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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-16


试卷设计说明
本试卷设计是在 《学科教学指导意见》 的基础上, 通过对 《考试说明》 《2013 与 高考命题解析》的学习与研究,精心编撰形成。对函数与方程、数形结合、分类 讨论、等价转化及整体思想都有一定的涉及。注重考查学生的基础知识与基本运 算能力;同时也注重学生对通解通法的掌握,不追求解题的技巧。题目基本上追 求原创,部分题目进行了改编,每个题目都呈现出编者的意图

,说明考查的知识 点。整个试卷的结构、题型、分数的分布、内容的选择都力求与高考保持一致, 同时也为了更适合本校学生的整体水平与现阶段的考查要求。对知识点力求全面 但不追求全面,做到突出主干知识,强化基础知识,着力于能力考查,对相关知 识联系设问。从了解、理解、掌握三个层次要求学生。对能力考查做到多层次、 多方位,选题以能力立意,侧重对知识的理解与应用,考查他们知识的迁移及学 生思维的广度与深度。

试题明细表
题型 单项选择 单项选择 题 号 1 2 内容领域/知识内容 集合运算 数系的扩充和复数的引入 知识深 度 掌握 掌握 测量目标/ 行为目标 认识 认识 预估难度 0.90 0.80

单项选择 单项选择 单项选择 单项选择 单项选择 单项选择 单项选择 单项选择 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

空间几何体的三视图 两直线垂直、充要条件 线线、线面的位置关系 基本不等式的应用 数列与向量 三角综合问题 圆锥曲线的离心率 函数综合问题 统计 直线与圆 正弦定理、余弦定理、三 角形 框图、周期性 线性规划 单调性与对称性问题 向量、导数、函数图象综 合 三角函数,余弦定理、面 积等 等差数列,等比数列 立体几何 函数与导数 圆锥曲线/双曲线

理解 理解 运用 掌握 了解 运用 了解 理解 了解 运用 理解 理解 了解 理解 理解 理解 理解 理解 理解 理解

认识 认识 认识 认识 认识 认识 认识 再认 认识 认识 认识 再认 再认 再认 认识 认识 认识 再认 再认 再认

0.75 0.80 0.72 0.72 0.70 0.69 0.69 0.51 0.90 0.71 0.69 0.52 0.70 0.50 0.44 0.70 0.67 0.60 0.53 0.40

2013 年高考模拟数学试卷(文科)
本试卷满分为 150 分,考试用时为 120 分钟
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V= 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=

1 h(S1+ S1 S 2 +S2) 3

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求) 1. 【改编自泉洲一模】 1.已知集合 A ? {1, 2a }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? { } ,则 A ? B 为 A. { ,1, b}

1 2

1 2

B. {?1, }

1 2

C. {1, }

1 2

D. {?1,

1 ,1} ( 2



(选题意图:主要考查集合的表示、集合的运算。 )
2 2. 【原创】设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ?

A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i (选题意图:本题考查复数的概念及复数的四则运算。 ) 3、 【原创】若某空间几何体的三视 图如图所示,则该几 何体的体积是( ) A.2 B. 1 C.

2 ( ) z D. ?1 ? i

2 3

D.

1 3

(命题意图:本题主要考查三视图的应用及数学思维的 (第 3 题图) 灵活性和空间想象能力。 ) 4. 【原创】 “a=1”是“直线 ax-y=0 和直线 x+(1-a)y+3=0 互相垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (命题意图:主要考查充要条件的有关概念、两直线位置关系的判定。 ) 5、已知 a、b 是异面直线,P 是 a、b 外的一点,则下列结论中正确的是( ) (A)过 P 有且只有一条直线与 a、b 都垂直 (B)过 P 有且只有一条直线与 a、b 都平行 (C)过 P 有且只有一个平面与 a、b 都垂直 (D)过 P 有且只有一个平面与 a、b 都平行 (命题意图:主要考查两直线位、直线与平面位置关系的判定、空间想象能力。 ) 6、 【原创】已知 a<0,b<0,a+b=-2 若 c ?

1 1 ? ,则 c 的最值为 a b

(

)

A.最小值-1 B.最小值-2 C.最大值-2 D.最大值-1 (编题意图:本题考查基本不等式的应用及函数最值问题。 ) 7. 【原创】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 M、N、P 三点共线,O 为坐标原点,且 ,则 ON ? a1006 OM ? a1008 OP (直线 MP 不过点 O) S 2013 等于 A.1008 B.2013 C.1006.5 D.1006 (编题意图:本题考查平面向量共线定理、数列求和。 ) 8. 【原创】函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图像的一条对称轴是 A. x ? ( D. x ? ) ( )

?
3

B. x ?

?
6

C. x ?

?
12

?
4

(编题意图:本题考查二倍角公式、辅助角公式、对称轴问题及三角恒等变换。 )

9. 【原创】已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆 点,则Δ F1PF2 的面积是 A.2 B.3

x2 x2 2 + y2=1 和双曲线 - y =1,P 是它们的一个交 5 3
( C.1 D.4 )

(命题意图:本题主要考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力。 ) (10) 【改编自 12 年会考】设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f ?(x)g(x)+f(x)g ? ?0 ,且 g(-2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) (x)

(A) (-2,0) ? (2, ?) ? (C) (- ?,-2) ? (2, ?) ?

(B) (-2,0) ? (0, 2) (D) (-?,-2) ? (0, 2)

(命题意图:主要考察函数的奇偶性、单调性、导数的应用及不等式的解法。 ) 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在题中横线上) 11. 【自编】某高中共有 2000 名学生,采用分层抽样的方法,分别在三个年级的学生中抽取容 量为 100 的一个样本, 其中在高一、 高二年级中分别抽取 30、 名学生, 30 则该校高三有 __ 名学生. (命题意图:本题主要考查学生数据处理的能力和分析问题的能力。 ) 12. 【改编】经过点 M(l,2)的直线 l 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 64 相文于 A、B 两点, 则|AB|的最大值等于_______。 (命题意图:本题主要考查学直线和圆的位置关系、弦长问题及最值问题。 ) 13、 【原创】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,c:b=8:5,△ ABC 的面积为 40 3 ,则外接圆的半径为___ (编题意图:本题考查正(余)弦定理的运用。 ) 14.右程序框图中,当 n ?N (n>1)时,函数 f n( x)表示函 数 f n-1( x)的导函数.若输入函数 f1( x)? sinx ? cosx ,则输出的 函数 f n( x)可化为___ __。 (编题意图:本题主要考查程序框图,解题的关键是识图, 特别是循环结构的使用、同时考查周期性及三角变换。 )
输入 f1(x)
?

开始

n=2

?y ? 2 ? 15. 【原创】已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
值为 。 (编题意图:本题主要考查线性规划问题、斜率的概念及最值) 16、 【原创】已知函数 f(x)=2x3+x+sinx+1,若 f(a)+f(a+1)>2,则实数 a 的取值范围是____________。 (编题意图:本题主要考查函数单调性、对称性问题) 17、给出以下三个命题,其中所有正确命题的序号为____.


fn(x)=f'n-1(x)

n=n+1

n>?013? 是 输出 fn(x)

2? ) ①设 a,b 均为单位向量,若|a+b|>1,则 ? ? [0, 3

结束 第 14 题图

[来源:学科网 ZXXK]

②函数 f (x)=xsinx+l,当

,且



③已知函数 f (x)=|x2-2|,若 f (a) = f (b),且 0<a<b,则动点 P(a,b)到直线 4x+3y-15=0 的距离的最小值为 1 (编题意图:本题主要考查向量的有关概念、导数的应用、函数的图象及综合应用能力) 三、解答题(共 5 小题,共 72 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18、 (原创) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的一系列对应值如下表:

x
y

?

?
4

0
1

? 6
1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

0

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 3 , f ( A) ? ?

1 ,求 ?ABC 的面积. 2

(编题意图:主要考查三角函数性质、余弦定理、二倍角公式、三角形面积等知识, 考查化 归与转化的数学思想方法和运算求解能力) 19. (原创) (满分 14 分) 设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 3n, (n ? N * ) . ⑴证明数列{ a n ? 3 }为等比数列 ⑵求{ S n }的前 n 项和 Tn

(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 20. (改编) (15 分)如图,一张平行四边形的硬纸片 ABC0 D 中, AD ? BD ? 1 , AB ? 2 。 沿它的对角线 BD 把△ BDC0 折起,使点 C0 到达平面 ABC0 D 外点 C 的位置。 (Ⅰ)△ BDC0 折起的过程中,判断平面 ABC0 D 与平面 CBC0 的位置关系,并给出证明; (Ⅱ)当△ ABC 为等腰三角形,求此时二面角 A ? BD ? C 的大小。 (本小题主要考查折叠问题,空间线面、面面位置关系、二面角的平面角等知识,考查空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

21.(改编) (本小题满分 15 分) 9 2 3 设函数 f ( x ) ? x ? x ? 6 x ? a . 2

( 5] (1)对于任意实数 x , f '( x) ? m 在 1, 恒成立(其中 f '( x ) 表示 f ( x) 的导函数) ,求 m 的最大
值; (2)若方程 f ( x) ? 0 在 R 上有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. (本小题主要考查函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方 法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识

22.(改编)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点 F 重合, a 2 b2
5 . 3

椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P , PF ? (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)若过点 A ? ?1,0? 的直线与椭圆 C1 相交于 M 、 N 两点, 求使 FM ? FN ? FR 成立的动点 R 的轨迹方程; (3)若点 R 满足条件(2),点 T 是圆 x ? 1

???? ??? ? ?

??? ?

?

?

2

? y 2 ? 1 上的动点,求 RT 的最大值.

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转 化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

姓名_______________学号_______________座位号_________________ ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● …………………………………………密………………………………………封…………………………………………线…………………………………………

答案

题号

19、 (本题 14 分) 一、选择题

二、填空题

三、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 12、__________________ 16、__________________ 14、__________________ 9 10

11、__________________

17、__________________

18、 (本题 14 分) 13、__________________

15、__________________

2013 年高考模拟数学试卷(文科)
答题卷

20、 (本题 15 分)

21、 (本题 15 分)

22、 (本题 14 分)

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A C C C B D 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 (11) 800 (12)16 (16) (? ,?? ) (13)

14 3 3

(14) 2 sin(x ?

π ) 4

(15)4

1 2

(17)①②

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)由表格给出的信息知,函数 f ( x ) 的周期为 T ? 所以 ? ?

2?

3? ? ? ?? , 4 4

?

?2.

…………2 分

由 sin(2 ? ( ?

?
4

) ? ?) ? 0 ,

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

……………4 分

所以函数的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2)∵ f ( A) ? cos 2 A ? ? 当A?

?
2

) (或者 f ( x) ? cos 2 x ) …………5 分
……………8 分

?
3

? 2? 1 ,∴ A ? 或 A ? 3 3 2

时,在 ?ABC 中,由余弦定理得,

c2 ? 4 ? 9 3 4c 2 故 c ? 2c ? 5 ? 0 , cos ?
∴ c ? 6 ? 1,∴ S?ABC ? 同理可求得,当 A ?

?

1 3 2? 3 .……11 分 ? AB ? AC ? sin A ? 2 2

2? 时, 3
……………14 分

1 3 2? 3 S?ABC ? ? AB ? AC ? sin C ? 2 2

(注:本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和 ? 方法众多, 只要言之有理并能正确求出即给分). 19、解:⑴令 n=1,S1=2a1-3. ∴a1 =3

由 Sn+1=2an+1-3(n+1), Sn=2an-3n, 两式相减,得 an+1 =2an+1-2an-3, 则 an+1 =2an+3 .………………………………4 分
a n ?1 ? 3 ? 2(a n ? 3)

a n ?1 ? 3 ?2 an ? 3

所以{ a n ? 3 }为公比为 2 的等比数列……………7 分 ⑵an+3=(a1+3) ·2 =6·2 , n-1 ∴ an =6·2 -3 ………………………10 分
Sn ? 6(1 ? 2 n ) ? 3n ? 6 ? 2 n ? 3n ? 6. …………………12 分 1? 2
n-1 n-1

Tn ? 12(2 n ? 1) ?

3 2 15 n ? n …………………14 分 2 2

20、解析: (Ⅰ)平面 ABC0 D ? 平面 CBC0 …………1 分 证明:因为

AD ? BC0 ? BD ? 1 , AB ? C0 D ? 2 ,

所以 ?DBC0 ? 90? , ?ADB ? 90? 。 因为折叠过程中, ?DBC ? ?DBC0 ? 90? ,所以

DB ? BC,又 DB ? BC0 ,
故 DB ? 平面 CBC0 。 又 DB ? 平面 ABC0 D , 所以平面 ABC0 D ? 平面 CBC0 。…………6 分 (Ⅱ)如图,延长 C0 B 到 E ,使 BE ? C0 B ,连结 AE , CE 。…………7 分

因为 AD

BE , BE ? 1 , DB ? 1 , ?DBE ? 90? ,

所以 AEBD 为正方形, AE ? 1 。 由于 AE , DB 都与平面 CBC0 垂直, 所以 AE ? CE ,可知 AC ? 1 。 因此只有 AC ? AB ? 2 时,△ ABC 为等腰三角形。………………9 分 在 Rt △ AEC 中, CE ?

AC2 ? AE2 ? 1,

又 BC ? 1 ,所以△ CEB 为等边三角形, ?CBE ? 60? 。…………13 分 由(Ⅰ)可知, ,所以 ?CBE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角, 即二面角 A ? BD ? C 的大小为 60? 。…………15 分 21、 (本小题满分 15 分)
2 ( 5] 解:(1) f '( x) ? 3x ? 9x ? 6 , x ? 1, .

( 5] ( 5] 法一: f '( x) ? m 在 1, 恒成立 ? m ? 3x ? 9 x ? 6 在 1, 恒成立.……4 分
2

3 3 ( 5] 在 1, 的最小值为 ? , 4 4 3 3 所以,得 m ? ? ,即 m 的最大值为 ? . ………………8 分 4 4
由 f '( x) ? 3 x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? ) ?
2 2

3 2

( 5] 法二:令 g ? x ? ? 3x2 ? 9 x ? 6 ? m , x ? 1, .
( 5] ( 5] 要使 f '( x) ? m 在 1, 恒成立,则只需 g ? x ? ? 0 在 1, 恒成立.
由于 y ? g ? x ? 的对称轴为 x ?

3 ( 5] ,当 x ? 1, 时, 2

27 27 ? ?6?m ? 0, 4 2 3 3 解得 m ? ? ,所以 m 的最大值为 ? .……………………………8 分 4 4
g ( x) min ? g ( ) ?
(2) y ? f ( x) 在 (??,1) 和 (2, ??) 单调增,在 (1, 2) 单调减. 所以 f (x)极大值=f (1) ? 5 ? a , f ( x)极小值 =f (2) ? 2 ? a .…………………12 分

3 2

2

故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 得a ? 2或a ?

5 时,方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 2

5 所以 a ? ( ??, 2) ? ( , ??) .……………………………15 分 2 22、(本小题满分 14 分)
(1)解法 1:抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点 F 的坐标为 ?1,0 ? ,准线为 x ? ?1 ,

设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,依据抛物线的定义, 由 PF ?

5 2 5 ,得 1 ? x0 ? , 解得 x0 ? .…………… 1 分 3 3 3

∵ 点 P 在抛物线 C2 上,且在第一象限, ∴ y0 ? 4 x0 ? 4 ?
2

2 2 6 ,解得 y0 ? . 3 3

∴点 P 的坐标为 ?

?2 2 6? ? 3, 3 ?. ? ? ?

…………… 2 分

x2 y 2 ∵点 P 在椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 上, a b
又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 ,
2 2 2 2



4 8 ? 2 ? 1 . …… 3 分 2 9a 3b
…………… 4 分

解得 a2 ? 4, b2 ? 3 .

∴椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………… 5 分

解法 2: 抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点 F 的坐标为 ?1,0 ? , 设点 P 的坐标为 x0 , y0 , x0 ? 0, y0 ? 0 . ∵ PF ?

?

?

5 , 3

∴ x0 ? 1

?

?

2

2 ? y0 ?

25 . 9



…………… 1 分

∵点 P 在抛物线 C2 : y 2 ? 4x 上,
2 ∴ y0 ? 4x0 .



解①②得 x0 ?

2 2 6 , y0 ? . 3 3

∴点 P 的坐标为 ?

?2 2 6? ? 3, 3 ?. ? ? ?

…………… 2 分

∵点 P 在椭圆 C1 : ∴

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2
…………… 3 分

4 8 ? 2 ?1. 2 9a 3b

又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 ,
2 2 2 2

………… 4 分

解得 a2 ? 4, b2 ? 3 .

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C1 的方程为 4 3
(2)解法 1:设点 M

……… 5 分

? x1, y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 、 R ? x, y ? ,
???? ??? ?

则 FM ? ? x1 ? 1, y1 ? , FN ? ? x2 ? 1, y2 ? , FR ? ? x ? 1, y ? . ∴ FM ? FN ? ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ① ………… 6 分

???? ?

???? ???? ?
??? ?

???? ??? ? ?

∵ M 、 N 在椭圆 C1 上, ∴

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1. 4 3 4 3

上面两式相减得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
4 ? 3

? 0 .②

把①式代入②式得

? x ? 1?? x1 ? x2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 0 .
4 3
③ ……… 7 分

当 x1 ? x2 时,得

3 ? x ? 1? y1 ? y2 . ?? x1 ? x2 4y
? x ?1 y ? , ?. ? 2 2?

设 FR 的中点为 Q ,则 Q 的坐标为 ? ∵ M 、 N 、 Q 、 A 四点共线,

∴ kMN

y y1 ? y2 y 2 . ? ? ? kAQ , 即 x1 ? x2 x ? 1 ? 1 x ? 3 2



…… 8 分

把④式代入③式,得

3 ? x ? 1? y , ?? x?3 4y

2 2 化简得 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

……… 9 分

当 x1 ? x2 时,可得点 R 的坐标为 ? ?3,0? ,

2 2 经检验,点 R ? ?3,0? 在曲线 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 上. 2 2 ∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

……… 10 分

解法 2:当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? k x ? 1 ,

?

?

? y ? k ? x ? 1? , ? 由 ? x2 消去 y , y2 ? ? 1, ? 3 ?4
得 3 ? 4k 设点 M

?

2

?x

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .

? x1, y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 、 R ? x, y ? ,

8k 2 则 x1 ? x2 ? ? , 3 ? 4k 2
y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ?
∵ FM ? ? x1 ? 1, y1 ? , FN ? ? x2 ? 1, y2 ? , FR ? ? x ? 1, y ? . ∴ FM ? FN ? ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ∴ x ? 1 ? x1 ? x2 ? ?

6k .…6 分 3 ? 4k 2

???? ?

????

??? ?

???? ???? ?

???? ??? ? ?

??? ?

8k 2 , 3 ? 4k 2



y ?

6k . 3 ? 4k 2



…………… 7 分

① ? ②得 k ? ?

3 ? x ? 1? 4y





…………… 8 分

2 2 把③代入②化简得 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 . (*)

?

?

…………… 9 分

当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 依题意, 可得点 R 的坐标为 ? ?3,0? ,
2 2 经检验,点 R ? ?3,0? 在曲线 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 上. 2 2 ∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

……… 10 分

2 2 (3)解: 由(2)知点 R x, y 的坐标满足 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 , 2 2 即 4 y ? ?3 x ? 4 x ? 3 , 2 由 y 2 ? 0 ,得 ?3 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? x ? ?1 .………… 11 分

?

?

?

?

?

?

?

?

∵圆 x ? 1 ∴ RF ?

?

?

2

? y 2 ? 1 的圆心为 F ?1,0 ? ,半径 r ? 1 ,
2

? x ? 1?
1 2

? y2 ?
2

? x ? 1?

2

?

3 2 x ? 4x ? 3 4

?

?

?

? x ? 10?
max

? 105 .
? 4,

…………… 12 分

∴当 x ? ?3 时, RF 此时, RT

…………… 13 分 ………… 14 分

max

? 4 ? 1 ? 5.


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