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2008年秋龙泉中学高一数学竞赛试题


2008 年秋龙泉中学高一数学竞赛试题 2008 年秋龙泉中学高一数学竞赛试题
说明:1.本试卷共三大题(19 小题)全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前将姓名、号数、班级填写在密封线内。 3.解答完毕后,将选择题和填空题的答案填到第Ⅱ卷答题卡中,只需交第Ⅱ卷。

第Ⅰ卷(选择题与填空题共 90 分)
一、选择题(本题

满分 36 分,每小题 6 分。每题均给出四个选项,答案唯一) 1.已知 a 为给定实数,那么集合 M ? ?x | x ? 3 x ? a ? 2 ? 0 , x ? R ? 的子集个数为(
2 2



A.1

B.2

C.4

D.不确定

2.设全集是实数集,若 A ? ?x || x ? 2 |? 0?, B ? x | 10 A. ?2 ? B. ?? 1?
m

?

x ?2
2

? 10 , 则 A ? C U B 是(
x

?



C. ?x | x ? 2?

D. ?

3.若函数 f ( x ) ? 1 ?

是奇函数,则 m 的值是( ) e ?1 1 A.0 B. C.1 D.2 2 4.已知 a , b , c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M , b ? 平面 N , M ? N ? c .
x

(1)若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2)若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3)若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4)若 a ? b , a ? c ,则必有 M ? N . 其中正确的命题的个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3

5. 如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的 个数 是( )

主视图
A.5 B.6

左视图
C.7

俯视图
D.8

6.若函数 y ? f ( x ) 对任意实数 x,总有 f ( a ? x ) ? f (b ? x ) , ( a , b ? R ) ,则函数的图像 若 以直线 x ?
a?b 2

为一条对称轴。用这个结论解题:定义在实数集上的函数 f(x),对一切实

数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)仅有 101 个不同的零点,那么所有零点的和为( A.150 B.
303 2



C.152

D.

305 2

二、填空题(本题满分 54 分,每题 6 分,将答案直接填写在横线上) 7.直径为 1 的球内放一个正方体,那么这个正方体的棱长的最大值为 8.函数 y ?
x? 1 ? x 的值域是___

___

5 9.已知 f ( x ) ? ax ? b 3 x ? 4 ( a , b ? R ) f (lg log 3 10 ) ? 5, 则 f (lg lg 3) 的值为 ,

10.已知图象连续不断的函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b ? ( b ? a ? 0.1) 上有唯一零点,若用“二 分法” 求这个零点的近似值(精确度 0.0001) ,那么将区间 ? a , b ? 等分的次数至多是 11.若 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数, 则使得 ?log 2 1? ? ?log 2 2 ? ? ? ? ?log 2 n ? ? 2008 成立的 正整 数 n 的最小值是 12.在小于等于 10000 的正整数中,能被 2 整除或能被 3 整除,但不能被 5 整除的数共有 个 13.设 f ( x ) ?
4
x x

4 ?2

,那么 f (

1 2008

)? f(

2 2008

)? f(

3 2008

) ? ??+ f (

2007 2008

) 的值等于

14.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三条棱长 分别为 AD=3,AA1=4,AB=5.一天,小强观察到在 A 处有一只蚂蚁, 发现顶点 C1 处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,
A1

D1

C1

B1

D

则蚂蚁爬行的最短路程是
A B

C

15.设等边 ? ABC 的边长为 a , P 是 ? ABC 内的任意一点,且 P 到三边 AB , BC , CA 的距 离分别为 d 1 , d 2 , d 3 ,则有 d 1 ? d 2 ? d 3 为定值
3 2 a 。由平面图形的这个特性类比空间图

形:设正四面体 ABCD 的棱长为 a , P 是正四面体 ABCD 内的任意一点,且 P 到四个 面 ABC 、 ABD 、 ACD 、 BCD 的距离分别为 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ,则有 d 1 ? d 2 ? d 3 ? d 4 为定值 ____________

第Ⅱ卷(解答题共 60 分)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6

二、填空题(每小题 6 分,共 54 分) 7、____________________ 9、 ___________________ 11、 ____ 8、______________________ 10、______________________ 12、______________________ 14、______________________

13、____________________ 15、 ___________________

三、解答题: (本题满分 60 分,写出必要的证明、运算过程)

16. (满分 14 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是 AB=2,BC= 2 的矩形,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:BC⊥侧面 PAB; (Ⅱ)证明:侧面 PAD⊥侧面 PAB; (Ⅲ)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小. B C P A D

17. (满分 14 分)若二次函数 f ( x ) ? ax ? bx 满足条件: f ( 2 ) ? 0 且方程 f ( x ) ? x 有等
2

根. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)问是否存在实数 m , n ( m ? n ) 使 f ( x ) 的定义域和值域分别为 [ m , n ] 和 [ 2 m , 2 n ] ,如存 在, 求出 m , n 的值;如不存在,说明理由.

18. (满分 16 分)在市场上某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装 开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨如图示,从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售;从第 12 周开始,当季节即将过去时,每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 (1)求销售价格 y (元/件)与周次 x 之间的函数关系式; (2)若这种时装每件进价 Z(元/件)与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0 .125 ? x ? 8 ? ? 12
2

(1≤ x ≤16 且 x ? Z ) 试问该服装第几周出售时, , 每件销售利润最大?最大利润为多少?
价格

30

20

0

11 1 2 4 6 8 10 12 14 16
周次

19. (满分 16 分) 已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件时, f ( x ) 为 称 “友 谊函数” , [1] 对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x ) ? 0 ; [2] f (1) ? 1 ; [3] 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 ,且 x1 ? x 2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立。 请解答下列各题: (1)若已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,求 f (0) 的值; (2)函数 g ( x ) ? 2 ? 1 在区间 [0,1] 上是否为“友谊函数”?并给出理由.
x

(3)已知 f ( x ) 为 “友谊函数” 假定存在 x 0 ? [0,1] , , 使得 f ( x 0 ) ? [0,1] 且 f [ f ( x 0 )] ? x 0 , 求证: f ( x 0 ) ? x 0 .

2008 年秋龙泉中学高一数学竞赛参考答案
1—6:CDDCBB 7、
3 3

8、 [? 1,1]

9、 3

10、 10

11、 314

12、 6334

13、

2007 2

14、

74

15、

6a 3

16.解: (Ⅰ)证:∵侧面 PAB 垂直于底面 ABCD,且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, 在矩形 ABCD 中,BC⊥AB, ∴BC⊥侧面 PAB. -------------3 分 (Ⅱ)证:在矩形 ABCD 中,AD∥BC,BC⊥侧面 PAB,∴AD⊥侧面 PAB. ------5 分 又 AD 在平面 PAD 上,所以,侧面 PAD⊥侧面 PAB-------------------6 分 (Ⅲ)解:在侧面 PAB 内,过点 P 做 PE⊥AB.垂足为 E,连结 EC, ∵侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB,PE⊥AB. ∴PE⊥底面 ABCD.于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影, -----------8 分 ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角, ---------------------10 分 在△PAB 和△BEC 中,易求得 PE= 3 , EC ?
0

3,

在 Rt△PEC 中,∠PCE=45 ---------------------------------------12 分 17. (1) 解: ∵方程 ax + b-1) =0 a≠0) ( x ( 有等根, ? =( b -1) - 4 a ? 0=0 ? b =1 . ∴
2

2

又 f(2)=0,∴4a+2b=0.∴ a =- (2)∵ f ( x )=-
1 2 ( x -1) + 1 2
2

1 2

.∴ f ( x )=-
1 2

1 2

x +x .

2

1 2
2

?

1 2 1 2

,∴ 2 n ?

,即 n ?

1 4



又二次函数 y =- ∴当 n ?
1 4

( x -1) +

的对称轴方程为 x=1,

时,f(x)在[m,n]上为增函数,
? 1 2 ?- 2 m - m =0 ? m =0或 m =- 2, ? 即? ? 1 2 - n - n =0 ? n =0或 n =- 2. ? 2 ?

? f ( m )= 2 m ? 设 m、n 存在,则 ? ? f ( n )= 2 n ? ? m =- 2, ? ,∴ ? 4 ? n = 0. ?

∵ m< n ?

1

即存在实数 m=-2,n=0 使 f(x)的定义域为[-2,0] ,值域为[-4,0] . 18.解:⑴依题意,可建立的函数关系式为:

? 2 x ? 18 ? y ? ? 30 ? ? 2 x ? 52 ?

?1 ? x ? 6 ? ?6 ? x ? 11 ? ?12 ? x ? 16 ?

⑵设销售利润为 W,则 W=售价-进价,
1 ? ?1 2 2 ?1 ? x ? 6 ? 20 ? 2 x ? ? x ? 8 ? ? 14 ?1 ? x ? 6 ? ? ? 8 x ? 14 8 ? ? 1 1 ? 2 故 W= ? 30 ? ? x ? 8 ? ? 12 ?6 ? x ? 11 ? ,即 W= ? x 2 ? 2 x ? 26 ?6 ? x ? 11 ? ? 8 ? ?8 ?1 ?1 2 2 ?12 ? x ? 16 ? ? 8 ? x ? 8 ? ? 2 x ? 40 ? 8 x ? 4 x ? 48 ?12 ? x ? 16 ? ? ?
x ? 14 时,∵ x ≥0,函数 y 随着 x 增大而增大,∵1≤ x ≤6 8 ∴当 x ? 6 时,W 有最大值,最大值=18.5 1 2 1 2 ②当 W= x ? 2 x ? 26 时,∵W= ? x ? 8 ? ? 18 ,当 x ≥8 时,函数 y 随 x 8 8 增大而增大 1 ∴在 x ? 11 时,函数有最大值为 19 8 1 2 1 2 ③当 W= x ? 4 x ? 48 时,∵W= ? x ? 16 ? ? 16 ,∵12≤ x ≤16,当 x ≤16 时,函 8 8 数 y 随 x 增大而减小,

①当 W=

1

2

∴在 x ? 12 时,函数有最大值为 18 综上所述,当 x ? 11 时,函数有最大值为 19
1 8

??????13 分

19. 解: 取 x1 ? x 2 ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 , (1) 又由 f (0) ? 0 , f () 0 得 0 ? (2)显然 g ( x ) ? 2 ? 1 在 [0,1] 上满足[1] g ( x ) ? 0 ;[2] g (1) ? 1 .若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 ,
x

且 x1 ? x 2 ? 1 ,则有
g ( x1 ? x 2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x 2 )] ? 2
x x1 ? x 2

? 1 ? [(2 1 ? 1) ? (2
x

x2

? 1)] ? (2
x

x2

? 1)(2 1 ? 1) ? 0
x

故 g ( x ) ? 2 ? 1 满足条件[1]、[2]、[3],所以 g ( x ) ? 2 ? 1 为友谊函数. (3)由 [3]知任给 x 2 , x1 ? [0,1] 其中 x 2 ? x1 , 且有 x 2 ? x1 ? 1 , 不妨设 x 2 ? x1 ? ? x ( ? x ? 0) 则必有: 0 ? ? x ? 1) 所以:
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ? x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x ) ? 0

所以: f ( x 2 ) ? f ( x1 ) .依题意必有 f ( x 0 ) ? x 0 ,

下面用反证法证明:假设 f ( x 0 ) ? x 0 ,则有 x 0 ? f ( x 0 ) 或 x0 ? f ( x0 ) (1) 若 x 0 ? f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) ? f [ f ( x 0 )] ? x 0 ,这与 x 0 ? f ( x 0 ) 矛盾; (2) 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x 0 ) ? f [ f ( x 0 )] ? x 0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾; 故由上述(1)(2)证明知假设不成立,则必有 f ( x 0 ) ? x 0 ,证毕. 、


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