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数学选修4-5不等式选讲教案


选修 4-5

不等式选讲

不等式的基本性质 课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 《列子?汤问》 中脍炙人口的 “两小儿辩日” : “远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来 水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?”“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?”“用一块正方形 、 、 白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大 的小正方形?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研 究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的 证明,数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这 表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明 本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0),若再加 m(m>0)克糖,则 糖水更甜了,为什么? 分析:起初的糖水浓度为

b b+m b+m b ,加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ,只要证 > 即可。怎么证呢? a a+m a+m a

二、不等式的基本性质: 不等式的基本性质 1、实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:

a > b ? a?b > 0 a = b ? a?b = 0 a < b ? a?b < 0
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质: ①、如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b。(对称性) ②、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b,b>c ? a>c。 ③、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b ? a+c>b+c。 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.即 a>b, c>d ? a+c>b+d. ④、如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. ⑤、如果 a>b >0,那么 a > b
n n

(n ∈ N,且 n>1)

⑥、如果 a>b >0,那么 n a >

n

b (n ∈ N,且 n>1)。

三、典型例题: 典型例题 例 1、已知 a>b,c<d,求证:a-c>b-d. 例 2 已知 a>b>0,c<0,求证: 四、练习: 练习 五、作业: 作业
1

c c > 。 a b

含有绝对值的不等式的证明 课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 证明一个含有绝对值的不等式成立, 除了要应用一般不等式的基本性质之外, 经常还要用到关于绝对值的和、 差、积、商的性质: (1) a + b ≥ a + b (3) a ? b = a ? b (2) a ? b ≤ a + b

(4)

a b

=

a (b ≠ 0) b

请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质 a ? b = a ? b 和

a b

=

a (b ≠ 0) 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的 b

差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明 a + b ≥ a + b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面 的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设 a 为实数, a 和 a 哪个大? 显然 a ≥ a , 当且仅当 a ≥ 0 时等号成立 (即在 a ≥ 0 时, 等号成立。 a < 0 时, 在 等号不成立) 同样,a ≥ ? a. 。 当且仅当 a ≤ 0 时,等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 a ≥ + a 、 a ≥ ? a 及绝对值的和的性质。 二、典型例题: 典型例题 例 1、证明 (1) a + b ≥ a + b , (2) a + b ≥ a ? b 。

证明(1)如果 a + b ≥ 0, 那么 a + b = a + b. 所以 a + b ≥ a + b = a + b . 如果 a + b < 0, 那么 a + b = ?( a + b). 所以 a + b ≥ ? a + (?b) = ?( a + b) = a + b (2)根据(1)的结果,有 a + b + ? b ≥ a + b ? b ,就是, a + b + b ≥ a 。 所以, a + b ≥ a ? b 。

例 2、证明 a ? b ≤ a ? b ≤ a + b 。

例 3、证明 a ? b ≤ a ? c + b ? c 。 思考: 思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释?
2

(设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段 AB ≤ AC + CB. 当且仅当 C 在 A,B 之间 时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后半部分。 ) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 a + b ≥ a + b 的几何解释? 探究 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例 1,例 2 和例 3 的结果来证明。 例 4、已知 x ? a <

c c , y ? b < ,求证 ( x + y ) ? (a + b) < c. 2 2

证明 ( x + y ) ? ( a + b) = ( x ? a ) + ( y ? b)

≤ x?a + y ?b

(1)

c c , y ?b < , 2 2 c c ∴ x?a + y ?b < + = c 2 2 ∵ x?a <
由(1)(2)得: ( x + y ) ? ( a + b) < c , 例 5、已知 x <

(2)

a a , y < . 求证: 2 x ? 3 y < a 。 4 6 a a a a 证明 ∵ x < , y < ,∴ 2 x < , 3 y < , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ≤ 2 x + 3 y < + = a 。 2 2

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的 注意 不等式。 三、小结: 小结 四、练习: 练习 1、已知 A ? a <

c c , B ? b < . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) < c 。 2 2 c c 2、已知 x ? a < , y ? b < . 求证: 2 x ? 3 y ? 2a + 3b < c 。 4 6

五、作业: 作业

含有绝对值的不等式的解法 课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上,本节讨论 含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。下面分别就这两 类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于去掉绝对值符号,化成普通的不 等式。主要的依据是绝对值的意义.
3

请同学们回忆一下绝对值的意义。

? x,如果x > 0 ? 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 x = ?0,如果x = 0 。 ?? x,如果x < 0 ?
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 第一种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x < a 的解集是 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间(-a,a) ,如图所示。

{x | ? a < x < a} ,它

a 图 1-1 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。 第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x > a 的解集是 { x | x > a 或 x < ?a } 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 (?∞,?a ), ( a, ∞ ) 的并集。如图 1-2 所示。

?a

–a

a

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 典型例题: 二、典型例题 例 1、解不等式 3 x ? 1 < x + 2 。

例 2、解不等式 3 x ? 1 > 2 ? x 。 方法 1:分域讨论

★方法 2:依题意, 3 x ? 1 > 2 ? x 或 3 x ? 1 < x ? 2 , (为什么可以这么解?)

例 3、解不等式 2 x + 1 + 3 x ? 2 ≥ 5 。 例 4、解不等式 x ? 2 + x ? 1 ≥ 5 。 解 本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点 x 到 1,2 的距

4

离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2(=(5-1) ÷ 2) ;或者 x 在 1 的左边,与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ≥ 4 或 x ≤ ?1. 例 5、不等式 x ? 1 + x + 3 > a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。 三、小结: 小结 四、练习:解不等式 练习 1、 2 2 x ? 1 > 1. 3、 2、 4 1 ? 3 x ? 1 < 0 4、 x + 1 ≥ 2 ? x . 6、 x 2 ? 1 > x + 2 . 8、 x ? 1 + x + 3 ≥ 6. 10、

3 ? 2x ≤ x + 4 .

5、 x 2 ? 2 x ? 4 < 1 7、 x + x ? 2 ≥ 4 9、 五、作业: 作业

x + x +1 < 2

x ? x ? 4 > 2.

链接: 链接:不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题, 是学习不等式的一个重要方法, 特别是利用绝对值和绝对值不等式 的几何意义来解不等式或者证明不等式, 往往能使问题变得直观明了, 帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。 关键是在遇到相关问题时,能否准确地把握不等式的图形,从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体 会不等式图形的作用。 1.解不等式 x ? 1 + x ? 2 ≤ x + 1 。 题意即是在数轴上找出到 ξ 1 = 1 与 ξ 2 = 2 的距离之和不大于到点 ξ 3 = ?1 的距离的所有流动点 x 。 首先在数轴上找到点 ξ 1 = 1 , ξ 2 = 2 , ξ 3 = ?1 (如图) 。

ξ3
-1 0

x1 ξ 1
1

ξ 2 x2
2 3

x

从图上判断,在 ξ 1 与 ξ 2 之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到 ξ 1 与 ξ 2 的距离和正好是 1,而到

ξ 3 的距离是 2 + ( x ? 1) = 1 + x(1 ≤ x ≤ 2) 。
现在让流动点 x 由点 ξ 1 向左移动,这样它到点 ξ 3 的距离变,而到点 ξ 1 与 ξ 2 的距离增大,显然,合乎要求的 点只能是介于 ξ 3 = ?1 与 ξ 1 = 1 之间的某一个点 x1 。 由 (1 ? x1 ) + ( 2 ? x1 ) ≤ x1 ? (?1), 可得 x1 ≥

2 . 3
5

再让流动点 x 由点 ξ 2 向右移动,虽然这种点到 ξ 1 与 ξ 2 的距离的和及到 ξ 3 的距离和都在增加,但两相比较, 到 ξ 1 与 ξ 2 的距离的和增加的要快。所以,要使这种点合乎要求,也只能流动到某一点 x 2 而止。 由 ( x 2 ? 1) + ( x 2 ? 2) ≤ x 2 ? ( ?1), 可得 x 2 ≤ 4. 从而不等式的解为 2.画出不等式 x + y ≤ 1 的图形,并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于:

2 ≤ x ≤ 4. 3

x≥0

, y ≥ 0 , x + y ≤1.

其图形是由第一象限中直线 y = 1 ? x 下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 x + y ≤ 1 的图形是以原点 O 为中心,四个等点分别 在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。 探究: 探究:利用不等式的图形解不等式 1.

x +1 ? x ?1 < 1;

2. x + 2 y ≤ 1. A组

1.解下列不等式: (1) 2 ? 3 x ≤

1 2

(2) 1 < 3 x + 4 < 7 (4) x ? 2 x <
2

(3) 2 x ? 4 < x + 1

1 x 2

2.解不等式: (1) 2 x ? 1 < x ? 1 3.解不等式: (1) x + 1 + x + 2 > 3

(2)

x+2 >1 x ?1

(2) x + 2 ? x ? 1 + 3 > 0.

4.利用绝对值的几何意义,解决问题:要使不等式 x ? 4 + x ? 3 < a 有解, a 要满足什么条件? 5.已知 A ? a <

s s s , B ? b < , C ? c < . 求证: 3 3 3

(1) ( A + B + C ) ? ( a + b + c) < s ; (2) A + B ? C ) ? (a + b ? c) < s. 6.已知 x <

a , y < a . 求证: xy < a. x < h. y
B组

7.已知 x < ch, y > c > 0. 求证:

*****8.求证

a+b 1+ a + b



a 1+ a

+

b 1+ b

.
6

*****9.已知

a < 1, b < 1. 求证:

a+b < 1. 1 + ab
2

10.若 α , β 为任意实数, c 为正数,求证: α + β

1 2 2 ≤ (1 + c) α + (1 + ) β . c
2

(α + β

2

≤ α + β + 2 α β ,而 α β = c α ?
2 2

1 β c

2



cα +
2

1 β c

2

2



课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入

平均值不等式

1、定理 1:如果 a, b ∈ R ,那么 a + b ≥ 2ab (当且仅当 a = b 时取“=” 定理 )
2 2

证明: a 2 + b 2 ? 2ab = ( a ? b) 2

当a = b时, ? b) 2 = 0? (a 2 2 ? ? a + b ≥ 2ab 2 当a ≠ b时, ? b) > 0? (a
1.指出定理适用范围: a, b ∈ R 强调取“=”的条件 a = b 。 2、定理 2:如果 a, b 是正数,那么 定理 证明:∵ ( a ) + ( b ) ≥ 2 ab
2 2

a+b ≥ ab (当且仅当 a = b 时取“=” ) 2
∴ a + b ≥ 2 ab 当且仅当 a = b 时
+

即:

a+b ≥ ab 2

a+b = ab 2

注意:1.这个定理适用的范围: a ∈ R ; 2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3、定理 3:如果 a, b, c ∈ R + ,那么 a + b + c ≥ 3abc (当且仅当 a = b = c 时取“=” 定理 )
3 3 3

证明:∵ a 3 + b 3 + c 3 ? 3abc = ( a + b) 3 + c 3 ? 3a 2 b ? 3ab 2 ? 3abc

= (a + b + c)[(a + b) 2 ? (a + b)c + c 2 ] ? 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[a 2 + 2ab + b 2 ? ac ? bc + c 2 ? 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca )
7

=

1 (a + b + c)[(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 ] 2
∴上式≥0
+

∵ a , b, c ∈ R + 指出:这里 a, b, c ∈ R

从而 a + b + c ≥ 3abc
3 3 3

∵ a + b + c < 0 就不能保证。

推论:如果 a, b, c ∈ R + ,那么 推论

a+b+c 3 ≥ abc 。 (当且仅当 a = b = c 时取“=” ) 3

证明: (3 a ) 3 + (3 b ) 3 + (3 c ) 3 ≥ 33 a ? 3 b ? 3 c

? a + b + c ≥ 33 abc ?
a+b+c 3 ≥ abc 3 a1 + a 2 + ? + a n 叫做这 n 个正数的算术平均数, n

4、算术—几何平均不等式: 算术—几何平均不等式 算术 ①.如果 a1 , a 2 , ? , a n ∈ R , n > 1且n ∈ N
n
+ +

则:

a1 a 2 ? a n 叫做这 n 个正数的几何平均数;
②.基本不等式:

a1 + a 2 + ? + a n n * + ≥ a1 a 2 ? a n ( n ∈ N , a i ∈ R ,1 ≤ i ≤ n ) n

这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略) 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③.

a+b ≥ ab 的几何解释: 2
则 CD = CA ? CB = ab ,
2

以 a + b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过 C 作弦 DD’⊥AB 从而 CD =

ab ,而半径

a+b ≥ CD = ab 。 2

D

A

a O C b

B

二、典型例题: 典型例题 例 1、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a + b + c > ab + bc + ca 。
2 2 2

证:∵ a + b > 2ab
2 2

b 2 = c 2 > 2bc

c 2 + a 2 > 2ca

以上三式相加: 2( a 2 + b 2 + c 2 ) > 2ab + 2bc + 2ca ∴ a + b + c > ab + bc + ca
2 2 2

8

例 2、设 a, b, c 为正数,求证: ( ab + a + b + 1)(ab + ac + bc + c ) ≥ 16abc 。
2

例 3、设 a1 , a 2 , a3 ,…, a n 为正数,证明:

a1 + a 2 + ? + a n n ≥ 。 1 1 1 n + +?+ a1 a 2 an

例 4、若 x, y ∈ R + ,设 Q ( x, y ) =

x2 + y2 2

A( x, y ) =

x+ y 2

G ( x, y ) = xy

H ( x, y ) =

2 1 1 + x y

求证: Q ( x, y ) ≥ A( x, y ) ≥ G ( x, y ) ≥ H ( x, y )

加权平均;算术平均;几何平均;调和平均 证:∵ (

x + y 2 x 2 + y 2 + 2 xy x 2 + y 2 + x 2 + y 2 x 2 + y ) = ≤ = 2 4 4 2 x2 + y2 x + y ≥ 即: Q ( x, y ) ≥ A( x, y ) (俗称幂平均不等式) 2 2



由平均不等式 A( x, y ) ≥ G ( x, y )

H ( x, y ) =

2 xy 2 xy ≤ = xy = G ( x, y ) 即: G ( x, y ) ≥ H ( x, y ) x + y 2 xy

综上所述: Q ( x, y ) ≥ A( x, y ) ≥ G ( x, y ) ≥ H ( x, y ) 三、小结: 小结 练习: 四、练习 作业: 五、作业 1、若 a + b = 1, a, b ∈ R + 求证 (a +

1 2 1 25 ) + (b + ) 2 ≥ a b 2 1 1 (a + + b + ) 2 1 2 1 2 a b 证:由幂平均不等式: ( a + ) + (b + ) ≥ a b 2 a+b a+b 2 b a 2 + (1 + ) (3 + + ) 2 a b a b ≥ (3 + 2) = 25 = = 2 2 2 2
9

课 题: 利用平均不等式求最大(小)值 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 1、重要的结论: 已知 x,y 都是正数,则: (1)、如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; (2)、如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 二、典型例题: 典型例题 例 1、当 x 取什么值时,函数 y = 4 x +
2

1 2 S 。 4

9 有最小值?最小值是多少? x2

例 2、求函数 y =

x 2 ? 2x + 6 ( x ≥ 0 )的最小值。 x +1

例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400 元的电脑。假定在电脑的使用过程中,每年的维修费用约 为:第一年为 200 元,第二年 400 元,第三年 600 元,…,按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算? 分析:

例 4、如图,电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A 点的水平距离是 a ,那么电灯距离桌面的高度

h 等于多少时,A 点处最亮?(亮度公式: I =
到某点的光线与水平面所成的角) 分析:

k sin θ ,这里 k 为常数, r 是电灯到照射点的距离, θ 是照射 r2

r h

a O

A

例 5、求函数 y = 2 x +
2

3 , ( x > 0) 的最大值,下列解法是否正确?为什么? x

解一: y = 2 x +
2

3 1 1 1 2 = 2 x 2 + + ≥ 33 2 x 2 ? ? = 33 4 x x x x x
10

∴ y min = 33 4 解二: y = 2 x +
2
3 3 3 3 12 ≥ 2 2x 2 ? = 2 6x 当 2x 2 = 即 x = 时 x x x 2

y min = 2 6 ?

3

12 = 2 33 12 = 26 324 2
2

答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=” ,即不存在 x 使得 2 x = 定值(常数) 正确的解法是: y = 2 x +
2

1 2 = ;解二错在 2 6 x 不是 x x

3 3 3 3 3 9 3 = 2x 2 + + ≥ 33 2 x 2 ? ? = 33 = 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2

当且仅当 2 x =
2

3 3 6 3 即x = 时 y min = 3 36 2x 2 2

例 6、若 ? 4 < x < 1 ,求

x 2 ? 2x + 2 的最值。 2x ? 2

解:

x 2 ? 2 x + 2 1 ( x ? 1) 2 + 1 1 1 1 1 = ? = [( x ? 1) + ] = ? [?( x ? 1) + ] x ?1 x ?1 ? ( x ? 1) 2x ? 2 2 2 2
∵? 4 < x <1 ∴ ? ( x ? 1) > 0

1 >0 ? ( x ? 1)

从而 [ ?( x ? 1) +

1 ]≥ 2 ? ( x ? 1)

1 1 ? [?( x ? 1) + ] ≤ ?1 2 ? ( x ? 1)

x 2 ? 2x + 2 即( ) min = ?1 。 2x ? 2

例 7、设 x ∈ R 且 x +
2

+

y2 = 1 ,求 x 1 + y 2 的最大值 2
2

解:∵ x > 0

∴ x 1+ y =

1 y2 2 ? x2 ( + ) 2 2

1 y2 y2 1 3 2 ) = (x + ) + = 又x +( + 2 2 2 2 2
2

11

∴ x 1+ y ≤
2

1 3 3 2 2( ? ) = 2 2 4 3 2 4

即 ( x 1 + y ) max =
2

例 8、已知 a, b, x, y ∈ R + 且

a b + = 1 ,求 x + y 的最小值 x y
a b ay xb + ) = a+b+ + x y x y

解: x + y = ( x + y ) ? 1 = ( x + y )(

≥ a+b+2 ay xb x = 即 = x y y

ay xb ? = ( a + b)2 x y

当且仅当

a 2 时 ( x + y ) min = ( a + b ) b

三、小结: 小结

四、练习: 练习 1.求下列函数的最值: 1° 、 y = 2 x +
2

4 , (x ∈ R + ) x
2

(min=6)

2°、 y = x ( a ? 2 x ) , (0 < x < 2.1°、 x > 0 时求 y =

a ) 2

( max =

2a 3 ) 27

6 6 9 + 3 x 2 的最小值, y = 2 + 3 x 的最小值 (9, 3 4 ) x 2 x 1 x 2°、设 x ∈ [ ,27] ,求 y = log 3 ? log 3 (3 x) 的最大值(5) 9 27
3°、若 0 < x < 1 , 求 y = x 4 (1 ? x 2 ) 的最大值 (

4 2 3 ,x = ) 27 3

4°、若 x, y ∈ R + 且 2 x + y = 1 ,求

1 1 + 的最小值 (3 + 2 2 ) x y

3.若 a > b > 0 ,求证: a +

1 的最小值为 3 b( a ? b)

4.制作一个容积为 16πm 的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和高各取多少时,用料最省?(不计加
3

工时的损耗及接缝用料) ( R = 2m, h = 4m)
12

五、作业: 作业 1、将一块边长为 a 的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形) ,作成一个无盖的铁盒, 要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少? 解:设剪去的小正方形的边长为 x 则其容积为 V = x ( a ? 2 x ) , (0 < x <
2

a ) 2

V =

1 ? 4 x ? (a ? 2 x) ? (a ? 2 x) 4

1 4 x + ( a ? 2 x) + ( a ? 2 x ) 3 2a 3 ≤ [ ] = 4 3 27
当且仅当 4 x = a ? 2 x 即 x =

a 时取“=” 6 a 2a 3 时,铁盒的容积为 6 27

即当剪去的小正方形的边长为

2、 某种汽车购买时的费用是 10 万元, 每年的保险费、 养路费及汽油费合计为 9 千元; 汽车的维修费平均为: 第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年 平均费用最少)? 解:设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为

0.2 + 0.4 + 0.6 + ? = 0.2n +
年平均费用 y=

n(n ? 1) × 0.2 = 0.1(n 2 + n) (万元) 2

10 + 0.9n + 0.1( n 2 + n) 10 n 10 n = + +1 ≥ 2 ? +1 = 3 n n 10 n 10

当且仅当

10 n 即 n=10 时取等号。 = n 10

答:这种汽车使用 10 年报废最合算。 3、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为λ(λ>1),画面的上、下各留 8cm 的空 白,左、右各留 5cm 的空白。怎样确定画面的高与宽尺才,能使宣传画所用纸张面积最小?(2001 年全国文科高 考题) 解:设画面的宽为 x cm,则画面的高为
2

4840 ,设纸张面积为 S x cm

S= ( x + 10)( 当且仅当 x=

4840 3025 3025 + 16) = 5000 + 16( x + ) ≥ 5000 + 16 ? 2 x ? = 6760 x x x

3025 4840 ,即 x= 55 cm,此时高 = 88 x 55

λ=

55 5 = <1 88 8

答:画面高为 88cm,宽为 55cm 时,能使所用纸张面积最小。 评注:在应用均值不等式解决这类实际问题时,应注意: ① 设变量,一般把要求最大值和最小值的变量设为函数; ② 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;
13

③ 在定义域内,求函数的最大值或最小值;正确写出答案。

不等式的证明方法之一:比较法 课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:

a > b ? a?b > 0 a = b ? a?b = 0 a < b ? a?b < 0
二、典型例题: 典型例题 例 1、设 a ≠ b ,求证: a 2 + 3b 2 > 2b( a + b) 。

例 2、若实数 x ≠ 1 ,求证: 3(1 + x 2 + x 4 ) > (1 + x + x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法:

3(1 + x 2 + x 4 ) ? (1 + x + x 2 ) 2
= 3 + 3x + 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x
2 4 2 4 2 3

= 2( x 4 ? x 3 ? x + 1) = 2( x ? 1) 2 ( x 2 + x + 1) = 2( x ? 1) [( x +
2

1 2 3 ) + ]. 2 4

1 3 ∵ x ≠ 1, 从而( x ? 1) 2 > 0, 且( x + ) 2 + > 0, 2 4 1 2 3 2 ∴ 2( x ? 1) [( x + ) + ] > 0, 2 4
∴ 3(1 + x 2 + x 4 ) > (1 + x + x 2 ) 2 . 讨论:若题设中去掉 x ≠ 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 讨论 例 3、已知 a, b ∈ R + , 求证 a b ≥ a b .
a b b a

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a, b 对称,不妨设 a ≥ b > 0.

14

∵a ? b ≥ 0

∴ a a b b ? a b b a = a b b b ( a a ? b ? b a ?b ) ≥ 0
2)商值比较法:设 a ≥ b > 0,

,从而原不等式得证。



a a abb a ≥ 1, a ? b ≥ 0, ∴ b a = ( ) a ?b ≥ 1. 故原不等式得证。 b b a b

注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商) 、 变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行 走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ≠ n ,问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 ,t 2 。要回答题 目中的问题,只要比较 t1 ,t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 ,t 2 ,根据题意有

t1 t 2S S S S ( m + n) m+ 1 n = S , + = t 2 ,可得 t1 = , t2 = , 2 2 2m 2n m+n 2mn
从而 t1 ? t 2 =

2S S (m + n) S[4mn ? (m + n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? = =? , m+n 2mn 2(m + n)mn 2(m + n)mn

其中 S , m, n 都是正数,且 m ≠ n 。于是 t1 ? t 2 < 0 ,即 t1 < t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m = n ,甲、乙两人谁先到达指定地点? 讨论 例 5、设 f ( x ) = 2 x 2 + 1, pq > 0, p + q = 1. 求证;对任意实数 a, b ,恒有

pf (a ) + qf (b) ≥ f ( pa + qb).
证明 考虑(1)式两边的差。

(1)

pf (a ) + qf (b) ? f ( pa + qb).
= p ( 2a 2 + 1) + q ( 2b 2 + 1) ? [ 2( pa + qb) 2 + 1] = 2 p (1 ? p ) a 2 + 2q (1 ? q )b 2 ? 4 pqab + p + q ? 1. (2)

∵ p + q = 1, pq > 0, ∴ (2) = 2 pqa 2 + 2 pqb 2 ? 4 pqab = 2 pq (a ? b) 2 ≥ 0.
即(1)成立。 小结: 三、小结

四、练习: 练习
15

五、作业: 作业 1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (2) x + x + 1 与 ( x + 1) . (1) x 与 x ? x + 1 ;
2 2 2

2

(1) a 2 > 2a ? 1; 2.已知 a ≠ 1. 求证:
a b c

(2)
a+b+c 3

2a < 1. 1+ a2

3.若 a ≥ b ≥ c > 0 ,求证 a b c ≥ (abc )

.

4.比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小. 解: a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
2 ?? b ? 2b 2 ? = - (a-b) ?? 3a + ? + ? ≤ 0 (当且仅当 d=b 时取等号) ? ? 3 ? 3? ?? ? ? 4 4 3 ∴a -b ≥ 4a (a-b)。

2

5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 6.已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小.

( x ? 1) 与 ( x + 1) 的大小. 8.已知 a≠0,比较 (a + 2a + 1)(a ? 2a + 1) 与 (a
2 2

7.如果 x>0,比较

2

2

2

+ a + 1)(a 2 ? a + 1) 的大小.

9.设 x ≥ 1,比较 x3 与 x2-x+1 的大小. 说明: “变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

不等式的证明方法之二:综合法与分析法 课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法, 也是不等式证明中的基本方法。 由于两者在证明思路上 存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。 所谓综合法, 即从已知条件出发, 根据不等式的性质或已知的不等式, 逐步推导出要证的不等式。 而分析法, 则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果” ,后一种是“执 果索因” 。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是“综合法” ;而 张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法” 。 以前得到的结论,可以作为证明的根据。特别的, A 2 + B 2 ≥ 2 AB 是常常要用到的一个重要不等式。 二、典型例题: 典型例题 例 1、 a, b 都是正数。求证:

a b + ≥ 2. b a
16

证明:由重要不等式 A + B ≥ 2 AB 可得
2 2

a b a b + ≥2 = 2. b a b a
本例的证明是综合法。 例 2、设 a > 0, b > 0 ,求证 a + b ≥ a b + ab .
3 3 2 2

证法一 分析法 要证 a + b ≥ a b + ab 成立.
3 3 2 2

只需证 (a + b)( a ? ab + b ) ≥ ab( a + b) 成立,
2 2

又因 a + b > 0 , 只需证 a ? ab + b ≥ ab 成立,
2 2

又需证 a ? 2ab + b ≥ 0 成立,
2 2

即需证 ( a ? b) 2 ≥ 0 成立. 而 ( a ? b) 2 > 0 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法

(a ? b) 2 ≥ 0 ? a 2 ? 2ab + b 2 ≥ 0 ? a 2 ? ab + b 2 ≥ ab
注意到 a > 0, b > 0 ,即 a + b > 0 , 由上式即得 (a + b)( a 2 ? ab + b 2 ) ≥ ab( a + b) , 从而 a + b ≥ a b + ab 成立。
3 3 2 2

议一议: 议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗? 例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且 a < b. 求证: 证法一 要证(1) ,只需证 b( a + m) > a (b + m)

a+m a > . b+m b
(2)

(1)

要证(2) ,只需证 bm > am (3) 要证(3) ,只需证 b > a (4) 已知(4)成立,所以(1)成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b > a, m 是正数,所以 bm > am 两边同时加上 ab 得 b( a + m) > a (b + m)

17

两边同时除以正数 b(b + m) 得(1) 。 ,那么采用分析 读一读: 读一读:如果用 P ? Q 或 Q ? P 表示命题 P 可以推出命题 Q(命题 Q 可以由命题 P 推出) 法的证法一就是 (1) ? (2) ? (3) ? ( 4). 而采用综合法的证法二就是

(4) ? (3) ? (2) ? (1).

如果命题 P 可以推出命题 Q,命题 Q 也可以推出命题 P,即同时有 P ? Q, Q ? P ,那么我们就说命题 P 与命题 Q 等价,并记为 P ? Q. 在例 2 中,由于 b, m, b + m 都是正数,实际上

(1) ? (2) ? (3) ? (4).
例 4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面 是正方形的水管流量大。 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 L ,则周长为 L 的

L L ? L ? ?L? 圆的半径为 ,截面积为 π ? ? ;周长为 L 的正方形为 ,截面积为 ? ? 。所以本题只需证明 2π 4 ? 2π ? ?4?

2

2

? L ? ? L? π? ? > ? ? 。 ? 2π ? ?4?
证明:设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 π ?

2

2

? L ? ? ,截面是正方形的水管的截面面积为 ? 2π ?

2

?L? ? L ? ? L? ? ? 。只需证明: π ? ? > ? ? 。 ?4? ? 2π ? ?4?

2

2

2

πL2 L2 为了证明上式成立,只需证明 > 。 4π 2 16
4 1 1 ,得: > 。 2 π 4 L 因此,只需证明 4 > π 。
两边同乘以正数

? L ? ? L? 上式显然成立,所以 π ? ? >? ? 。 ? 2π ? ?4?
这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面 是正方形的水管流量大。 例 5、证明: a + b + c ≥ ab + bc + ca 。
2 2 2

2

2

证法一

因为

a 2 + b 2 ≥ 2ab b 2 + c 2 ≥ 2bc
18

(2) (3)

c 2 + a 2 ≥ 2ca
2 2 2

(4) (5)

所以三式相加得 2( a + b + c ) ≥ 2( ab + bc + ca) 两边同时除以 2 即得(1) 。 证法二 因为 a + b + c ? ( ab + bc + ca) =
2 2 2

1 1 1 (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 ≥ 0, 2 2 2
(1)
2

所以(1)成立。 例 6、证明: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2 . 证明 (1) ? (a + b )(c + d ) ? ( ac + bd ) ≥ 0
2 2 2 2

(2)

? a 2 c 2 + b 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ? (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2 ) ≥ 0 (3) ? b 2 c 2 + a 2 d 2 ? 2abcd ≥ 0 ? (bc ? ad ) 2 ≥ 0
(5)显然成立。因此(1)成立。 例 7、已知 a, b, c 都是正数,求证 a + b + c ≥ 3abc. 并指出等号在什么时候成立?
3 3 3

(4) (5)

分析:本题可以考虑利用因式分解公式

a 3 + b 3 + c 3 ? 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca )
着手。 证明:

a 3 + b 3 + c 3 ? 3abc
= ( a + b + c )( a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ca ) =

1 (a + b + c)[(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 ]. 2

由于 a, b, c 都是正数,所以 a + b + c > 0. 而 (a ? b) 2 + (b ? c ) 2 + (c ? a ) 2 ≥ 0 , 可知 a + b + c ? 3abc ≥ 0
3 3 3

即 a + b + c ≥ 3abc (等号在 a = b = c 时成立)
3 3 3

探究:如果将不等式 a + b + c ≥ 3abc 中的 a 3 , b 3 , c 3 分别用 a, b, c 来代替,并在两边同除以 3,会得到 探究
3 3 3

怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:

(1 + a + b)(1 + b + c)(1 + c + a ) > 27 ,其中 a, b, c 是互不相等的正数,且 abc = 1 .
三、小结: 小结 解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移 项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这 些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
19

四、练习: 练习 1、已知 x > 0, 求证: x +

1 ≥ 2. x

2、已知 x > 0, y > 0, x ≠ y , 求证

1 1 4 + > . x y x+ y a ? b.

3、已知 a > b > 0, 求证 a ? b > 4、已知 a > 0, b > 0. 求证: (1) ( a + b)( a
?1

+ b ?1 ) ≥ 4. (2) (a + b)(a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) ≥ 8a 3b 3 .

5、已知 a, b, c, d 都是正数。求证: (1)

a+b+c+d ≥ ab + cd ; 2

(2)

a+b+c+d 4 ≥ abcd . 4

6、已知 a, b, c 都是互不相等的正数,求证 (a + b + c)( ab + bc + ca ) > 9abc. 五、作业: 作业

课 题: 不等式的证明方法之三:反证法 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 引入: 一、引入 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系列的逻辑推理,证明 不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接 证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接 地达到目的。其中,反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证法不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原 来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。 二、典型例题: 典型例题 例 1、已知 a > b > 0 ,求证: n a >
n

b ( n ∈ N 且 n > 1)

20

例 1、设 a + b = 2 ,求证 a + b ≤ 2.
3 3

证明:假设 a + b > 2 ,则有 a > 2 ? b ,从而

a 3 > 8 ? 12b + 6b 2 ? b 3 , a 3 + b 3 > 6b 2 ? 12b + 8 = 6(b ? 1) 2 + 2.
2 因为 6(b ? 1) + 2 ≥ 2 ,所以 a + b > 2 ,这与题设条件 a + b = 2 矛盾,所以,原不 3 3 3 3

等式 a + b ≤ 2 成立。 例 2、设二次函数 f ( x) = x + px + q ,求证: f (1) , f ( 2) , f (3) 中至少有一个不小于
2

1 . 2

证明:假设 f (1) , f ( 2) , f (3) 都小于

1 ,则 2
(1)

f (1) + 2 f (2) + f (3) < 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) + 2 f (2) + f (3) ≥ f (1) ? 2 f (2) + f (3) = (1 + p + q ) ? 2(4 + 2 p + q ) + (9 + 3 p + q ) = 2

(2)

(1)(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 、 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法进行。 注意 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、 议一议 定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、 方法有什么特点? 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证:设(1 ? a)b >

1 4

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 64

2

则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ≤

1 ? (1 ? a ) + a ? ∴ 0 < (1 ? a ) a ≤ ? ? =4 2 ? ? 1 , 4 (1 ? c)c ≤ 1 4 1 64
与①矛盾

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

∴原式成立 例 4、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 三、小结: 小结
21

四、练习: 练习 1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a < b ,则

a+m a > . b+m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1+ y 1+ x 和 中至少有一个小于 2。 x y
∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

提示:反设 五、作业: 作业

1+ y 1+ x ≥2, ≥2 x y

不等式的证明方法之四:放缩法与贝努利不等式 课 题: 目的要求: 目的要求 重点难点: 重点难点 教学过程: 教学过程 一、引入: 引入 所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小) ,使之得出明显的不等量关系后,再应用不等 量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法,尤其在今后学习高等 数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 典型例题: 二、典型例题 例 1、若 n 是自然数,求证 证明:∵

1 1 1 1 + 2 + 2 + ? + 2 < 2. 2 1 2 3 n

1 1 1 1 < = ? , k = 2,3,4, ? , n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 +?+ 2 < + + +?+ 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= + ( ? ) + ( ? ) +?+ (



1 1 1 1 1 1 ? ) 1 2 2 3 n ?1 n 1 = 2 ? < 2. n 1 1 1 1 注意:实际上,我们在证明 2 + 2 + 2 + ? + 2 < 2 的过程中,已经得到一个更强的结论 注意 1 2 3 n 1 1 1 1 1 + + + ? + 2 < 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 n 12 2 2 3 2 n

1 1

22

1 1 1 1 + + +?+ < 3. 1 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × ?× n 1 1 1 证明:由 < = k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 1× 2 × 3 × ? × k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 得1 + + + +?+ 1 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × ?× n 1 1? n 1 1 1 1 2 = 3 ? 1 < 3. < 1 + 1 + + 2 + 3 + ? + n ?1 = 1 + 1 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2
例 2、求证: 1 +

a b c d + + + <2 a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c a b c d 证:记 m = + + + a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c
例 3、若 a, b, c, d∈R+,求证: 1 < ∵a, b, c, d∈R+ ∴m >

a b c d + + + =1 a+b+c+d a+b+c+a c+d +a+b d +a+b+c a b c d m< + + + =2 a+b a+b c+d d +c
即原式成立。

∴1 < m < 2

例 4、当 n > 2 时,求证: log n ( n ? 1) log n ( n + 1) < 1 证:∵n > 2 ∴ log n ( n ? 1) > 0,

log n (n + 1) > 0
2 2 2

? log (n 2 ? 1) ? ? log n 2 ? ? log (n ? 1) + log n (n + 1) ? log n (n ? 1) log n (n + 1) < ? n =? n < ? n ? =1 ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? ?
∴n > 2 时, 三、小结: 小结 练习: 四、练习

log n (n ? 1) log n (n + 1) < 1

1 1 1 1 1 + + +?+ > . n +1 n + 2 n + 3 2n 2 1 3 5 2n ? 1 1 2、设 n 为自然数,求证 ( 2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ? ( 2 ? )≥ . n n n n n!
1、设 n 为大于 1 的自然数,求证 五、作业: 作业 A组 (1) x ? x + 1 ≥ 1、对于任何实数 x ,求证:
2

3 1 2 ; (2) 1 ? x ? x ≤ 1 . 4 4

2、设 a ≠ b ,求证: (1) a 2 + 3b 2 > 2b( a + b) ; (2) a 4 + 6a 2 b 2 + b 4 > 4ab( a 2 + b 2 ). 3、证明不等式 a + b ≥ a b + ab .
4 4 3 3

23

4、若 a, b, c 都是正数,求证: ( a + b + c)( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) .
3 3 3 2 2 2 2

5、若 a > b > c > 0, 求证 a b c
2a 2b

2c

> a b + c b a + c c a +b .

a b + ≥ 2 ,并指出等号成立的条件. b a b+c?a c+a?b a+b?c + + > 3. 7、设 a, b, c 是互不相等的正数,求证: a b c
6、如果 a, b 同号,且均不为 0. 求证: 8、已知三个正数 a, b, c 的和是 1,求证这三个正数的倒数的和必不小于 9. 9、若 0 < θ <

π
2

,则 1 < sin θ + cos θ <

2.
1 1 )(1 + ) ≥ 9. x y

10、设 x, y ∈ R + ,且 x + y = 1, 求证: (1 +

1 x2 + 3 11、已知 x ≠ 0 ,求证: (1) x + 2 > 1; (2) > 2. x +1 x2 + 2
2

12、设 a, b 是互不相等的正数,求证: ? ? 13、已知 a, b 都是正数,求证:

? b 2 a 2 ?? b a ?? 1 1 ? + ?? + ?? + ? > 8. a b ?? a b ?? a b ? ? ?

(1) (1 + a + b)(1 + a 2 + b 2 ) > 9ab; (2) ( a 2 b + a + b 2 )( ab 2 + a 2 + b) > 9a 2 b 2 . 14、已知 a 2 + b 2 + c 2 = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 1, 求证: ax + by + cz ≤ 1. 15、已知 a 2 + b 2 = 1, x 2 + y 2 = 1, 求证: ax + by ≤ 1. 16、已知 a, b, c, d 都是正数,且有 x = 求证: xy >

a2 + b2 , y = c2 + d 2

(ac + bd )(ad + bc)

17、已知 a1 , a 2 , a 3 , ? a n 都是正数,且 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n = 1 , 求证: (1 + a1 )(1 + a 2 )(1 + a3 ) ? (1 + a n ) ≥ 2
n

18、设 ?ABC 的三条边为 a, b, c, 求证 ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca ) . 19、已知 a, b, x, y 都是正数,设 a + b = 1, u = ax + by , v = bx + ay. 求证: uv ≥ xy.

1 1 1 1 + + +?+ < 2. n +1 n + 2 n + 3 3n 1 1 1 1 1 1 < 2 + 2 +?+ 2 < 1? . 21、若 n 是大于 1 的自然数,试证 ? 2 n +1 2 n 3 n
20、设 n 是自然数,利用放缩法证明不等式
24

B组

x y z x x+ y+z z 22、已知 a, b, c, x, y , z 都是正数,且 < < , 求证: < < . a b c a a+b+c c a sin x + b a?b a+b 23、设 a > b > 0 ,试用反证法证明 不能介于 与 之间。 a sin x ? b a+b a ?b 1 1 1 1 7 24、若 n 是自然数,求证 2 + 2 + 2 + ? + 2 < . 4 1 2 3 n

25



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