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高中数学选修2-1同步练习 3章整合(含答案)


第三章整合
(考试时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设 a=(x,2y,3),b=(1,1,6),且 a∥b,则 x+y 等于( A. C. 1 2 3 2 B. 3 4 )

D.2

3 解析: ∵a

∥b,∴x=2y= , 6 1 1 ∴x= ,y= . 2 4 3 ∴x+y= . 4 答案: B 2.若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λ b)⊥a,则实数 λ 的值是( A.-1 C.1 B.0 D.-2 )

解析: a+λ b=(0,1,-1)+(λ ,λ ,0)=(λ ,1+λ ,-1), 因为(a+λ b)·a=(λ ,1+λ ,-1)·(0,1,-1) =1+λ +1=2+λ =0, 所以 λ =-2. 答案: D 3.若向量(1,0,z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为 A.0 C.-1 B.1 D.2 2 ,则 z 等于( 5 )

?1,0,z?·?2,1,0? 2 解析: 由题知 = , 2 1+z · 5 5 2 1+z · 5
2 2



2 5



1= 1+z ,∴z=0. 答案: A 4.若 a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1-e2,d=3e1+2e2+e3({e1,e2,e3}为空间的一个基底),且

d=xa+yb+zc,则 x,y,z 分别为(
5 3 A. , ,-1 2 2 5 1 C.- , ,1 2 2

) 5 1 B. , ,1 2 2 5 1 D. ,- ,1 2 2

解析: d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1-e2-e3) +z(e1-e2).
? 5 3 ∴{x+y+z=3,?x-y-z=2,?x-y=1, ∴?x= ,?y= ,?z=-1 2 2 ?

答案: A 5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,-1,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,2,-4),则( A.l∥α C.l? α 解析: ∵u=-2a,∴u∥a, ∴l⊥α ,故选 B. 答案: B → → → → 6.在平行六面休 ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC+3zC′C,则 x+y+z 等于( A.1 C. 5 6 B. D. 7 6 2 3 ) B.l⊥α D.l 与 α 斜交 )

解析: 如图,

AC′=AB+BC+CC′
→ → → =AB+BC-C′C, 所以 x=1,2y=1,3z=-1, 1 1 所以 x=1,y= ,z=- , 2 3 1 1 7 因此 x+y+z=1+ - = . 2 3 6 答案: B



→ →



7.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦 值为( A. ) 10 10 3 10 10 B. 1 5 3 5

C.

D.

解析: 以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,1,0),E(1,0,1),

C(0,1,0),D1(0,0,2).
→ → ∴BE=(0,-1,1),CD1=(0,-1,2). → → BE·CD1 3 3 10 → → ∴cos〈BE,CD1〉= = = .故选 C. → → 10 2× 5 |BE||CD1| 答案: C 8.已知空间四个点 A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),

D(-1,0,4),则直线 AD 与平面 ABC 所成的角为(
A.60° C.30° B.45° D.90°

)

解析: 设 n=(x,y,1)是平面 ABC 的一个法向量. → → ∵AB=(-5,-1,1),AC=(-4,-2,-1),
? 1 3 ∴{-5x-y+1=0,?-4x-2y-1=0, ∴?x= ,?y=- , 2 2 ?

3 ? ?1 ∴n=? ,- ,1?. 2 ? ?2 → 又AD=(-2,-1,3),设 AD 与平面 ABC 所成的角为 θ , 7 → |AD·n| 2 1 则 sin θ = = = ,∴θ =30°.故选 C. → 7 2 |AD||n| 答案: C 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的余弦值为( A. C. 1 2 3 2 B. D. 1 3 3 3 )

解析:

→ 以点 D 为原点,DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则A1C=(- → 1,1,-1),AC1=(-1,1,1). 1 → → 又可以证明 A1C⊥平面 BC1D,AC1⊥平面 A1BD,又 cos〈AC1,A1C〉= ,结合图形可知平面 A1BD 与平面 3

C1BD 所成二面角的余弦值为 .故选 B.
答案: B 10.如右图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G=λ (0≤λ ≤1),则点 G 到平面 ( ) A. 3 2 3 B. 2 2 5 5 为棱 AA1 、 BB1

1 3

D1EF 的距离为

C.

D.

解析: 因为 A1B1∥EF,G 在 A1B1 上, 所以 G 到平面 D1EF 的距离即为 A1 到平面 D1EF 的距离, 即是 A1 到 D1E 的距离,D1E= 5 , 2

1 1× 2 5 由三角形面积可得所求距离为 = .故选 D. 5 5 2 答案: D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________. 解析: 因为 a-2b=(8,-5,13), 所以|a-2b|= 8 +?-5? +13 = 258. 答案: 258
2 2 2

12.设 a=(2,-3,1),b=(-1,-2,5),d=(1,2,-7),c⊥a,c⊥b,且 c·d=10,则 c=________. 解析: 设 c=(x,y,z), 根据题意得{2x-3y+z=0,?x-2y+5z=0,?x+2y-7z=10.

? 65 15 5 解得?x= ,?y= ,?z= . 12 4 12 ?

?65 15 5 ? 答案: ? , , ? ?12 4 12?
9 13. 直角△ABC 的两条直角边 BC=3, AC=4, PC⊥平面 ABC, PC= , 则点 P 到斜边 AB 的距离是________. 5 解析:

以 C 为坐标原点,CA、CB、CP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 9? ? 则 A(4,0,0),B(0,3,0),P?0,0, ?, 5? ? → 所以AB=(-4,3,0), →

AP=?-4,0, ?, 5

? ?

9?

?

→ → |AP·AB| 16 → 所以AP在 AB 上的投影长为 = , → 5 |AB| 所以 P 到 AB 的距离为

d=

?16?2 2 |AP| -? ? = ?5?

81 256 16+ - =3. 25 25

答案: 3 → → 14.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=2,AD=1,且 AB,AD,AA1 的夹角都是 60°,则AC1·BD1 =________. → → → → → → → → 解析: AC1=AB+AD+AA1,BD1=BC+BA+BB1,

AC1·BD1=(AB+AD+AA1)·(BC+BA+BB1)
→ → → → → → =(AB+AD+AA1)·(AD-AB+AA1) → → → 2 → → → 2 → → → → → → → → → 2 =AB·AD-|AB| +AB·AA1+|AD| -AD·AB+AD·AA1+AA1·AD1-AA1·AB+|AA1| =2×1×cos 60°-4+1-2×1×cos 60°+1×2×cos 60°×2+4=3. 答案: 3 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)





→ →



→ →



如图所示,已知 ABCD-A1B1C1D1 是平行六面体. 1 → → 2→ (1)化简 AA1+BC+ AB,并在图上标出结果; 2 3 3 (2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BCC1B1 对角线 BC1 上的 分点, 4 → → → → 设MN=α AB+β AD+γ AA1,试求 α 、β 、γ 的值. 解析:

(1)如图所示,取 AA1 的中点 E,在 D1C1 上取一点 F,使得 D1F=2FC1,则 →

EF= AA1+BC+ AB.
→ → → 1→ 3 → (2)MN=MB+BN= DB+ BC1 2 4 1 → → 3 → → = (DA+AB)+ (BC+CC1) 2 4 1→ 1→ 3 → = AB+ AD+ AA1. 2 4 4 1 1 3 ∴α = ,β = ,γ = . 2 4 4 16.(本小题满分 12 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,BC=

1→ 2

→ 2→ 3

4.求点 B 到平面 PCD 的距离.

解析: 如图,以 A 为原点,AD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.

则依题意可知 A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),

P(0,0,2),


PD=(4,0,-2),CD=(0,-2,0),BC=(4,0,0),
设面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,1),
? 1 → y=0,?x= , 则 n·→ CD=0?n·PD=0 ? {-2y=0?4x-2=0 ? ? 2 ?





{

n ? 5 2 5? 所以面 PCD 的一个单位法向量为 =? ,0, ?, |n | ? 5 5 ?
2 5?? 4 5 ? 5 ?→ n ? ? 所以?BC· ?=??4,0,0?·? ,0, ??= 5 , | n | ? ? ? 5 ?? ?5 则点 B 到平面 PCD 的距离为 4 5 . 5

17.(本小题满分 12 分)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.

(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 解析: 设正方体的棱长为 1,如图所示,

→ → → 以AB,AD,AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系. (1)依题意,得 B(1,0,0),

E?0,1, ?,A(0,0,0),D(0,1,0), 2

? ?

1?

?

1? → → ? 所以BE=?-1,1, ?,AD=(0,1,0), 2? ?

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 因为 AD⊥平面 ABB1A1, → 所以AD是平面 ABB1A1 的一个法向量, 设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 θ , → → |BE·AD| 1 2 则 sin θ = = = . → → 3 3 |BE|·|AD| ×1 2 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 1 → → (2)依题意,得 A1(0,0,1),BA1=(-1,0,1),BE=(-1,1, ), 2 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量, → → 则由 n·BA1=0,n·BE=0,
? 1 得?-x+z=0?-x+y+ z=0 2 ?



1 所以 x=z,y= z. 2 取 z=2,得 n=(2,1,2). 设 F 是棱 C1D1 上的点, 则 F(t,1,1)(0≤t≤1). → 又 B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1,0), 面 B1F?平面 A1BE, → 于是 B1F∥平面 A1BE?B1F·n=0 ?(t-1,1,0)·(2,1,2)=0 ?2(t-1)+1=0 1 ?t= ?F 为 C1D1 的中点. 2 这说明在棱 C1D1 上存在点 F 使 B1F∥平面 A1BE. 18.(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠ BAC = 90° , 的延长线的交

AB=AC=AA1=1.D 是棱 CC1 上的一点,P 是 AD 的延长线与 A1C1
点,且 PB1∥平面 BDA1. (1)求证:CD=C1D; (2)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; (3)求点 C 到平面 B1DP 的距离.

解析: 如图,以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1).

(1)证明:设 C1D=x,∵AC∥PC1, ∴

C1P C1D x = = . AC CD 1-x x

? ,0?. 由此可得 D(0,1,x),P?0,1+ 1-x ? ? ?
x → → → ? ,0?. ∴A1B=(1,0,1),A1D=(0,1,x),B1P=?-1,1+ 1-x ? ? ?
设平面 BA1D 的一个法向量为 n1=(a,b,c),

令 c=-1,得 n1=(1,x,-1). ∵PB1∥平面 BDA1,

x ? → ? ∴n1·B1P=1×(-1)+x·?1+ +(-1)×0=0. 1 - x? ? ?
1 由此可得 x= .故 CD=C1D. 2

? 1 ? (2)由(1)知,平面 BA1D 的一个法向量 n1=?1, ,-1?. ? 2 ?
又 n2=(1,0,0)为平面 AA1D 的一个法向量, ∴cos〈n1·n2〉=

n1·n2 1 2 = = . |n1|·|n2| 3 3
1× 2

2 故二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为 . 3 1? → → ? (3)∵PB1=(1,-2,0),PD=?0,-1, ?, 2? ? 设平面 B1DP 的一个法向量为 n3=(a1,b1,c1).

? 1 ? 令 c1=1,可得 n3=?1, ,1?. ? 2 ?
1? → ? 又DC=?0,0, ?, 2? ? ∴C 到平面 B1DP 的距离 d= → |DC·n3| 1 = . |n3| 3


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