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高中数学解三角形讲义整理


解三角形
1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明, 均设 ?ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 则有以下关系成立: (1)边的关系: a ? b ? c , a ? c ? b , b ? c ? a (或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系: A ? B ? C ? ? , 0 ? A、B、C ? ? , 0 ? A ? B ? ? , ? ? ? A ? B ? ? ,

sin A ? 0 , sin(A ? B) ? sin C , cos(A ? B) ? ? cosC , sin
(3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形

A? B C ? cos 2 2

板块一:正弦定理及其应用
1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为 ?ABC 的外接圆半径 sin A sin B sin C

2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 的可能) ,再计算第三角,最后根据正弦定理求出第三边 【例 1】考查正弦定理的应用 (1) ?A B C中,若 B ? 60 , t a n A?
?

2 , BC ? 2 ,则 AC ? _____; 4

(2) ?A B C中,若 A ? 30 , b ?
?

2 , a ? 1 ,则 C ? ____;

? (3) ?A B C中,若 A ? 45 , b ? 4 2 , a ? 8 ,则 C ? ____;

(4) ?A B C中,若 a ? c s i nA ,则

a?b 的最大值为_____。 c

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能 如图,在 ?A B C中,已知 a 、 b 、 A

1

(1)若 A 为钝角或直角,则当 a ? b 时, ?ABC 有唯一解;否则无解。 (2)若 A 为锐角,则当 a ? b sin A 时,三角形无解; 当 a ? b sin A 时,三角形有唯一解; 当 b sin A ? a ? b 时,三角形有两解; 当 a ? b 时,三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。

板块二:余弦定理及面积公式
1.余弦定理:在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,则有

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?

? b2 ? c2 ? a2 cos A ? ? 2bc ? 2 ? a ? c2 ? b2 cos B ? , 其变式为: ? 2ac ? 2 ? a ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或 由余弦定理求第二个角) ,最后根据“内角和定理”求得第三个角; (2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦 定理求第二个角) ,最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3.三角形的面积公式 (1) S ?ABC ? (2) S ?ABC (3) S ?ABC (4) S ?ABC

1 1 1 aha ? bhb ? ch c ( ha 、 hb 、 hc 分别表示 a 、 b 、 c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 2 ? 2R sin A sin B sin C ( R 为外接圆半径) abc ? ; 4R

2

(5) S ?ABC ? (6) S ?ABC ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

其中 p ?

1 (a ? b ? c) 2

1 r ? l ( r 是内切圆的半径, l 是三角形的周长) 2
?

【例】考查余弦定理的基本应用 (1)在 ?ABC 中,若 a ? 2 3 , b ? 6 ? 2 , C ? 45 ,求 c、A、B ;(两边及其夹角) (2)在 ?ABC 中,若 a ? 13 , b ? 4 , c ? 3 ,求边 AC 上的高 h ; (三边求高)
? (3)在 ?ABC 中,若 a ? 2 13 , b ? 8 , A ? 60 ,求 c

(正弦和余弦结合)

【例】 (1)在 ?ABC 中,若 a ? 7 , b ? 8 , cos C ?

13 ,则 ?ABC 中最大角的余弦值为________ 14 1 1 1 (2) (10 上海理)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 、 、 ,则(D ) 13 11 5
A.不能作出这样的三角形 C.作出一个直角三角形 B.作出一个锐角三角形 D.作出一个钝角三角形

4、x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的取值范围为__________ (3)以 3、

【例】考查正余弦定理的灵活使用 (1)在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) ,则 B ? _____ 4

(2)在 ?ABC 中,若 ( 3b ? c) cos A ? a cosC ,则 cos A ? _____ (3) (07 天津理)在 ?ABC 中,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? _____
2 2

【例】判断满足下列条件的三角形形状 (2) sin C ? 2 cos A sin B ; (4) (a ? b ) sin( A ? B) ? (a ? b ) sin( A ? B) ;
2 2 2 2

板块三:解三角形综合问题

3

【例】 (09 全国 2) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B 2

【11 江西理】在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a 2 ? b 2 ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值

C 2

【11 江西文】在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C (1)求 cos A 的值; (2)若 cos B ? cosC ?

2 3 , a ? 1 ,求边 c 的值 3

灵活应用 1、因:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;即; a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC
所以:acosB+bcosA=csinC 又因:A+B=180°-C sinAcosB+sinBcosA=sin?C sin(A+B)=sin?C

所以:sin(180°-C)=sin?C sinC=1

sinC-sin?C=0 sinC (1-sinC)=0

在△ABC 中:sinC≠0;所以:1-sinC=0

所以:C=90°;△ABC 为直角三角形。就有:a?+b? =c?; 又因:S△ABC=absinC/2=absin90°/2;=ab/2 又:a?=c?-b?

即:a? = c?-b?

即:S△ABC=? (b?+c?-a?),= ? ( b?+c? - c? +b? )=b?/2 那么: ab/2=b?/2 因:b≠0;所以 a-b=0;即 a=b 2 、 由 余 弦 定 理 ab-b?=0 b(a-b)=0

所以:△ABC 是等腰直角三角形。故 B=45°。

, ( 根 号 3b-c ) cosA=( 根 号 3b-c )( b^2+c^2-a^2 ) /2bc

acosC=a(a^2+b^2-c^2)/2ab=(a^2+b^2-c^2)/2b =( 根 号 3b-c ) ( b^2+c^2-a^2 ) /2bc ∴ (a^2+b^2-c^2)c=(根号 3b-c)(b^2+c^2-a^2) 展开 (b^2+c^2-a^2)=2/(根号 3*bc) cosA= (b^2+c^2-a^2)/2bc=1/根号 3
3、a? -b?=√3bc

sinC=2√3sinB→

2R*sinC=2R*2√3sinB→

c=2√3b→

c?=2√3bc cosA= (b? +c? -a? ) ( / 2bc) = (c? ( - a? -b? ) ) ( / 2bc) = (2√3bc-√3bc)
4

/(2bc) =√3/2 所以 A=π/6 判断 1、 等腰 综合 1、

5


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