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广东省普宁市华侨中学2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(理)试题


普宁华侨中学2015-2016学年度第二学期第二次月考考试 数学(理科)试题
试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试用时 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4, 6} ,则图中的阴影部分 表示的集合为 ( A. ?2? B. ?4, 6? ) C. ?1,3,5? D. ?4,6,7,8? ) 第 1 题图 C.错误!

2.函数错误!未找到引用源。的定义域是( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

3. 已知向量错误! 未找到引用源。 . 若错误! 未找到引用源。 为实数, 错误! 未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 ( A.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 ) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 C.错

? y?x ? 4.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. ?3 B.

)

1 2

C. 5

D. 6 科,网]

5.已知错误!未找到引用源。直线错误!未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。平 行,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 )

6.等差数列错误!未找到引用源。的前n项和为错误!未找到引用源。,若错误!未找到引 用源。 ,则错误!未找到引用源。的值是( A.65 7.函数 y=sin (2x+ B.70 ) C.130 D.140

π )的图像可由函数 y=sin 2x 的图像( ) 4 π π A.向左平移 个单位长度而得到 B.向右平移 个单位长度而得到 8 8 π π C.向左平移 个单位长度而得到 D.向右平移 个单位长度而得到 4 4

8.设错误!未找到引用源。是两条不同的直线,错误!未找到引用源。是两个不同的平面, 下列命题中正确的是( )

A.若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找 到引用源。 B.若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,

则错误!未找到引用源。 C.若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找 到引用源。 D.若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,

则错误!未找到引用源。 9.如图,若程序框图输出的错误!未找到引用源。是 126,则判断框① 中应为( ) B. 错误! 未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 C. 错

A. 错误! 未找到引用源。 误!未找到引用源。

10.已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a 4 与错误!未找到引用源。的等差中项为 A. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。
2

5 ,则 S5 等于( 4

)

B. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。

11.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点, 点 O 是坐标原点,若 | AF |? 5 ,则△ AOB 的面积为( A. 5 B. ) D.

5 2

C.

3 2

17 8

第 9 题图

12.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, 且满足 f ? x ? ? ? xf ? ? x ? ,则不等式 f ? x ?1? ? ( x ?1) f ( x ?1) 的解集是(
2

)

A. ?1, ?? ?

B. ? 2, ???

C. (1, 2)

D.

? 0,1?

第二部分

非选择题(共 90 分)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如右图,一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为__________. 14、

?

?

0

(cosx ? 1)dx =

.

15.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? , 则 a? 16.设二次函数错误!未找到引用源。的值域为错误!未找到引用源。,则错误!未找到 引用源。的最大值为_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)A、B、C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、b、c,若 m 错 A A? A? ? ? A 误!未找到引用源。= -cos 2 ,sin 2 , n 错误!未找到引用源。= cos 2 ,sin 2 ,且 m ? n

?

?

?

?

?

?

?

1 错误!未找到引用源。=2. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2 3且错误!未找到引用源。 ,求此三角形的面积.

18.(本题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0(a ? R) .

19. (本小题满分 12 分)已知二次函数错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。 的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引用源。均在函 数错误!未找到引用源。上的图像上。 (Ⅰ)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)若数列错误!未找到引用源。前 n 项和为 Tn ,问满足错误!未找到引用源。的最小 正整数 n 是多少?

20. (本小题满分 12 分)如图所示,在三棱柱错误!未找到引用源。中,错误!未找到引 用源。为正方形,错误!未找到引用源。为菱形, ?BB1C1 ? 60? 错误!未找到引用源。, 平面 AA 。 1 B1 B ? 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 C (Ⅰ)求证: B1C ? AC1 错误!未找到引用源。; (Ⅱ)求二面角错误!未找到引用源。的余弦值。
B A A B
1

C

1

1

21(本题 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线 l : x ? ?1 ,点 P 在直线 l 上 移动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点, RQ ? FP, PQ ? l . (1)求动点 Q 的轨迹的方程. (2)记 Q 的轨迹的方程为 E ,曲线 E 与直线 y ? kx ? 2 相交于不同的两点 A,B,且弦 AB 中点的纵坐标为 2 ,求 k 的值.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , (a ? R, x ? 0) (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

(2) 当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值.

普宁华侨中学 2015-2016 学年度第二学期第一次月考
高二年级数学(理)科试卷答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 D 9 B 10 C 11 B 12 B

B

C

A

C

A

C

A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 16. 错误!未找到引用源。 14. π 15. 1

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) A A 17.解: (Ⅰ) m ? n 错误! 未找到引用源。 =-cos2 2 +sin2 2 1分 =-cosA 1 1 = ,∴cosA=- , 2 2 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分
2 2

………………

又∵A∈(0°,180°),∴A=120°.
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理得:a =b +c -2bccos120°即 b +c +bc=12

…5 分

又∵错误!未找到引用源。∴联立方程错误!未找到引用源。 解得:错误!未找到引用 源。 ………………8 分 1 ∴S△ABC= bcsin120°= 3 2 18.解:原不等式可化为 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 , (Ⅰ)当 a ? 0 时, ?2 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 ,解集为 ( ??, 2) ; (Ⅱ)当 a ? 0 时,对应方程两根为 x1 ? 2, x2 ? 解集为 ( , 2) ; (Ⅲ)当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 2 ? ……………10 分 …………2 分 …………4 分

2 ,由对应二次函数的图象知, a

2 a

…………6 分

2 2(a ? 1) ,由对应二次函数的图象知, ? a a

①当 a ? 1 时,解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; ②当 a ? 1 时,解集为 (??, ) ? (2, ??) ③当 0 ? a ? 1 时,解集为 (??, 2) ? ( , ??) ... 分 综上:当 a ? 0 时,解集为 ( , 2) ;当 a ? 0 时,解集为 ( ??, 2) ;当 0 ? a ? 1 时,解集为

2 a

2 a

10

2 a

2 (??, 2) ? ( , ??) ; 当 a ? 1 时 , 解 集 为 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时 , 解 集 为 a
2 (??, ) ? (2, ??) . a
…………12 分

19.解: (Ⅰ )因为 点错误!未找到引用源。均在函数错误!未找到引用源。上的图像上 所 以错误!未找到引用源。 ……1 分

当 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 时 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ……………2 分 ……………4 分

当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,

经 检 验 当 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 时 , 也 满 足 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。, ……………5 分 ……………6 分

所以错误!未找到引用源。 (Ⅱ)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ………7 分 ……………9 分

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

错 误 ! 未 找 到 引 用

源。

…………10 分

由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。,满足错误!未找到引用源。的最小正 , 整数为 12. …………12 分

20. (本小题满分 12 分)证明: (Ⅰ)连接错误!未找到引用源。. 在正方形错误!未找到 引用源。中, AB ? BB1 错误!未找到引用源。. 因为 平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,平面错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用源。 , AB ? 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。, 所以 AB ? 平面错误!未找到引用源。. 因为 B1C ? 平面错误!未找到引用源。, 所以 AB ? B1C 错误!未找到引用源。. ………………2 分
B A A B
1

………………1 分
C C
1

1

在菱形错误!未找到引用源。中, BC1 ? B1C 错误!未找到引用源。. 分

………………3

因为 BC1 ? 平面错误!未找到引用源。, AB ? 平面错误!未找到引用源。, 错误!未找 到引用源。,所以 B1C ? 平面错误!未找到引用源。.. ,,,,,,,,,,..4 分 因为 AC1 ? 平面错误!未找到引用源。, 所以 错误!未找到引用源。错误!未找到引 用源。. ………………5 分

(Ⅱ)在平面错误!未找到引用源。内过点错误!未找到引用源。作 Bz ? BB1 错误!未找 到引用源。.由(Ⅰ)可知: AB ? 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. 以 点错误!未找到引用源。为坐标原点,分别以错误!未找到引用源。所在的直线为错误! 未找到引用源。轴,建立如图所示的空间直角坐标系错误!未找到引用 源。 , ………………6 分

设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。.在菱形错误!未找到引用源。中,错 误!未找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. 设平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用源。.
z C C
1

……7 分

因为 错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。 ………………8 分 所以 错误!未找到引用源。即 源。,1) ………………9 分 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用

由(Ⅰ)可知:错误!未找到引用源。是平面错误!未找到引用源。的一个法向量,错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 所以 错误!未找到引用源。. …10 分

………………11 分 ……12 分

所以 二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用源。.

方法 2:证明:连接错误!未找到引用源。. 在正方形错误!未找到引用源。中, AB ? BB1 错误!未找到引用源。. 因为 平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,平面错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用源。 , AB ? 平面错误!未找到引用源。, 所 以 源。. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 平 面 错 误 ! 未 找 到 引 用 ………………1 分

在平面错误!未找到引用源。内过点错误!未找到引用源。作 Bz ? BB1 . 以点错误!未 找到引用源。为坐标原点,分别以错误!未找到引用源。所在的直线为错误!未找到引用 源。 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系错误! 未找到引用源。 , 2分 设错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。.在菱形错误!未找到引用源。中,错 误!未找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. (Ⅰ)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 所以 错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。. ……6 分
B B A
1

………………

……3 分
z C
1

……4 分 ……5 分
C

y

(Ⅱ)设平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用源。. 因为 错误!未找到引用源。即错误!未找到引用 源。 所以 错误!未找到引用源。即 源。,1) ………………8 分 ………………7 分

A x

1

错误!未找到引用源。(错误!未找到引用

又因为 CB1 ? AB, CB1 ? BC1 错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。所以

CB1 ? 平面ABC1 错误!未找到引用源。

………………9 分

即错误!未找到引用源。是平面错误!未找到引用源。的一个法向量,且错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。 所以 错误!未找到引用源。. ………………11 分 ………………10 分

所以 二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用 源。. ………………12 分

21. (1)依题意知,直线 l 的方程为: x ? ?1 .点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线 ∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ ? QF -----3 分
2

-----1 分

故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其方程为: y ? 4 x( x ? 0) -----5 分 (2) (法一)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 依题意知, k ? 0, 由 ? 即 ky ? 4 y ? 8 ? 0 ,-----7 分
2

? y ? kx ? 2 y2 y ? k ?2 有, 2 4 ? y ? 4x

∴ y1 ? y2 ? 又

4 ,-----8 分 k

y1 ? y2 ? 2, ∴ k ? 1 -----10 分 2

又当 k ? 1 时, ? ? 16 ? 32k ? 0 ,所以 k ? 1 满足题意,-----11 分 ∴ k 的值是 1-----12 分 (法二)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 ? 两式相减有 y12 ? y22 ? 4( x1 ? x2 ) , ∴

? y12 ? 4 x1
2 ? y2 ? 4 x2

,-----6 分

y1 ? y2 4 ? ,-----9 分 x1 ? x2 y1 ? y2

又k ?

y1 ? y2 y1 ? y2 , ? 2 ,-----11 分 x1 ? x2 2
则 k ? 1 -----12 分

22. 解: (1) 当 a ? 2时, f ( x) ? ln x ? 2 x , 则

f ?( x) ?

1 ?2 x ( x ? 0 ),

--------------1



1 1 ? 2 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 x 1 1 令 f ?( x) ? ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 x
令 f ?( x) ?

-------------------------------2 分 -------------------------------3 分

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0, ) ,单调减区间为 ( ,?? ) . (2)由f ( x) ? ln x ? ax得f ?( x) ?

1 2

1 2

--------------------4 分

1 ? ax ? 1 ?a ? x x 1 1 ? x ? 0, a ? 0 , 令f ?( x) ? 0得0 ? x ? ; 令f ?( x) ? 0得x ? a a
------------------------------6 分

1 1 ? f ( x)在(0, )单调递增 , 在( ,?? )单调递减 a a

①当

1 ? 1 ,即 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是减函数, a
------------------------------7 分

∴ f ( x) 的最小值是 f (2) ? ln 2 ? 2a . ②当

1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, a 2
------------------------------8 分

∴ f ( x) 的最小值是 f (1) ? ?a . ③当 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 [1, ] 上是增函数,在 [ , 2] 是减函数. a a a 2

又 f (2) ? f (1) ? ln 2 ? a , ∴当

1 ? a ? ln 2 时,最小值是 f (1) ? ? a ; 2
------------------------------10 分

当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f (2) ? ln 2 ? 2a .

综上可知,当 0 ? a ? ln 2 时, 函数 f ( x) 的最小值是 f ( x) min ? ?a ; 当 a ? ln 2 时,函数 f ( x) 的最小值是 f ( x) min ? ln 2 ? 2a . ------12 分


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