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2015年江苏省高考数学押题试卷(3)


2015 年江苏省高考数学押题试卷(3)
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.命题“若一个数是负数,则它的平方数正数”的逆命题是



2.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1,a-5},M ? U, ? U M ={5,7},则实数 a

= . 3.某工厂生产了某种产品 3000 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线.为检查这批产品 的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为 a,b,c,且 a,b,c 构成等差数列,则乙生产线生产了 件产品. 4.若 f ( x) = a sin( x ?

?

) + 3sin( x ? ) 是偶函数,则实数 a= 4 4

?



5.从分别写有 0,1,2,3,4 五张卡片中取出一张卡片,记下数 字后放回,再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字之和恰好 等于 4 的概率是 . 6.如右图,函数 y= f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程,y=-x+ 5,在 f (3) - f / (3) = .

7.定义某种新运算 ? :S=a ? b 的运算原理如图所示,则 5 ? 4 -3 ? 6= . 8.如图,四边形 ABCD 中,若 AC= 3 , BD=1,则 (AB+ DC )? (AC+ BD)= .

9.有三个球和一个正方体,第一个球与正方体的各个面相切,第 二个球与正方体的各条棱相切,第三个球过正方体的各个顶点,则这 三个球的表面积之比为 . 10.若 A,B,C 为△ABC 的三个内角,则 为
2

4 1 + 的最小值 A B?C

. 11.双曲线

x y2 ? =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角 30 ? 的 a 2 b2


直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=

12.在平面直角坐标系中,点集 A={( x,y) | x 2 + y 2 ≤1},B={( x,y) | x≤4,y≥0, 3x-4y≥0},则点集 Q={( x,y) |x= x1 + x 2 ,y= y1 + y2 ,( x1 , y1 )∈A,( x 2 , y2 )∈B}所 表示的区域的面积为 .

13. 已知函数 f ( x) = x3 + (a ? 1) x2 +3x+b 的图象与 x 轴有三个不同交点, 且交点的横 坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率,则实数 a 的取值范围是 . 14.定义函数 f ( x) = [ x[ x ]] ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 如:[1.5] =1,[?1.3]

1

=-2.当 x∈ [0 , n) (n∈ N ? )时,设函数 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 中的元素个数为 an , 则式子

an ? 90 的最小值为 n



二、填空题:本大题共 6 小题,共计 70 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 AB ? BC = ? ,b= 3 ,求 a+c 的值; (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.

3 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,四面体 ABCD 中,O,E 分别为 BD,BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB= AD= 2 . (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求点 E 到平面 ACD 的距离.

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前 一部分为曲线段 ABC, 该曲线段为函数 y= A sin(? x ? ? ) (A>0,

? >0,

?
2

< ? < ? ),x∈[-3,0]的图象,且图象的最高点为

B(-1, 3 2 );赛道的中间部分为 3 千米的水平跑到 CD;赛 道的后一部分为以 O 圆心的一段圆弧 DE . (1)求 ? , ? 的值和∠DOE 的值; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪” ,如图所示,矩形的一边 在道路 AE 上,一个顶点在扇形半径 OD 上.记∠POE= ? ,求当“矩形草坪”的面积最大 时 ? 的值.

18. (本小题满分 16 分) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别相交于 A, B 两点, △AOB 的内切圆为圆 M. (1)如果圆 M 的半径为 1,l 与圆 M 切于点 C (

3 3 ,1+ ),求直线 l 的方程; 2 2

(2)如果圆 M 的半径为 1,证明:当△AOB 的面积、周长最小时,此时△AOB 为同一 个三角形; (3)如果 l 的方程为 x+y-2- 2 =0,P 为圆 M 上任一点,求 PA2 + PB 2 + PO 2 的 最值.

3

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =0, a2 =2,且对任意 m,n∈ N ? 都有 a2 m ?1 + a2 n ?1 = 2am ? n ?1 +

2(m ? n)2
(1)求 a 3 , a 5 ; (2)设 bn = a2 n ?1 - a2 n ?1 ( n∈ N ? ),证明: ?bn ? 是等差数列; (3)设 c n =( an ?1 - an ) q n ?1 ( q≠0,n∈ N ? ),求数列的前 n 项的和 Sn .

20. (本小题满分 16 分) 对于函数 y= f ( x) ,x∈(0, ??) ,如果 a,b,c 是一个三角形的三边长,那么 f (a ) , f (b) , f (c) 也是一个三角形的三边长, 则称函数 f ( x) 为“保三角形函数” . 对于函数 y= g ( x) ,x∈ [0 ,??) ,如果 a,b,c 是任意的非负实数,都有 g (a) , g (b) , g (c) 是一个三角形的三边长,则称函数 g ( x) 为“恒三角形函数” . (1)判断三个函数“ f1 ( x) =x, f 2 ( x) = 2 x , f 3 ( x) = 3 x 2 (定义域均为 x∈(0,??) )” 中,那些是“保三角形函数”?请说明理由; (2)若函数 g ( x) =

x 2 ? kx ? 1 ,x∈ [0 , ??) 是“恒三角形函数” ,试求实数 k 的取值 x2 ? x ? 1

范围; h( x ) (3) 如果函数 h( x) 是定义在(0,??) 上的周期函数, 且值域也为(0,??) , 试证明: 既不是“恒三角形函数” ,也不是“保三角形函数” .

4

参考答案
1.若一个数的平方是正数,则它是负数.解析:因为一个命题的逆命题是将原命题的 条件与结论进行交换,因此逆命题为: “若一个数的平方是正数,则它是负数” . 2.8.解析:由 a-5=3,得 a=8. 3.1000.解析:因为 a,b,c 构成等差数列,根据分层抽样的原理,所以甲、乙、丙 三条生产线生产的产品数也成等差数列, 其和为 3000 件, 所以乙生产线生产了 1000 件产品. 4 .- 3 . 解析 :由 f ( x) 是偶函数可知, f (? x) = f ( x) 对任意的 x ∈ R 恒成立,即

a sin(? x ? 1 5

?

)+ 3sin(? x ? ) = a sin( x ? ) + 3sin( x ? ) ,化简得 2a=-6,a=-3. 4 4 4 4

?

?

?

5. .解析:从 0,1,2,3,4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 5×5=25 种,数字 之和恰好等于 4 的结果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数字和恰好等于 4 的概率是 P=

1 . 5

6.3.解析:函数 y= f ( x) 的解析式未知,但可以由切线 y=-x+5 的方程求出 f (3) = 2,而 f / (3) = k切 =-1,故 f (3) - f / (3) =3. 7.1.解析:由题意知 5 ? 4=5×(4+1)=25,3 ? 6=6×(3+1)=24,所以 5 ? 4-3 ? 6 =1. 8.2.解析: (AB+ DC )? (AC+ BD)= (AC+ CB+ DB+ BC )? (AC+ BD) = (AC+ DB)? (AC+ BD)= (AC- BD)? (AC+ BD)= AC ? BD =2. 9. 1︰2︰3. 解析: 不妨设正方体的棱长为 1, 则这三个球的半径依次为 从而它们的表面积之比为 1︰2︰3. 10. . 解析: 因为 A+B+C= ? , 且(A+B+C)· (
2 2

2 3 1 , , , 2 2 2

9

?

4 1 B?C A + )=5+4· + A B?C A B?C

≥5+ 2 4 ?

B?C A 4 1 9 B?C A ? =9,因此 + ≥ ,当且仅当 4· = ,即 A A B?C A B?C ? A B?C

=2(B+C)时等号成立. 11. 3 .解析:如图,在 Rt△ MF1 F2 中,∠ MF1 F2 = 30 ? , F1F2

2c 4 2 = 3c , MF2 = 2c ? tan 30? = 3c .所 cos30? 3 3 4 2 2 c 以 2a= MF1 - MF2 = 3c - 3c = 3c ,故 e= = 3 . 3 3 3 a
=2c,所以 MF1 = 12.18+ ? .解析:如图所示,点集 Q 是由三段圆弧以及连 接它们的三条切线围成的区域, 其面积为: S?OPQ + SOABP + S PCDQ + SOFEQ + ? =

1 ×4×3+(3+4+5)×1+ ? =18+ ? . 2

13.(-3,-2).解析:由题意知,三个交点分别为(1,0),
5

( x1 ,0),( x 2 ,0),且 0< x1 <1< x 2 . 由 f (1) =0 可知 b=-a-3,所以 f ( x) = x3 + (a ? 1) x2 +3x+b=(x-1)( x 2 +ax+a+ 3),故 x 2 +ax+a+3=0 的两根分别在(0,1),(1, ?? )内.

? g (0) ? 0, 令 g ( x) = x 2 +ax+a+3,则 ? 得-3<a<-2. ? g (1) ? 0,
14.13.解析:当 x∈ [0 , 1) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 0] =0; 当 x∈ [1 , 2) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 1] = [ x] =1; 当 x∈ [2 ,3) 时, 再将 [2 ,3) 等分成两段, x∈ [2 , ) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 2] = [2 x] =4;x∈ [ , 3) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 2] = [2 x] =5. 类似地,当 x∈ [3 , 4) 时,还要将 [3 , 4) 等分成三段,又得 3 个函数值;将 [4 , 5) 等 分成四段,得 4 个函数值,如此下去.当 x∈ [0 , n) (n∈ N ? )时,函数 f ( x) 的值域中的元 素个数为 an =1+1+2+3+4+?+(n-1)=1+

5 2

5 2

a ? 90 n 91 1 n(n ? 1) ,于是 n = + - = n 2 n 2 2 a ? 90 1 1 182 的最小值为 13. (n ? ) - ,所以当 n=13 或 n=14 时, n 2 n 2 n
15.解析: (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B=

?

3 3 3 3 1 因为 AB ? BC = ? ,所以 ac cos(? ? B) = ? ,所以 ac = ,即 ac=3. 2 2 2 2
因为 b= 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? ac =3,即 (a ? c) 2 ? 3ac =3. 所以 (a ? c)2 =12,所以 a+c= 2 3 .



3 1 2? ? C ) ? sin C = 2( cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cos C . 2 2 3 3 2? 因为 0<C< ,所以 3 cos C ∈ ( ? , 3) . 2 3 3 所以 2sin A ? sin C 的取值范围是 ( ? , 3) . 2
(2) 2sin A ? sin C = 2sin( 16.解析: (1)连结 OC.因为 BO=DO,AB=AD,所以 AO⊥BD.因为 BO=DO, CB=CD,所以 CO⊥BD. 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3 .而 AC=2,所以 AO 2 ? CO 2 = AC 2 ,所 以∠AOC= 90 ? ,即 AO⊥OC.因为 BD OC=O,所以 AO⊥平面 BCD.

( 2 )设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .因为 VE ? ACD = VA?CDE ,所以 h ? S?A C D =

1 3

1 ? AO ?S ?CDE . 3
6

7 1 2 在△ACD 中,CA=CD=2,AD= 2 ,所以 S ?ACD = ? 2 ? 22 ? ( )2 = . 2 2 2

AO ? S ?CDE 1 3 3 ? 22 = 而 AO=1, ?S ?CDE = ? ,所以 h= = 2 4 2 S ?ACD
所以点 E 到平面 ACD 的距离为

1?

3 2 = 21 . 7 7 2

21 . 7

17.解析: (1)依题意,得 A= 3 2 ,

2? T ? =2,因为 T= ,所以 ? = ,所以 y= ? 4 4

3 2 sin( x ? ? ) . 4
当 x=-1 时, 3 2 sin(?

?

?
4

由 ? ?) = 3 2 ,

?
2

<? < ? , 得?

?
4

?? =

?
2

, 所以 ? =

3? . 4

又 x=0 时,y=OC=3,因为 CD= 3 ,所以∠COD=

?
6

,从而∠DOE=

?
3



(2)由(1)可知 OD=OP= 2 3 , “矩形草坪”的面积 S= (2 3sin ? ) (2 3cos? ? 2sin ? ) = 4 3( 3sin ? cos? ? sin 2 ? ) = 4 3(

3 1 1 ? sin 2? ? cos 2? ? ) = 4 3sin(2? ? ) ? 2 3 , 2 2 2 6

其中 0< ? <

?
3

,所以当 2? ?

?
6



?
2

,即 ? =

?
6

时,S 最大.

3 3 3 x+ .所以 l:y= ? +1. 3 3 2 (2)设 A(a,0),B(0,b) (a>2,b>2),则 l:bx+ay-ab=0.由题可得 M (1,1).
18.解析: (1)由题可得 k MC = 3 , k l = ? 所以点 M 到直线 l 的距离 d=

| b ? a ? ab | a 2 ? b2

=1,整理得(a-2)(b-2)=2,即 ab-2(a+b)

+2=0.于是 ab+2=2(a+b)≥ 4 ab , ab ≥2+ 2 ,ab≥6+ 4 2 .当且仅当 a=b=2 + 2 时,ab=6+ 4 2 . 所以面积 S= ab ≥3+ 2 2 ,此时△AOB 为直角边长为 2+ 2 的等腰直角三角形. 周长 L=a+b+ a2 ? b2 ≥ 2 ab + 2ab =(2+ 2 )· ab ≥ (2 ? 2)2 =6+ 4 2 , 此时△AOB 为直角边长为 2+ 2 的等腰直角三角形. 所以此时的△AOB 为同一个三角形. (3)l 的方程为 x+y-2- 2 =0,得 A(2+ 2 ,0),B(0,2+ 2 ), M : ( x ? 1)2

1 2

7

+ ( y ? 1)2 =1,设 P(m,n)为圆上任一点,则 (m ? 1) 2 + (n ? 1)2 =1, m 2 + n2 =2(m+n)-1,

(m ? 1)2 + (n ? 1)2 =1≥

(m ? n ? 2) 2 ,2- 2 ≤m+n≤2+ 2 . 2

PA2 + PB 2 + PO 2 = 3m 2 + 3n 2 -(4+ 2 2 )(m+n)+ 2(2 ? 2)2 =(9+ 8 2 )-( 2 2
-2)(m+n). 当 m+n=2- 2 时, ( PA2 ? PB2 ? PO2 )max =(9+ 8 2 )-( 2 2 -2)( 2- 2 )=17+

2 2 .此时,m=n=1-

2 . 2

当 m+n=2+ 2 时, ( PA2 ? PB 2 ? PO 2 )min =(9+ 8 2 )-( 2 2 -2)( 2+ 2 )=9+

6 2 .此时,m=n=1+

2 . 2

19.解析: (1)由题意,令 m=2,n=1,可得 a 3 = 2a2 - a1 +2=6,再令 m=3,n=1, 可得 a 5 = 2a3 - a1 +8=20. (2) 当 n∈ N ? 时, 由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2 n ?3 + a2 n ?1 = 2a2 n ?1 +8, 于是[ a2( n?1)?1 - a2( n?1)?1 ]-( a2 n ?1 - a2 n ?1 )=8,即 bn ?1 - bn =8.所以 ?bn ? 是公差为 8 的等差数列. (3)由(1) (2)可知 ?bn ? 是首项 b1 = a 3 - a1 =6,公差为 8 的等差数列,则 bn =8n -2,即 a2 n ?1 - a2 n ?1 =8n-2.另由已知(令 m=1)可得, an =

a2 n ?1 - (n ? 1)2 .那么 2

an ?1 - an =

a2n?1 ? a2n?1 8n ? 2 -2n+1= -2n+1=2n,于是 c n = 2nqn?1 . 2 2

当 q=1 时, Sn =2+4+6+?+2n=n (n+1). 当 q≠1 时,Sn =2·q0 +4·q 1 +6·q2 +?+2n·q n ?1 , 两边同乘以 q, 可得 qS n =2·q 1 +4· q2 +6· q3 +?+2n· qn .上述两式相减,得

(1 ? q)Sn = 2(1 ? q ? q 2 ?

? q n?1 ) -2n qn = 2 ?

1 ? qn 1 ? (n ? 1)q ? nq n ?1 -2n qn = 2 ? , 1? q 1? q

所以 Sn = 2 ?

nq n ?1 ? (n ? 1)q ? 1 . (q ? 1) 2

?n(n ? 1), ? 综上所述, Sn = ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 , ?2 ? (q ? 1) 2 ?
8

q ?1 , q ? 1.

20.解析: (1)对于 f1 ( x) =x,它在(0, ??) 上是增函数,不妨设 a≤b≤c,则 f1 (a ) ≤

f1 (b) ≤ f1 (c) ,因为 a+b>c,所以 f1 (a) + f1 (b) =a+b>c= f1 (c) ,故 f1 ( x) 是“保三角形
函数” . 对于 f 2 ( x) = 2 x ,它在(0, ??) 上是增函数, ,不妨设 a≤b≤c,则 f 2 ( a ) ≤ f 2 (b) ≤

f 2 (c) ,因为 a+b>c,所以 f 2 ( a ) + f 2 (b) = 2a + 2b = ( 2a ? 2b ) 2 > 2(a ? b) >
. 2c = f 2 (c) ,故 f 2 ( x) 是“保三角形函数” 对于 f 3 ( x) = 3 x 2 ,取 a=3,b=3,c=5,显然 a,b,c 是一个三角形的三边长,但因 为 f 3 (a ) + f 3 (b) = 3 ? (32 ? 32 ) < 3 ? 52 = f 3 (c) ,所以 f 3 (a ) , f 3 (b) , f 3 (c) 不是三角形的三 边长,故 f 3 ( x) 不是“保三角形函数” . (2)解法 1:因为 g ( x) =1+ =1+

(k ? 1) x ,所以当 x=0 时, g ( x) =1;当 x>0 时, g ( x) x2 ? x ? 1

k ?1 . 1 x ? ?1 x ①当 k=-1 时,因为 g ( x) =1,适合题意. k ?1 k ?1 ②当 k>-1 时,因为 g ( x) =1+ ≤1+ =k+2,所以 g ( x) ∈ (1 , 1 1 x ? ?1 2 x ? ?1 x x k ?1 k ? 2] .从而当 k> -1 时, g ( x) ∈ [1 , k ? 2] .由 1+1>k+2,得 k<0,所以 1 2 x ? ?1 x -1<k<0. k ?1 k ?1 ③当 k<-1 时, 因为 g ( x) =1+ ≥1+ =k+2, 所以 g ( x) ∈ [ k ? 2 , 1 1 x ? ?1 2 x ? ?1 x x
?k ? 2 ? 0, 3 3 1) , 1] . 从而当 k>-1 时, 所以 g ( x) ∈ [ k ? 2 , 由? 得, k> ? , 所以 ? 2 2 ?(k ? 2) ? (k ? 2) ? 1
<k<-1. 综上所述,所求 k 的取值范围是( ? ,0). 解法 2:因为 g / ( x) =

3 2

(2 x ? k )( x 2 ? x ? 1) ? ( x 2 ? kx ? 1)(2 x ? 1) (k ? 1)( x ? 1)( x ? 1) =? , 2 2 ( x 2 ? x ? 1) 2 ( x ? x ? 1)

①当 k=-1 时,因为 g ( x) =1,适合题意. ②当 k>-1 时,可知 g ( x) 在 [0 ,1) 上单调递增,在 (1 ,??) 上单调递减,而 g (0) =1,

9

g (1) =k+2,且当 x>1 时, g ( x) >1,所以此时 g ( x) ∈ [1 , k ? 2] . ③当 k<-1 时,可知 g ( x) 在 [0 ,1) 上单调递减,在 (1 ,??) 上单调递增,而 g (0) =1, g (1) =k+2,且当 x>1 时, g ( x) <1,所以此时 g ( x) ∈ [ k ? 2 , 1] .
(以下同解法 1) (3)①因为 h( x) 的值域是(0, ??) ,所以存在正实数 a,b,c,使得 h(a) =1, h(b) = 1, h(c) =2,显然这样的 h(a) , h(b) , h(c) 不是一个三角形的三边长. 故 h( x) 不是“恒三角形函数” . ②因为 h( x) 的最小正周期为 T(T>0),令 a=b=m+kT,c=n,其中 k∈ N ? ,且 k>

n ? 2m ,则 a+b>c,又显然 b+c>a,c+a>b,所以 a,b,c 是一个三角形的三边长. 2T 但因为 h(a) = h(b) = h(m) =1, h(c) = h(n) =2,所以 h(a) , h(b) , h(c) 不是一个三
角形的三边长. 故 h( x) 也不是“保三角形函数” . (说明:也可以先证 h( x) 不是“保三角形函数” ,然后根据此知 h( x) 也不是“恒三角形 函数” . )

10


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