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第一章空间几何体综合检测-附答案


第一章综合检测题
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.如下图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )

A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是棱锥 D.④不是棱柱 2.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图

的面积是原三角形面积的( ) 1 A.2倍 B.2 倍 2 2 C. 4 倍 D. 2 倍 3.(2012· 湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则 该几何体的俯视图不可能是( )

4.已知某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(

)

A.长方体 B.圆柱 C.四棱锥 D.四棱台 5.正方体的体积是 64,则其表面积是( ) A.64 B.16 C.96 D.无法确定 1 6.圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的2,则圆 锥的体积( ) A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的 2 倍 1 C.不变 D.缩小到原来的6 7.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个 球的表面积之和的( ) A.1 倍 B.2 倍 9 7 C.5倍 D.4倍 8.(2011~2012· 浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸 如下图(单位:cm),则该几何体的表面积为( )

A.12πcm2 B.15πcm2 C.24πcm2 D.36πcm2 9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3, 圆台的侧面积为 84π,则圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一 个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等, 相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现. 我们来重温这个 伟大发现. 圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积 之比分别为( )

3 2 A.2,1 B.3,1 3 3 2 3 C.2,2 D.3,2 11.(2011-2012· 广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的

矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 5 的等腰三角形, 侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 5 的等腰三角形.则该 几何体的体积为( )

A.24 B.80 C.64 D.240 12.如果用 表示 1 个立方体,用 表示两个立方体叠加,用 表示 3 个立方体叠加,那么图中由 7 个立方体摆成的几何体,从正前 方观察,可画出平面图形是( )

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确 答案填在题中横线上) 13.圆台的底半径为 1 和 2,母线长为 3,则此圆台的体积为 ________. 14. (2011-2012· 北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体 的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ___________________ __________________________________________________.

15.圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的表面 积为________. 16. (2011-2012· 安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺 寸如下图所示,其中主视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是 等腰三角形,则这个几何体的表面积是________.

三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)画出如图所示几何体的三视图.

18.(本题满分 12 分)圆柱的高是 8cm,表面积是 130πcm2,求它 的底面圆半径和体积. 19.(本题满分 12 分)如下图所示是一个空间几何体的三视图, 试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限).

20.(本题满分 12 分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶, 四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为 2m,高为 7m,制造这个塔顶需要多少铁板?

21.(本题满分 12 分)如下图,在底面半径为 2、母线长为 4 的圆 锥中内接一个高为 3的圆柱,求圆柱的表面积.

22.(本题满分 12 分)如图所示(单位:cm),四边形 ABCD 是直 角梯形, 求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.

详解答案 1[答案] C [解析] 图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下 两个面不平行,所以②不是圆台;图④前、后两个面平行,其他面是 平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱;很 明显③是棱锥. 2[答案] C [解析] 设△ABC 的边 AB 上的高为 CD,以 D 为原点,DA 为 x 轴建系,由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′,则 A′B′= 1 AB,C′D′=2CD. 1 S△A′B′C′=2A′B′· C′D′sin45° 21 2 = 4 (2AB· CD)= 4 S△ABC.

3[答案] D [解析] 本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视 图均如图 1 所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直 四棱柱或下底是直角的三棱柱, A, B, C 都可能是该几何体的俯视图, D 不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩 形.

[ 点评 ] 本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能 力.是近年高考中的热点题型. 4[答案] A [解析] 该几何体是长方体,如图所示.

5[答案] C [解析] 由于正方体的体积是 64,则其棱长为 4,所以其表面积 为 6×42=96. 6[答案] A

1 ?1 ? 1 [解析] V=3π?2r?2×2h=6πr2h,故选 A. ? ? [答案] C 7[解析] 设最小球的半径为 r, 则另两个球的半径分别为 2r、 3r, 2 36πr 9 所以各球的表面积分别为 4πr2,16πr2,36πr2,所以 2 2= . 4πr +16πr 5 8[答案] C [解析] 由三视图可知该几何体是圆锥,S 表=S 侧+S 底=πrl+πr2 =π×3×5+π×32=24π(cm2),故选 C. 9[答案] A [解析] 设圆台较小底面圆的半径为 r,由题意,另一底面圆的 半径 R=3r. ∴S 侧=π(r+R)l=π(r+3r)×3=84π,解得 r=7. 10[答案] C [解析] 设球的半径为 R, 则圆柱的底面半径为 R,高为 2R, 4 ∴V 圆柱=πR2×2R=2πR3,V 球=3πR3. V圆柱 2πR3 3 ∴ = = , V球 4 3 2 3πR S 圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S 球=4πR2. S圆柱 6πR2 3 ∴ =4πR2=2. S球 11[答案] B [解析] 该几何体的四棱锥,高等于 5,底面是长、宽分别为 8、 1 1 6 的矩形,则底面积 S=6×8=48,则该几何体的体积 V=3Sh=3 ×48×5=80. 12[答案] B [解析] 画出该几何体的正视图为 ,其上层有两个立方 体,下层中间有三个立方体,两侧各一个立方体,故 B 项满足条件. 14 2 13[答案] 3 π [解析] 圆台高 h= 32-?2-1?2=2 2, π 14 2 ∴体积 V=3(r2+R2+Rr)h= 3 π. 14[答案] 36

[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱,如图所示,底 面是梯形 ABCD,高 h=6,

?1 ? 则其体积 V=Sh=?2?2+4?×2?×6=36. ? ?

[答案] 24π +8π 或 24π +18π 15[解析] 圆柱的侧面积 S 侧=6π×4π=24π2. (1)以边长为 6π 的边为轴时, 4π 为圆柱底面圆周长, 所以 2πr=4π, 即 r=2. 所以 S 底=4π,所以 S 表=24π2+8π. (2)以 4π 所在边为轴时,6π 为圆柱底面圆周长,所以 2πr=6,即 r=3.所以 S 底=9π,所以 S 表=24π2+18π. 16[答案] 2(1+ 3)π+4 2 [解析] 此几何体是半个圆锥,直观图如下图所示,先求出圆锥 的侧面积 S 圆锥侧=πrl=π×2×2 3=4 3π,S 底=π×22=4π,

2

2

1 S△SAB=2×4×2 2=4 2, 4 3π 4π 所以 S 表= 2 + 2 +4 2 =2(1+ 3)π+4 2. 17[解析] 该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱,其 三视图如图所示.

18[解析] 设圆柱的底面圆半径为 rcm, ∴S 圆柱表=2π·r· 8+2πr2=130π. ∴r=5(cm),即圆柱的底面圆半径为 5cm. 则圆柱的体积 V=πr2h=π×52×8=200π(cm3). 19[解析] 由三视图可知该几何体是一个正三棱台. 画法:(1)如图①所示,作出两个同心的正三角形,并在一个水 平放置的平面内画出它们的直观图; (2)建立 z′轴,把里面的正三角形向上平移高的大小; (3)连接两正三角形相应顶点,并擦去辅助线,被遮的线段用虚 线表示,如图②所示,即得到要画的正三棱台.

20[解析]如图所示, 连接 AC 和 BD 交于 O,连接 SO.作 SP⊥AB, 连接 OP.

1 在 Rt△SOP 中,SO= 7(m),OP=2BC=1(m), 所以 SP=2 2(m), 1 则△SAB 的面积是2×2×2 2=2 2(m2). 所以四棱锥的侧面积是 4×2 2=8 2(m2), 即制造这个塔顶需要 8 2m2 铁板. 21[解析] 设圆柱的底面半径为 r,高为 h′. 圆锥的高 h= 42-22=2 3, 又∵h′= 3, 1 r 2 3- 3 ∴h′=2h.∴2= ,∴r=1. 2 3 ∴S 表面积=2S 底+S 侧=2πr2+2πrh′ =2π+2π× 3=2(1+ 3)π. 22[解析] 由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+ 圆台的侧面积+半球面面积. 1 又 S 半球面=2×4π×22=8π(cm2), S 圆台侧=π(2+5) ?5-2?2+42=35π(cm2), S 圆台下底=π×52=25π(cm2), 即该几何全的表面积为 8π+35π+25π=68π(cm2). π 又 V 圆台=3×(22+2×5+52)×4=52π(cm3), 1 4π 16π V 半球=2× 3 ×23= 3 (cm3). 16π 140π 所以该几何体的体积为 V 圆台-V 半球=52π- 3 = 3 (cm3).


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