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高中数学竞赛练习—几何


高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(11) . 一圆 O 切于两条平行线 l1 , l2 ,第二个圆 ? O1 切 l1 于 A ,外切 ? O 于 C ,第三个圆 ? O2 切 l2 于 B ,外切 ? O 于 D ,外切 ? O1 于 E , AD 交 BC 于 Q ,求证 Q 是 ?CDE 的外心。 (35 届 IMO 预选题)

证明 由 AO1 ∥ BO2 ,知 ?AO1E ? ?BO2 E ,从而有 ?AEO1 ? ?BEO2 ,即 A, E , B 三 点 共 线 。 同 理 由 OF ∥ BO2 , 可 得 B, D, F 三 点 共 线 。 又 因 为

1 1 ?EDB ? 180? ? ?EO2 B ? 180? ? ?AO1E ? ?EAF , 所 以 A, E, D, F 四 点 共 圆 , 2 2
BE ?BA ? BD ?BF ,即点 B 在 ? O1 与 ? O 的根轴上。又因为 C 在 ? O1 与 ? O 的根轴上,
所以 BC 是 ? O1 与 ? O 的根轴。同理 AD 是 ? O2 与 ? O 的根轴,因此 Q 为根心,且有

QC ? QD ? QE ,即 Q 是 ?CDE 的外心。

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(12) 非等腰 ?ABC 的内切圆圆心为 I ,其与 BC , CA, AB 分别相切于点 A1 , B1 , C1 , AA1 , BB1 分 别交圆于 A2 , B2 , ?A B1C1 中 ?C1 A B1 , ?C1B1 A1 的角平分线分别交 B1C1 , AC1 于点 A3 , B3 , 1 1 1 证明(1) A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分线; (2)如果 P, Q 是 ?A A2 A3 和 ?B1B2 B3 的两个外接 1 圆的交点,则点 I 在直线 PQ 上。 (01 年保加利亚) 证 明 ( 1 ) 因 为 ?AC1 A2 ∽ ?AAC1 , ?AB1 A2 ∽ ?AA1 B1 , 所 以 有 1

C1 A2 ? C1 A1
线。

AA 2 ? AC 1

A 2A ? A 1B

1 2 ,从而有

B A 1B 1A

C1 A2 C1 A1 C1 A3 ,即 A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分 ? ? B1 A2 B1 A1 B1 A3

(2)设 ?A A2 A3 的外心为 O ,连 OI , IA2 ,OA2 ,OA1 ,则 OI ? A1 A2 。由于 ?A1 A3 A2 ? 1

?A1C1 A2 ? ?C1 A2 A3 ? ?C1 A1 A3 ? ?A1C1 A2 ?
所 以 ?A2 O I ?

1 ? ?C1 A2 B1 ? ?C1 A1B1 ? ? 90? ? ?A1C1 A2 , 2 ? ? ? 1C 2A 0 9 ? 1A ? ? 2A I是 有 ,? O 于

1 ? 2 O1 A? 8 0 ? ? ?A 3 A 2A9?0 A 1 1 2

?IA2O ? 90? ,即 IA2 与 ? O 相切于 A2 。同理 IB2 与 ?B1B2 B3 的外接圆相切于 B2 ,从而 I
在 ? O 与 ?B1B2 B3 的外接圆的根轴上,即 I ,P, Q 三点共线。

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(13) 已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线,与圆 O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA ,BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G ,BD 与 GX 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G, H 四点共圆。 (05 年日本)

证明

因为 X , D, G, C 是调和点列,且 ?CFD ? 90? ,所以 F 在关于点 X , G 的阿波

罗尼斯圆上。连 FG, FX ,有 ?GFD ? ?DFX 。设 ?GFX 的外接圆与 BF 交于点 H ? ,则 有 GH ? ? XH ? ,即 H ? 在 GX 的中垂线上,从而有 H ? ? H ,因此 X , F , G, H 四点共圆。

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(14) 若 P, Q 到 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 的距离的比都是 l : m : n ,且 l , m, n 互不相等,则直 线 PQ 过 ?ABC 的 外 接 圆 的 一 条 直 径 DE 。 若 设 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O , 则
2 。 OP? OQ OD ?

证明 法一:由于 P, Q 到 A, C 的距离之比为 l : n ,则 PQ 在阿波罗尼斯圆 ? G 上, 其中 AG 与 ? G 的交点为 K , L ,且 A, K , C, L 为调和点列。设 ? O 与 ? G 交于点 F ,则

GA? ? GK 2 ? GF 2 ,因此 GF 与 ? O 相切于点 F ,于是 OF 也与 ? G 相切于点 F 。同 GC
理, 由于 P, Q 到 B, C 的距离之比为 m : n , PQ 在阿波罗尼斯圆 ? M 上, ? O 与 ? M 则 设 交于点 H ,于是 OH 与 ? M 相切于点 H 。因为 OH ? OF ,所以 O 在 ? G 与 ? M 的根轴
2 2 上,从而有 O, P, Q 三点共线。设 PQ 与 ? O 交于点 D, E ,则 OD ? OF ? OP? OQ ,即

D, P, E, Q 为调和点列。
法二 由于

AP BP CP ? ? ,则 ?ABC 的外接圆就是关于点 P, Q 的阿波罗尼斯圆, AQ BQ CQ

从而 O 在直线 PQ 上,且有 OP? OQ ? OD2 。

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几何(15) 已知圆心分别为 O1 , O2 的圆 ?1 , ?2 外切于点 D ,并内切于圆 ? ,切点分别为 E , F ,过点 D 作 ?1 , ?2 的 公 切 线 l 。 设 圆 ? 的 直 径 AB 垂 直 于 l , 使 得 A, E, O1 在 l 的 同 侧 , 证 明 (第 47 届 IMO 预选题) AO1 , BO2 , EF 三线交于一点。

证明 设 AB 的中点为 O ,E 为圆 ? 与圆 ?1 的位似中心,由于半径 OB, O1D 分别垂直 于 l ,所以 OB ∥ O1D ,且有 E, D, B 三点共线。同理 F , D, A 三点共线。 设 AE, BF 交于点 C ,由于 AF ? BC, BE ? AC ,所以 D 是 ?ABC 的垂心,于是

CD ? AB ,这表明 C 在直线 l 上。
设 EF 与直线 l 交于点 P ,下面证明点 P 在直线 AO1 上。设 AC 与圆 ?1 的第二个交点 为 N ,则 ND 是圆 ?1 的直径,由梅涅劳斯定理的逆定理,要证 A, O1 , P 三点共线,只要证

CA CP CA NO1 DP ? 。设 l 与 AB 交于点 K ,则 ? ? ? 1 。因为 NO1 ? O1D ,所以只要证 AN PD AN O1 D PC

CA CK CP CK ? ? ,从而只要证 ,即证 C , P, D, K 是调和点列。连 AP 交 BC 于点 X , AN KD PD KD
则 C , X , F , B 是调和点列,因此有 C , P, D, K 是调和点列。

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几何(16) 设 ABCD 是 梯 形 , AB ∥ CD , 在 其 两 腰 AD, BC 上 分 别 存 在 点 P, Q , 使 得

?APB ? ?CPD, ?AQB ? ?CQD , 证明点 P, Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。 (20
届全俄) 证 明 设

?APB 与 ?CPD 的 外 接 圆 交 于 点 Q1 , 则 有

?CQ1P ? ?BQ1P ? ?180? ??CDP? ? ?180? ??BAP? ? 180? ,所以点 Q1 在 BC 上。又
因为 ?CQ1D ? ?CPD ? ?APB ? ?AQ1B ,所以 Q1 ? Q 。设 ?APB 与 ?CPD 的外接圆 半径分别为 R1 , R2 , ?APB ? ? ,则

AB 2R1 sin ? R1 ,因此 AC 与 BD 的交点 O 是 ? ? CD 2R2 sin ? R2

?APB 的外接圆与 ?CPD 的外接圆的位似中心, ?APB 与 ?CPD 的外接圆的圆心分 设
别为 O1 , O2 ,则 O 在 O1O2 上,且 O1O2 是 PQ 的中垂线,于是有 OP ? OQ 。

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几何(17) 圆 S1 , S2 , S3 均与圆 S 外切, 切点分别为 A1 , B1 , C1 , 并且它们还分别与 ?ABC 的两条边相切, 证明 AA , BB1 , CC1 三线共点。 (20 届全俄) 1

证明

设 ?ABC 的内切圆的圆心为 I ,半径为 R , ? S , ? S1 , ? S2 , ? S3 的半径分别为
? r ? H ? A, 1 ? ? R? ? r? H ? A1 , ? ? r1 ? ?

? ? r , r1 , r2 , r3 ,则 ? I ???? ? S1 ???? ? S 。设 P 为 SI 上的一点,且满足
r? ? H ? P,? ?

PS r ? , PI R

R? ? 则 ? I ???? ? S ,从而有 A, A , P 在一条直线上。同理 B, B1 , P 与 C, C1 , P 均三点共 ? 1

线,即 AA , BB1 , CC1 三线共点。 1

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几何(18) 给定一个半圆周,其直径为 AB ,圆心为 O ,一直线与半圆周相交于点 C , D ,且与 AB 的 延长线交于点 M ,其中 MB ? MA, MD ? MC 。设 ?AOC, ?BOD 的外接圆 O1 , O2 的第二 个交点为 K ,证明 ?MKO 是直角。 (21 届全俄)

证明

法一

连 OO1 交 ? O1 于点 P , OO2 交 ? O2 于点 Q ,因为 O1O2 ? OK , PQ ∥

O1O2 ,且 K 在 PQ 上,所以只要证 P, Q, M 三点共线。由于 OP 是 ? O1 的直径,因此 PA 与
? O 相切。同理 PC , QB, QD 也均与 ? O 相切。过 P 作 QD 的平行线,与 DC 的延长线交
于点 E ,则 ?CEP ? ?MDQ ? ?ECP,所以 PE ? PC ? PA ,即 ?PAE 与 ?QBD 均是 等腰三角形,且对应边平行,因此对应顶点的连线交于一点,即 P, Q, M 三点共线。 法二 设 AC , BD 交于点 N , AD, BC 交于点 H ,则 H 为 ?NAB 的垂心。连 MH , 分别交 AC , BD 于点 X , Y ,则 N , C , X , A 及 N , D, Y , B 为调和点列,所以 MH 是 N 关于

? O 的极线, ON ? MH 。 OM ? NH , O 是 ?HMN 的垂心。 于是 同理 且 由蒙日定理得 OK NT ? NA NK NO? , NC ? ? 过点 N ,于是有 MH ? OK 。设 NH 与 AB 交于点 T ,则 NH ?
所以 K , O, T , H 四点共圆, ?HKO ? ?HTO ? 90? ,于是有 M , K , H 三点共线。 法三 延长 OK 至 S ,则 ?MKO ? 90? ? ?SKD ? ?DKM ? 90? ?

?DBO ? ?DKM ? 90? ? ?DKM ? ?DAM ? K , A, M , D
? ?KAB ? ?CDK
。 因 为

四 对 称

点 , 所

共 以

圆 有

C, A





PO

?C D ? K
? K C ?

? C D B? 8 K ?D ? B? ? ? ?1 0
A? ?C A ? B ? O C A? ?

? 1 ?8 C A ? B ?0
O ?C ? K

?

?

?K O B ?

? K

C A B 。 ? O ?A ? ?

C ?

? K

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几何(19) 设点 O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点,过 ?AOB 的重心与 ?COD 的重心引一条直 线,过 ?BOC 的垂心与 ?AOD 的垂心引一条直线,证明这两条直线互相垂直。 届全苏) (6

证明

设 ?AOB, ?BOC, ?COD, ?AOD 的 重 心 分 别 为 K , L, M , N , 则 四 边 形

KLMN 是平行四边形,并满足 KL, KN 分别平行于 AC , BD , KL =
从而有

AC BD , KN ? , 3 3

KL AC ? 。设 ?AOB, ?BOC, ?COD, ?AOD 的垂心分别为 K ?, L?, M ?, N ? ,则 KN BD

? A, K?, N?; C, M? , L? ; B, K? , L ; D , M? , N? 三点共线,且四边形 K ?L?M ?N ? 是平行四边形, 均
并 满 足 K ?L?, K ?N ? 分 别 垂 直 于 AC , BD 。 设 ?A O B? ? , 不 妨 假 设 ? ? 90? , 则

? ?O B L ? 9 0? ? ,所以有 K ?L? cos ? 90? ? ? ? ? AC cos? ,即 K ?L? ? AC cot ? 。同理 ?
K ?L? AC KL N ? ? 。因此平行四边形 KLMN 与 K ?L?M ? ? 相 K ?N ? BD KN 似,若把其中的一个平行四边形旋转 90? ,那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都

K ?N ? ? BD cot ? ,于是有

互相平行,因此有 K ?M ? ? LN , L?N ? ? KM 。

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几何(20) 已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,把 ?ABC 绕点 C 旋转某一角度得到 ?A?B?C , 证明线段 A?D, BC, B?C 的中点在同一条直线上。 (23 届全苏) 证明 将 ?BCB ? 平移 DC 得 ?EFG , A?D, BC, B?C 的中点经位似变换 H ? D, 2? 变 则 为 A?, E , G 。连 EB 交 AD 于 K ,由于 BE ? BK ? BA ,因此有 EA ? AD, EA ? EF ,从

????

1 1 1 1 ?180? ? ?EFG ? ? ?EFG ? ?BCB? ? ?ACA? 。 2 2 2 2 因为直角梯形 ADFE 的腰 DF 的中点到两个直角顶点的距离相等,所以 EC ? AC ? A?C , 1 即 E, A, A? 在以 C 为圆心,以 CA 为半径的圆上,从而有 ?ACA? ? ?AEA? ,于是可得 2
而 ?AEG ? 90? ? ?FEG ? 90? ?

A?, E , G 三点共线。

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几何(11) . 一圆 O 切于两条平行线 l1 , l2 ,第二个圆 ? O1 切 l1 于 A ,外切 ? O 于 C ,第三个圆 ? O2 切 l2 于 B ,外切 ? O 于 D ,外切 ? O1 于 E , AD 交 BC 于 Q ,求证 Q 是 ?CDE 的外心。 (35 届 IMO 预选题)

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几何(12) 非等腰 ?ABC 的内切圆圆心为 I ,其与 BC , CA, AB 分别相切于点 A1 , B1 , C1 , AA1 , BB1 分 别交圆于 A2 , B2 , ?A B1C1 中 ?C1 A B1 , ?C1B1 A1 的角平分线分别交 B1C1 , AC1 于点 A3 , B3 , 1 1 1 证明(1) A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分线; (2)如果 P, Q 是 ?A A2 A3 和 ?B1B2 B3 的两个外接 1 圆的交点,则点 I 在直线 PQ 上。 (01 年保加利亚)

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几何(13) 已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线,与圆 O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA ,BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G ,BD 与 GX 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G, H 四点共圆。 (05 年日本)

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几何(14) 若 P, Q 到 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 的距离的比都是 l : m : n ,且 l , m, n 互不相等,则直 线 PQ 过 ?ABC 的 外 接 圆 的 一 条 直 径 DE 。 若 设 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O , 则
2 。 OP? OQ OD ?

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几何(15) 已知圆心分别为 O1 , O2 的圆 ?1 , ?2 外切于点 D ,并内切于圆 ? ,切点分别为 E , F ,过点 D 作 ?1 , ?2 的 公 切 线 l 。 设 圆 ? 的 直 径 AB 垂 直 于 l , 使 得 A, E, O1 在 l 的 同 侧 , 证 明 (第 47 届 IMO 预选题) AO1 , BO2 , EF 三线交于一点。

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几何(16) 设 ABCD 是 梯 形 , AB ∥ CD , 在 其 两 腰 AD, BC 上 分 别 存 在 点 P, Q , 使 得

?APB ? ?CPD, ?AQB ? ?CQD , 证明点 P, Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。 (20
届全俄)

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几何(17) 圆 S1 , S2 , S3 均与圆 S 外切, 切点分别为 A1 , B1 , C1 , 并且它们还分别与 ?ABC 的两条边相切, 证明 AA , BB1 , CC1 三线共点。 (20 届全俄) 1

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几何(18) 给定一个半圆周,其直径为 AB ,圆心为 O ,一直线与半圆周相交于点 C , D ,且与 AB 的 延长线交于点 M ,其中 MB ? MA, MD ? MC 。设 ?AOC, ?BOD 的外接圆 O1 , O2 的第二 个交点为 K ,证明 ?MKO 是直角。 (21 届全俄)

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几何(19) 设点 O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点,过 ?AOB 的重心与 ?COD 的重心引一条直 线,过 ?BOC 的垂心与 ?AOD 的垂心引一条直线,证明这两条直线互相垂直。 届全苏) (6

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几何(20) 已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,把 ?ABC 绕点 C 旋转某一角度得到 ?A?B?C , 证明线段 A?D, BC, B?C 的中点在同一条直线上。 (23 届全苏)


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