

? ?

1 v (6 ) 1 )

?

1 v (8 )

)

3 2 .2

2 2 .5

? 0 .3 6 4 4 7 9

指出: 求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函 数表,要求积分的函数表为 H(km) v(km/s) 1/v 5、用龙贝格方法计算下列积分,要求误差不超过 10-5。 (1) ?
1 0

0 50.0

2 46.0

4 40.0

6 32.2

8 22.5

10 10.0

2

?
1 2

e

?x

dx

(2) ?
n- 1

?
0

e co s xd x

x

解: (1)依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算:
T2 n = Tn + h

? 2

f ( xk+ 1 )
2

k= 0

3

Sn ?

4 3

T2 n ?
2

1 3

Tn

Cn ?
Rn =

4 S 2n ? S n 4 ?1
2

4 C 2n - C n 4 - 1
3

3



计算结果列表如下: i 0 1 2 3 所以 ?
1 0

T2i

S 2 i ?1

C 2 i? 2

R 2 i?3

0.7717433 0.7280699 0.7135121 0.7169828 0.7132870 0.7132720 0.7142002 0.7132726 0.7132717 0.7132717
?x

2

?

e

d x ? 0.1 3 2 7 1 7 7


?

6、分别用下列方法计算积分 I (I=1.098612……): (1)复合梯形法(n=16); (2)复合抛物线法(n=8); (3)龙贝格方法,求至 R 2 ; (4)三点高斯—勒让德公式。 指出: ①直接套公式计算。

?

8

1 x

dx

,并比较计算结果的精度

1

②计算结果的精度比较,通过各计算解和精确解比较,求出相应的误差,再比较 误差大小的方法进行。 ③三点高斯—勒让德公式为
1 ?1

?

f (x) ?

5 9

f (?

15 5

)?

8 9

f (0 ) ?

5 9

f(

15 5

)



当积分区间不是[-1,1]而是[a,b]时,为应用高斯—勒让德公式,需要作 变量代换 x
? b?a 2 t? a?b 2

,将[a,b]化为[-1,1] 。

石瑞民《数值计算》中没有给出三点高斯—勒让德公式,但给出了 3、4、5 点公 式系数表。 7、试确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出 的求积公式具有的代数精度: (1) ? ?h (2) ? ?2 h
2h

h

f ( x ) d x ? ? 0 f ( ? h ) ? ? 1 f (0 ) ? ? 2 f ( h )



f ( x ) d x ? ? 0 f ( ? h ) ? ? 1 f (0 ) ? ? 2 f ( h ) ;

4

(3) ? ?1 (4) ? a 即
b

1

f ( x)dx ? f ( x)dx ?

1 3

[ f ( ? 1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x 2 )] ;
2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? c ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )] 。

b?a 2

解:(1) 求积公式中有三个待定系数,故令求积公式对 f(x)=1,x,x2 精确成立,
? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? 2 h ? ? ? ?0h ? ?2h ? 0 ? 2 2 3 ??0h ? ?2h ? 2h 3

解之得 ? 0

?

h 3

, ?1 ?

4h 3

, ?2 ?
h ?h

h 3


h 3 f (? h) ? 4h 3 f (0 ) ? h 3 f (h)

所以,数值求积公式为 ? 而 ? x 3dx ?h
h

f ( x)dx ?



?

h 3

(? h) ?
3 4

h 3

h

3



?

h ?h

x dx ?
4

h 3

(? h ) ?

h 3

h

4



所以上述积分公式具有 3 次代数精度(实际上这是抛物线公式) 。 (2) 求积公式中有三个待定系数,故令求积公式对 f(x)=1,x,x2 精确成立,即
? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? 4 h ? ? ? ?0h ? ?2h ? 0 ? 2 2 3 ??0h ? ?2h ? 16h 3

解之得 ? 0

?

8h 3

, ?1 ? ?

4h 3

, ?2 ?
2h

8h 3


8h 3 f (? h) ? 4h 3 f (0 ) ? 8h 3 f (h)

所以,数值求积公式为 ? 而 ? x 3dx ?2 h
2h

?2 h

f ( x)dx ? (h ) ? 0
3



?

8h 3

(? h) ?
3

8h 3


8h 3 ?h ?
4

?

2h ?2 h

x dx ?
4

64 5

h ?
5

8h 3

(? h ) ?
4

4h 3

?0 ?
4

16h 3

?h

4

所以上述积分公式具有 3 次代数精度。 指出: 由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间,因此积分精度低。 (3)求积公式中有 2 个待定参数,需要列两个方程组成的方程组。 当 f(x)=1 时,有

?

1 ?1

dx ? 2

1 3

(1 ? 2 ? 3 ) ? 2

因此需令求积公式对 f(x)=x,x2 精确成立,即

5

?1 ( ? 1 ? 2 x1 ? 3 x 2 ) ? 0 ?3 ? ? ? 1 [( ? 1) 2 ? 2 x 2 ? 3 x 2 ] ? 2 1 2 ?3 3 ?

化简得
? 2 x1 ? 3 x 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 1

解之得
? 1? 6 ? x1 ? ? 5 ? 3?2 6 ? x2 ? ? 15 ? ? 1? 6 ? x1 ? ? 5 或? 3?2 6 ? x2 ? ? 15 ?

所以,数值求积公式为

?

1 ?1

f ( x)dx ?

1 3

[ f ( ? 1) ? 2 f (

1? 5

6

)?3f(

3? 2 6 15

)]



?

1 ?1

f ( x)dx ?

1 3

[ f ( ? 1) ? 2 f (

1? 5

6

)?3f(

3?2 6 15

)]

对第一个积分公式, 当 f ( x ) ? x 3 时,

?

1 ?1

x dx ? 0
3 3

1 3

? [( ? 1) ? 2 ? (

1? 5

6

) ? 3? (
3

3? 2 15

6

) ]? 0
3

所以上述积分公式具有 2 次代数精度。 指出: 求出的是两个积分公式,不能认定两个节点有大小顺序规定而只取一个, 实际上仅仅是两个点必须是按求出的成对。 (4)求积公式中仅含有一个待定参数 c。 令 f(x)=1,有

?

? ? ? b?a b?a 2 2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? c ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )] ? [1 ? 1] ? c ( b ? a ) [0 ? 0 ] ? b ? a ? 2 2 ?
b

f ( x)dx ? b ? a ,

a

?

?

b a

f ( x)dx ?

b?a 2

2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? c ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ?( b )]

令 f(x)=x,有

6

?

? ? a ? 2 ? 2 2 b?a b?a b ?a ? 2 2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? c ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )] ? [ a ? b ] ? c ( b ? a ) [1 ? 1] ? ? 2 2 2 ?
b

f ( x)dx ?

b ?a
2

2

,

?

?

b a

f ( x)dx ?

b?a 2

2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? c ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )]



f (x) ? x

2

时公式准确成立,则
b ?a
3 3

? ? a 3 ? b?a ? 2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? c ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )] ? 2 ? b?a 2 b?a 2 2 2 2 3 ? ? [ a ? b ] ? c (b ? a ) [ 2 a ? 2 b ] ? ( a ? b ) ? 2 c (b ? a ) ? 2 2 ?

?

b

f ( x)dx ?

,

?

b ?a
3

3

?

b?a 2
b?a 2

( a ? b ) ? 2 c (b ? a ) ? c ?
2 2 3

1 12

3

则求积公式为

?

b a

f ( x)dx ?

[ f ( a ) ? f ( b )] ?

1 12

2 ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )]


b

f (x) ? x

3

代入求积公式,有
b ?a
4 4

? ? ?a 4 ? b?a 1 ? 2 [ f ( a ) ? f ( b )] ? ( b ? a ) [ f ? ( a ) ? f ? ( b )] ? 2 12 ? b?a 3 1 ? 3 2 2 2 ? [a ? b ] ? ( b ? a ) [3 a ? 3 b ] ? 2 12 ? b?a ? 3 3 2 2 ? ? 2 a ? 2 b ? ( a ? b )( a ? b )? ? 4 ? b?a 3 ? ? (a ? b) ? 4 ? f ( x)dx ? , ? b ?a
4 4

?

b?a 4

(a ? b)

3

4

所以,求积公式具有 2 次代数精度。 指出: 可否认为,或是否有必要认为 a 和 b 是未知待定的? 8、试构造高斯型求积公式 ?
f ( x ) ? 1, x , x , x
2 3

1 0

x d x ? ? 0 f ( x 0 ) ? ? 1 f ( x1 )

,使之对于

均能成立。

解:求积公式中有 4 个待定的未知数,故令求积公式对 f(x)=1,x,x2,x3 精确成立,即

7

2 ? ? ? ?1 ? ? 0 3 ? ?? x ? ? x ? 2 1 1 ? 0 0 5 ? ?? x2 ? ? x2 ? 2 0 0 1 1 ? 7 ? 2 3 ? ? 0 x 0 ? ? 1 x13 ? 9 ?

从前两式中解出 ? 0 , ? 1 (用矩阵方程形式)有
? ?0 ? ? 1 ?? ? ? ? ?1 ? ? x 0 1 ? ? x1 ?
?1

? ? ? ? ? ?

2? ? 3 ? 2? ? 5?

对后两式有
? ?0 ? ? x0 ? ??? 3 ? ?1 ? ? x 0
2

x1 ? 3 ? x1 ?
2

?1

? ? ? ? ? ?

2? ? 7 ? 2? ? 9?

故有
? 1 ? ? x0 1 ? ? x1 ?
?1

? ? ? ? ? ?

2? ? ? x2 3 0 ??? 3 2 ? ? x0 ? 5?

x1 ? 3 ? x1 ?
2

?1

? ? ? ? ? ?

2? ? 7 ? 2? ? 9?

化简得
2 2 2 ?2 2 2 ( x 0 x1 ) ? ( x 0 ? x 0 x1 ? x1 ) ? ( x 0 ? x1 ) ?3 ? 7 9 ? ? 2 x x ? 2 (x ? x ) ? 2 1 ?5 0 1 7 0 9 ?


? x 0 x1 ? u ? ? x 0 ? x1 ? v

则上述方程组化为
1 ?1 2 1 2 1 u ? v ? u? v ? 0 ?3 ? 7 7 9 ? ?1 u ? 1 v ? 1 ? 0 ?5 7 9 ?

解之得,
u ? 5 21 ,v ? 10 9

于是有
x 0 ? 0 .2 8 9 9 4 9, x1 ? 0 .8 2 1 1 6 2, ? 0 ? 0 .2 7 7 5 5 6, ?1 ? 0 .3 8 9 1 1 1
8

故所求的积分公式为

?

1 0

x d x ? 0 .2 7 7 5 5 6 f (0 .2 8 9 9 4 9 ) ? 0 .3 8 9 1 1 1 f (0 .8 2 1 1 6 2 )



指出: ①注意方程组的解法。 ② x 0 ? x1 , ? 0 , ? 1 与 x 0 , x1 相对应(由前两个方程决定) 。 ③方程组中 ? 0 , ? 1 是一次的,而且前两个方程中 x 0 , x1 也是 0 次、1 次的,因 此从前两个方程中解出 ? 0 , ? 1 (用 x 0 , x1 表示)代入后两个方程中求 x 0 , x1 就是比较 容易想到的方法。 而用矩阵格式简化计算, 用变量代换简化方程则是数学的技巧。 ④方程组
2 ? ? ? ?1 ? ? 0 3 ? ?? x ? ? x ? 2 1 1 ? 0 0 5 ? ?? x2 ? ? x2 ? 2 0 0 1 1 ? 7 ? 2 3 ? ? 0 x 0 ? ? 1 x13 ? 9 ?

的求解方法: [1]将方程组分成两个
2 ? ? 0 ? ?1 ? ? ? 3 ? ?? x2 ? ? x2 ? 2 1 1 ? 0 0 7 ? ? ? x ? ? 1 x1 ? ? 0 0 ? 和? ?? x3 ? ? x3 ? 1 1 ? 0 0 ? 2 5 2 9

分别解之得
2 2 2 ? ? x1 ? 7 3 ??0 ? 2 2 x 0 ? x1 ? ? 2 2 2 ? ? x0 ? ?1 ? ? 7 2 3 2 ? x 0 ? x1 ? 2 2 2 ? ? x1 ? 9 5 ??0 ? 2 2 x 0 ( x 0 ? x1 ) ? ,? 2 2 2 ? ? x0 ? ?1 ? ? 9 2 5 2 ? x1 ( x 0 ? x1 ) ?

从而

9

2 2 2 ? 2 2 2 ?1 1 2 ? x ? x1 ? x ? 9 5 1 ?9 5 1 1 1 2 1 1 ?1 1 2 2 ? 7 2 3 2 ? ? x1 ? ? ? x ? x 0 ? x 0 x1 2 2 ?9 5 1 x 0 ( x 0 ? x1 ) x 0 ? x1 x0 7 3 ? ? ? 7 3 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ? 1 x2 ?1 ? 1 x2 ? 1 x ? 1 x2x ? x0 ? x0 0 1 0 1 1 1 2 ?9 5 0 ? ?9 5 7 3 ? ? 9 25 2 ? ? 7 2 3 2 ? ? x0 ? x (x ? x ) ? x 0 ? x1 x1 7 3 1 0 1 ? ? 1 1 ?1 2 2 ( x ? x 0 ) ? ( x1 ? x 0 ) ? x 0 x1 ( x1 ? x 0 ( 两 式 相 减 ) ) ?5 1 ? 7 3 ? ? ? 2 ? 1 (x2 ? x2) ? 1 (x ? x ) ? 1 (x x2 ? x2x (两式相加) ) 0 0 1 0 1 0 1 ?9 5 1 7 3 ? 1 1 ?1 x x ? ( x ? x0 ) ? ? 0 ?3 0 1 5 1 ? 7 ? ? 2 1 2 ? ? ( x ? x )2 ? x x ? 1 ( x ? x ) ? 1 x x ( x ? x ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ?9 5 1 5 7 3 ?


? x 0 x1 ? u ? ? x 0 ? x1 ? v


1 1 ?1 u? v? ? 0 ?3 ? 5 7 ? ? 2 ? 1 v 2 ? 2 u ? 1 v ? 1 uv ?9 5 5 7 3 ?

求出 u、v 即可。 [2]令 ( x ? x 0 )( x ? 则

x1 ) ? x ? cx ? d
2

? ( x 0 ? x 0 )( x 0 ? x1 ) ? x 0 ? c x 0 ? d ? 0 ? ? 2 ? ( x1 ? x 0 )( x1 ? x1 ) ? x1 ? c x1 ? d ? 0 ?
2

于是
? ? 0 ( x 0 ? c x 0 ? d ) ? ? 1 ( x1 ? c x1 ? d ) ? 0 ? ? 2 2 ? ? 0 x 0 ( x 0 ? c x 0 ? d ) ? ? 1 x1 ( x1 ? c x1 ? d ) ? 0 ?
2 2


? ( ? 0 x 0 ? ? 1 x1 ) ? c ( ? 0 x 0 ? ? 1 x1 ) ? d ( ? 0 ? ? 1 ) ? 0 ? ? 3 3 2 2 ? ( ? 0 x 0 ? ? 1 x1 ) ? c ( ? 0 x 0 ? ? 1 x1 ) ? d ( ? 0 x 0 ? ? 1 x1 ) ? 0 ?
2 2

将方程组代入得
2 ?2 2 ? c? d ?0 ?7 5 ? 3 ? ?2 ? 2 c ? 2 d ? 0 ?9 7 5 ?

解之得
10

10 ? c ? ? ? ? 9 ? ?d ? 5 ? ? 21

所以, x 0 , x1 满足方程 x 2
x0 ? 35 ? 2 70 63

?

10 9

x?

5 21

? 0

,解之得
? 0 .8 2 1 1 6 2

? 0 .2 8 9 9 4 9 , x1 ?

35 ? 2 70 63

由方程组前两个方程解得
? 0 ? 0 .2 7 7 5 5 6, ? 1 ? 0 .3 8 9 1 1 1 。

指出: 可以看出,求解高阶方程组时依赖特别的技巧,而采用矩阵形式则具有更 一般化的方法。 9、利用下表求 x=0.6 处的一阶导数。 x f(x) 指出: ①没有限定方法,就可以用任何合适的方法。 ②可用中点公式,只用 0.5、0.7 两点函数值。 ③可以构造 4 阶拉格朗日插值多项式。 ④可以用三次样条插值。 ⑤可以用待定系数法构造数值微分公式。 0.4 1.5836494 0.5 1.7974426 0.6 2.0442376 0.7 2.3275054 0.8 2.6510818

补充题(一) 1、用三种基本积分公式计算 ?
2

dx 1? x
2

(四等分积分区间) 。

1

分析与解答 1、解:将区间 4 等分,5 个分点上的函数值为(取 2 位小数)
x y x y 1 0.50 1.75 0.25 1.25 0.39 2 0.20 1.5 0.31

(1)矩形法 用矩形法公式计算(取 2 位小数)

11

? ?
(2)梯形法
2

2

f ( x)dx ?

1 4

1

( y 0 ? y 1 ? y 2 ? y 3 ) ? 0 .3 6

或者
f ( x)dx ? 1 4
1

( y 1 ? y 2 ? y 3 ? y 4 ) ? 0 .2 9

用梯形法公式计算(取 2 位小数)

?

2

f ( x)dx ?

1

1 1 [ ( y 0 ? y 4 ) ? y 1 ? y 2 ? y 3 )] ? 0 .3 3 4 2

(3)抛物线法 用抛物线法公式计算(取 2 位小数)

?

2

f ( x)dx ?

1 12

1

[ ( y 0 ? y 4 ) ? 2 y 2 ? 4 ( y 1 ? y 3 )] ? 0 .3 2

补充题(二) 1、试确定一个具有三次代数精度的公式。

?

3 0

f ( x ) d x ? A 0 f (0 ) ? A1 f (1) ? A 2 f ( 2 ) ? A3 f (3)

2、确定求积公式的代数精度。

?

1 ?1

f ( x)dx ? f (?

3 3

)? f(

3 3

)

3、确定下列求积公式的待定系数,使其代数精度尽可能地高。

?

2h ?2 h

f ( x ) d x ? A ? 1 f ( ? h ) ? A 0 f (0 ) ? A1 f ( h )

4、确定求积节点,使得求积公式

?

h ?h

f ( x ) d x ? f ( x 0 ) ? f ( x1 )

具有尽可能高的代数精度。 5、确定下面求积公式中的参数,使得其代数精度尽量高,并指出求积公式 所具有的代数精度。

?
1、解:分别取

1 ?1

f ( x ) d x ? [ f ( ? 1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x 2 )] / 3

分析与解答 f(x)=1,x,x2,x3,使求积公式准确成立,则得下面的方程组。
? A 0 ? A1 ? A 2 ? A3 ? 3 ? ? A1 ? 2 A 2 ? 3 A3 ? 9 2 ? ? A1 ? 4 A 2 ? 9 A3 ? 9 ? A ? 8 A ? 27 A ? 81 4 2 3 ? 1

解之得 A0=3/8,A1=9/8,A2=9/8,A3=3/8。 由此得求积公式为

12

?

3 0

f ( x)dx ?

3 8

f (0 ) ?

9 8

f (1) ?

9 8

f (2) ?

3 8

f (3)

当将 f(x)=x4,代入时,上式不能精确成立,故所得公式具有 3 次代数精 度。 2、解:取 f(x)=xk 代入求积公式,得
R(x ) ?
k 1 ?1

?

x d x ? [( ?
k

3 3

) ?(
k

3 3
k

) ]

k

?[

1 k ?1

?(

3 3

) ][1 ? ( ? 1) ]
k

容易验证,R(x0)=R(x)=R(x2)=R(x3)=0,但是 验证也可)

R(x4)=8/45≠0,

所以求积公式的代数精度为 3。 (直接取 f(x)=1,x,x2,x3,x4 3、 解: 求积公式中有三个待定系数,故令求积公式对 f(x)=1,x, 2 精确成立, x 得
? ? A ? A ? A ? 4h ?1 0 1 ? ? ? ? A ? 1 h ? A1 h ? 0 ? 3 16h ? A h2 ? A h2 ? 1 ? ?1 3 ?

解之得 A-1=A1= 8h/3 ,A0= -4h/3 , 所以,数值求积公式为

?

2h ?2 h

f ( x)dx ?
2h ?2 h

8h 3 8h 3

f (? h) ? (? h) ?
3

4h 3

f (0 ) ?
3

8h 3

f (h)

而?

x dx ?
3

8h 3

h ? 0

?

2h ?2 h

x dx ?
4

8h 3

(? h) ?
4

8h 3

h

4

所以上述积分公式具有 3 次代数精度(实际上这是抛物线公式) 。 4、解:显然,解答本题需要确定三个参数 h、x0、x1,那么,我们需要三个方 程。 令求积公式对 f(x)=1,x,x2 精确成立,得
? ?1 ? 1 ? 2 h ? ? ? x 0 ? x1 ? 0 ? 3 2h ?x2 ? x2 ? 1 ? 0 3 ?

解之得 x 0

? ?

3 3

, x1 ?

3 3

, h ? 1; 或 x 0 ?

3 3

, x1 ? ?

3 3

,h ? 1,

所以求积公式为

13

?

1 ?1

f ( x)dx ? f (?

3 3

)? f(

3 3

) 3 3

此求积公式具有 3 次代数精度,求积节点为 ?

3 3



。(验证从略)。

指出:第 3 题中 h 是作为已知量的,这样得出的求积公式有更广泛的 应用性。本题中,因为右端的两个积分系数都是 1,当 f(x)=1 时必然可 以得出 h=1,即使假设 h 已知也是一样的。而当假设 h 已知,仅要求求 积公式对 f(x)=1,x 精确成立时,因为当 f(x)=1 时决定了 h 的值,对 求节点不起作用,不能实现求解点的目标,因此还是需要列第 3 个方 程。 5、解:求积公式中含有两个待定参数,故需要两个方程。 当 f(x)=1 时, ? 因为 故?
1 ?1
1 ?1

f ( x)dx ? ? dx ? x
?1

1

1 ?1

? 2



f ( ? 1) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 (1 ? 2 ? 3) / 3 ? 2

所以 [ f ( ? 1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x 2 )] / 3 ?

f ( x ) d x ? [ f ( ? 1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x 2 )] / 3
f ( x) ? x, x
2



故令求积公式对于
? 2 x1 ? 3 x 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 1

精确成立,则有

由第一式解得 x1
15 x2 ? 6 x2 ? 1 ? 0
2

? (1 ? 3 x 2 ) / 2

,代入第二式,得

解之得
? x 2 ? ? 0 .1 2 6 6 0 ? ? x1 ? 0 .6 8 9 9 0 或 ? x 2 ? 0 .5 2 6 6 0 ? ? x1 ? ? 0 .2 8 9 9 0

所以求积公式为

?

1 ?1

f ( x ) d x ? [ f ( ? 1) ? 2 f (0 .6 8 9 9 0 ) ? 3 f ( ? 0 .1 2 6 6 0 )] / 3



?
?

1 ?1

f ( x ) d x ? [ f ( ? 1) ? 2 f ( ? 0 .2 8 9 9 0 ) ? 3 f (0 .5 2 6 6 0 )] / 3
f (x) ? x
3


1 ?1

3

代入已确定的求积公式,可以验证

x d x ? [ f ( ? 1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x 2 )] / 3 。

所以求积公式中所求的未知节点为

14

? x 2 ? ? 0 .1 2 6 6 0 ? ? x1 ? 0 .6 8 9 9 0 或 ? x 2 ? 0 .5 2 6 6 0 ? ? x1 ? ? 0 .2 8 9 9 0

且求积公式具有 2 次代数精度。

15


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