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江西省八所重点中学2015届高三联考数学文试题


江西省八所重点中学 2015 届高三联考 数学(文科)试卷
命题:宜春中学 钟文峰 九江一中 梅宋军

【试卷综述】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试 卷难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选 题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题 原则,重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查. 【题文】一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 【题文】 1. 设全集 U ? R , 集合 A ? x 1 ? x ? 4? , 集合 B ? x 2 ? x ? 5? , 则 A ? (CU B ) ? ( ) A. x 1 ? x< 2

?

?

?

?

B. x x< 2

?

?

C. x x ? 5

?

?

<x< 2 D. x 1

?

?
?

【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】D

<x< 2 解析: CU B ? ?x / x ? 2, x ? 5? , A ? (CU B ) ? x 1

?

【思路点拨】主要考查集合之间的关系和集合运算. 【题文】2.若复数 z 满足 (3 ? 4i ) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( ) A.

4 i 5

B.

4 5

C. 4i

D. 4

【知识点】复数的基本概念及运算. L4 【 答 案 】 【 解 析 】 B 解 析 : 由

(3 ? 4i ) z ? 4 ? 3i
4 5

得 ,

z?

5? ? 3 i? 4 5? i 3 ?? ? ? 5 ? 3? i4 ? ? 3?? i 4 ?? 3 i 4
4 5

4 ?? i ? 2 5

3

所以 z 的虚部为

【思路点拨】主要考查复数的基本运算,复数的定义.

?x ? 0 ? 【题文】3.已知 O 为坐标原点,点 M 坐标为(-2,1),在平面区域 ? x + y ? 2 上取一点 N , ?y ? 0 ?
则使 MN 取得最小值时,点 N 的坐标是( A.(0,0) B. (0,1) ) C. (0,2) D. (2,0)

【知识点】简单的线性规划问题. E5

【答案】 【解析】B

?x ? 0 ? 解析:做出不等式组 ? x + y ? 2 表示的平面区域,得如图的三角形 ABO ?y ? 0 ?

及其内部,其中 A(2,0) ,B(0,2),O(0,0),点 N 是区域内动点,运动点 N 可得坐标为(0,1) 时,MN 垂直 y 轴,此时 MN ,取得最小值 2,故选 B.

【思路点拨】做出不等式组表示的平面区域,再将区域内点 N 进行移动并加以观察,可得当 N 坐标为(0,1)时, MN 取得最小值,由此即得答案。 【题文】4.已知抛物线 y ? ax (a> 0) 的焦点到准线的距离为 2,则 a ? (
2



A. 4

B. 2

C.

1 4
2

D.

1 2

【知识点】 抛物线及其几何性质. H7 【答案】 【解析】 C
2 解析: 把 y ? ax (a> 0) 化为 x ?

1 1 1 y ,即 2 p ? ,又 p=2,所以 a= . a a 4

【思路点拨】主要考查了抛物线的定义,标准方程及其性质的应用. 【题文】5.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 3x ? m (m 为常数) ,则

f ? ? log 3 5 ? 的值为(

) D. ?6
x

A. 4 B. ?4 C.6 【知识点】函数的奇偶性与周期性.B4 【答案】 【解析】B (m 为常数) ,

解析:由题意,f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时 f(x)=3 +m

∴f(0)=3 +m=0,解得 m=-1,故有 x≥0 时 f(x)=3 -1 ∴f(-log35)=-f(log35)=-(3
log 5 3

0

x

-1 )=-4

【思路点拨】由题设条件可先由函数在 R 上是奇函数求出参数 m 的值,求函数函数的解板式, 再由奇函数的性质得到 f(-log35)=-f(log35)代入解析式即可求得所求的函数值,选出正 确答案.

【题文】6.正项等比数列 ?an ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在 am , an ,使得 am ? an ? 16a12 , 则

1 9 ? 的最小值为( m n
A. 2

) B. 16 C.

8 3

D.

3 2

【来.源:全,品?中&高*考*网】

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和. D3 【答案】 【解析】C 解析::∵正项等比数列 ?an ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1

∴ a1q2 ? a1q ? 2a1 即: q2 ? q ? 2 ,解得 q ? ?1 (舍),或 q ? 2 ∵存在 am , an ,使得 am ? an ? 16a12 ∴ a12 ? 2m?n?2 ? 16a12 ∴m+n=6, ∴

n 9m ? 8 n 9m ? 1 ? 1 9 1 ? 1 9? 1? 10 ? 2 ? ? ? ? m ? n ? ? ? ? ? ?10 ? ? ? ? ? 6? ? ??3 m n m n 6 m n ? ?m n? 6? ? ?
8 1 9 ? 的最小值为 . 3 m n



【 思 路 点 拨 】 正 项 等 比 数 列 ?an ? 满 足 : a3 ? a2 ? 2a1 , 知 q=2 , 由 存 在 am , an , 使 得

am ? an ? 16a12 ,知 m+n=6,由此问题得以解决.
【题文】7.已知函数 f ( x) ?

sin x ? cos x ? sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( 2



A. f ( x) 是奇函数 为 ? ?1,1?

B. f ( x) 在 ?0, ? 上递增

? ?? ? 2?

C. f ( x) 是周期函数

D. f ( x) 的值域

【知识点】三角函数的图像与性质. C3 【答案】 【解析】C 解析:由题意可得: = =



故 A,B 不正确,C 正确. 当 x∈[2kπ+ 当 x∈[2kπ﹣ ,2kπ+ ,2kπ+ ]时,f(x)∈[﹣ ]时,f(x)∈[﹣ ,1] ,1]

故可求得其值域为[﹣

,1],故 D 不正确.

【思路点拨】去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,在化为分段函数时应求出每 一段的定义域,由三角函数的性质求之. 【题文】8.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( A.3 B.4 C.5 D.6 )

【知识点】算法与程序框图. H1 【答案】 【解析】C
2

解析:s=1+(1-1) =1,不满足判断框中的条件,k=2,

2

s=1+(2-1) =2,不满足判断框中的条件,k=3, s=2+(3-1) =6,不满足判断框中的条件,k=4, s=6+(4-1) =15,不满足判断框中的条件,k=5, s=15+(5-1) =31,满足判断框中的条件,退出循环,输出的结果为 k=5 【思路点拨】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条 件就退出循环 输出结果. 【题文】9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
2 2 2

64 3 80 C. 3
A.

16 3 43 D. 3
B.

【知识点】空间几何体的三视图和直观图. G2

【答案】【解析】C

解析:该几何体体积=(4 ? 4 ?

1 1 80 ) ? 4- ( ? 2 ? 4) ? 4= 2 3 3

【思路点拨】这个题不难,关键在于画出立体图形,是一个横着的三棱柱从上面截去一个三 棱锥(底在左边,顶点在右边) 。 【题文】10.已知 F1、F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一 a 2 b2
) D. [3,+ ? )

点且

| PF1 |2 ? 8a ,则双曲线离心率的取值范围是( | PF2 |
C. (1,3]

A. (1,2] B. [2 + ? ) 【知识点】双曲线及其几何性质. H6

【 答 案 】【 解 析 】 C 解 析 : 由 定 义 知 : |PF1|-|PF2|=2a , 所 以 |PF1|=2a+|PF2| ,

+4a+|PF2| ≥8a,当且仅当 得 等 号 , 设 P ( x0 , y0 ) ( x0

=|PF2|,即|PF2|=2a 时取

a ), 由 焦 半 径 公 式 得 : |PF2|=-ex0-a=2a ,

,又双曲线的离心率 e>1,∴e∈(1,3],故选 C. 【思路点拨】本题主要考查双曲线的定义及几何性质,均值定理的应用 【题文】11. 已知 PC 为球 O 的直径, A, B 是球面上两点,且 AB ? 6, ?APC ? ?BPC ? 若球 O 的表面积为 64? ,则棱锥 A ? PBC 的体积为( A. 8 7 B. 24 7 C. 4 3 3 ) D.
2 21 5

?
4

【知识点】多面体与球. G8

【答案】 【解析】A

解析:如图,由题意球 O 的表面积为 64π,可得球的半径为:4,知 ,∠PAC=∠PBC= ,AO⊥

OP=OC=OA=OB=4,AB=6,∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP= PC,BO⊥PC, ∴PC⊥平面 AOB,BP=BC=4 ∴S△OAB= ×AB×h= ×6×

, =3 , = .

∴棱锥 A﹣PBC 的体积 V= ×PC×S△OAB= 故选:A.

【思路点拨】 由题意知 OP=OC=OA=OB=4, ∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP= 求出棱锥 A﹣PBC 的体积.

, ∠PAC=∠PBC=



【题文】12.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (-?,0) B.(0, ) 【知识点】导数的应用. B12



1 2

C.(0,1)

D.(0, +?)

【答案】 【解析】B 解析:f(x)=xlnx-ax (x>0),f′(x)=lnx+1-2ax. 令 g(x)=lnx+1-2ax, ∵函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则 g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根. g′(x)= ?2a ?

2

1 ? 2a ,当 a≤0 时,g′(x)>0,则函数 g(x)在区间(0,+∞)单调 x 1 . 2a

递增,因此 g(x)=0 在区间(0,+∞)上不可能有两个实数根,应舍去. 当 a>0 时,令 g′(x)=0,解得 x= 令 g′(x)>0,解得 0 < x < 令 g′(x)<0,解得 x > ∴当 x=

1 ,此时函数 g(x)单调递增; 2a

1 ,此时函数 g(x)单调递减. 2a

1 时,函数 g(x)取得极大值. 2a 1 1 1 )=ln > 0 ,解得 0 < a < . 2a 2a 2a

当 x 趋近于 0 与 x 趋近于+∞时,g(x)→-∞, 要使 g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根,则 g( ∴实数 a 的取值范围是(0 ,

1 ). 2
2

【思路点拨】f(x)=xlnx-ax (x>0),f′(x)=lnx+1-2ax.令 g(x)=lnx+1-2ax,由于

函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点?g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根.g′

1 1 ? 2a -2a= .当 a≤0 时,直接验证;当 a>0 时,利用导数研究函数 g(x)的单 x x 1 1 调性可得: 当 x= 时, 函数 ( g x) 取得极大值, 故要使 ( g x) 有两个不同解, 只需要 g( )=ln 2a 2a 1 > 0 ,解得即可 2a
(x)= 【题文】二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 【 题 文 】 13. 已 知 实 数 a ? [?2,5] , 则 a ? x ? R x ? 2 x ? 3 ? 0? 的 概 率
2

?

为 . 【知识点】几何概型. K3 【答案】 【解析】

4 7

解析: a ? x ? R x ? 2 x ? 3 ? 0? 即 a ?? ?1,3? ,P=
2

?

4 . 7

【思路点拨】本题考查几何概型的长度型问题.

? x 2 ? 1, x ? 0 【题文】14. 已知函数 f ( x) ? ? 则满足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2 x) 的 x 的取值范围 1 , x ? 0 , ?
是 . 【知识点】函数的单调性与最值. B3 【答案】 【 解 析 】 (? 1,

2 ? 1)

解 析 : 由 题 意 可 得 1 ) 1 ? x ? 0, 2 x ? 0 或 2 )
2

1 ? x2 ? 0, 2 x ? 0,1 ? x2 ? 2 x ,由 1)可得-1<x<0,由 2)可得 0 ? x ? 2 ? 1 ,综上可得,实
数 x 的取值范围为 (?1, 2 ?1) . 【思路点拨】主要考查了一元二次不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想. 【题文】15.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, an ?1 ? (?1) n an ? cos(n ? 1)? ,记 S n 为数列 ?an ? 的前

n 项和,
则 S 2015 ? .

【知识点】数列求和. D4 【答案】 【解析】-1006 解析:由 a1 ? 1, an ?1 ? (?1) n an ? cos(n ? 1)? ,得

a2 ? a1 ? cos 2? ? 1 ? 1 ? 2 , a3 ? ?a2 ? cos3? ? ?2 ?1 ? ?3 , a4 ? a3 ? cos 4? ? ?3 ? 1 ? ?2 , a5 ? ?a4 ? cos5? ? 2 ?1 ? 1
? 由上可知,数列 ?an ? 是以 4 为周期的周期数列,且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?2 ,所以

S2015 ? 503? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 0 ? 503? ? ?2? ? 0 ? ?1006
【思路点拨】由已知结合数列递推式求出数列前 5 项,得到数列是以 5 为周期的周期数列, 由此求出答案. 【 题 文 】 16 . 在 ?ABC 中 , AB ? ( 2, 3), AC ? (1, 2) , 则 ?ABC 的 面 积 为 【答案】 【解析】 1 ? .
【来.源:全,品?中&

??? ?

????

【知识点】平面向量的数量积及应用;解三角形. F3 C8

??? ? ???? ??? ? ???? 3 解析: AB ? ( 2, 3), AC ? (1, 2) 得 AB = 5 , AC ? 3 , 则 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? AB ? AC 2? 6 2? 3 ,则 s inA ? , AB ? AC = 2 ? 6 , cos A ? ??? ? ???? ? 15 15 AB ? AC

? ???? 1 ??? 3 AB ? AC ? s inA = 1 ? 2 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 【思路点拨】根据题意,由 AB ? ( 2, 3), AC ? (1, 2) 可求得 AB , AC 以及 AB ? AC ,
则 S?ABC ? 由数量积公式可得 cosA 的值,进而结合同角三角函数基本关系可得 sinA,再结合面积公式, 可得答案. 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】17. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的始边为 x 轴的非负半轴,终 边为射线 l : y ? 2 2 x( x ? 0). (1)求 cos(? ?

?
6

) 的值;

(2)若点 P, Q 分别是角 ? 始边、终边上的动点,且 PQ ? 6 ,求 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标. 【知识点】三角函数的求值、化简与证明;不等式的综合应用. C7 E8 【答案】 【解析】(1)

3?2 2 (2) P(3 3,0), Q( 3, 2 6) 6
2 2 1 , cos ? ? , 3 3
??2 分

解析:(1)由射线 l 的方程为 y ? 2 2 x ,可得 sin ? ?

故 cos(? ?

?

1 3 2 2 1 3?2 2 . ? ? ? )= ? 3 2 3 2 6 6

?????5 分

(2)设 P?a,0 ?, Q b,2 2b ?a ? 0, b ? 0 ? . 在 ?POQ 中因为 PQ ? (a ? b) ? 8b ? 36 , ??????????????6 分
2 2 2

?

?

即 36 ? a 2 ? 9b 2 ? 2ab ? 6ab ? 2ab ? 4ab ,所以 ab ≤9

??????????8 分

? S ?POQ ? 2ab ? 9 2 .当且仅当 a ? 3b ,即 a ? 3 3, b ? 3 取得等号. ????10 分
所以 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标分别为 P (3 3, 0), Q( 3, 2 6) .????12 分 【思路点拨】 (1)由射线 l 的方程找出斜率即为 α 的正切值,根据 α 为第一象限的角,利用同 角三角函数间的基本关系求出 sinα 和 cosα 的值,然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的 三角函数值把所求的式子化简后,把各自的值代入即可求出值; (2)由 P 和 Q 的坐标,利用两点间的基本公式表示出 PQ ,把 PQ 的值代入后,利用基本不 等式即可求出 ab 的最大值,且求出 ab 取最大值时 a 与 b 的值,利用三角形的面积公式,由 OP 的长与 Q 点的纵坐标乘积的一半即可表示出三角形 POQ 的面积,把 ab 的最大值代入即可 求出面积的最大值,然后把求出的 a 与 b 代入 P 和 Q 的坐标中确定出两点坐标. 【题文】18.(本小题满分 12 分)2014 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在 一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段:
2

[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75,80), [80,85), [85,90) 后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (2)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的概率.

【知识点】随机抽样;古典概型.I1 K2 【答案】 【解析】 (1) 77.5 (2) P ?

8 15
?? 2 分

解析: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 ???5 分

(2)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) ,???6 分 车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ???7 分

设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a, b , 车速在 [65, 70) 的车辆设为 c, d , e, f , 则所有基本事 件有:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), ( a, f ) (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ) (d , e), (d , f ) (e, f )
其中车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的事件有: 共 15 种 ?????? 10 分

(a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) 共 8 种
所以,车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的概率为 P ?

???11 分 ??????12 分。

8 . 15

【思路点拨】 (1)选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数;求出从左边开始小 矩形的面积和为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数; 利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底 边的中点的和为数据的平均数. (2)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数和车速在[65, 70)的车辆数.从车速在(60,70)的车辆中任抽取 2 辆,设车速在[60,65)的车辆设为 a, b,车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f,列出各自的基本事件数,从而求出相应的概率 即可.

SA ? 【题文】 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,
底面 ABCD , SA ? AB ? 2 , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N . (1)求证:直线 SC ? 平面 AMN ; (2)求点 N 到平面 ACM 的距离.

【知识点】空间中的垂直关系. G5 【答案】 【解析】(1) 见解析 (2)

4 3 9

解析: (1)证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA, ∴ DC ? 平面 SAD ,∴ AM ? DC.

又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD. ∴ AM ? 平面 SDC. ∴ SC ? AM . 由已知 SC ? AN ,∴ SC ? 平面 AMN .
2

6分

(2) VM ? ANG ?

1 1 1 2 4 ?1? 1 VD ? ANG ? VN ? ACD ? ? VS ? ACD ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ???8 分 2 2 2 3 9 ?3? 2

MA ? 2, AC ? 2 2, MC ? 6

1 S ?AMC ? ? 2 ? 6 ? 3 2 1 4 VN ? ACM ? ? 3h ? 3 9

???10 分

h?

4 3 9

? 点 N 到平面 ACM 的距离为

4 3 . 9

???12 分

【思路点拨】 (1)证明 AM⊥DC.AM⊥SD.推出 AM⊥平面 SDC.即可证明 SC⊥AM.然后利用直 线与平面才知道判定定理证明 SC⊥平面 AMN. (2)通过 到平面 ACM 的距离. ,结合已知条件通过 VN﹣ACM 求解点 N

0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切,圆心为 M 。 【题文】20.(本小题满分 12 分)动圆 C1 过点 ?1,
(1) 求 M 的轨迹方程, (2) 直线 l 与圆 C2 : x ? y ? r (r ? 0) 相切,并与 M 的轨迹相交于 A, B 两点,以 AB 为直
2 2 2

径的圆恒过圆 C2 的圆心,当 r 值最大时,求直线 l 的方程. 【知识点】直线与圆. H4 【答案】 【解析】 (1) y ? 4 x
2

(2) x ? 4

0 ? 的抛物线, 解析: (1)易知 M 的轨迹为顶点在原点,焦点为 ?1,
所以 M 的轨迹方程为 y ? 4 x .
2

???4 分

(2)设直线 l 方程为 my ? x ? t ,则有

t 1 ? m2

?r

联立 ?

?my ? x ? t ? y 2 ? 4my ? 4t ? 0 2 ? y ? 4x

? =16m 2 ? 16t ? 0 得 m 2 ? t
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 则 ?

? y1 ? y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? 4t

???7 分

x 1?x2 ? (my1 ? t )(my2 ? t ) ? m 2 y1 y2 ? mt ( y1 ? y2 ) ? t 2 ? 4m 2t ? 4m 2t ? t 2 ? t 2
? 以 AB 为直径的圆恒过圆 C2 的圆心,? OA ? OB

x 1?x2 ? y1 ? y2 ? 0
t 2 ? 4t ? 0

t ? -4或t ? 0(舍去)
r? 4 1 ? m2
,当 m ? 0 时 rmax ? 4

???10 分

此时直线 l 的方程为 x ? 4 ???12 分 2 【思路点拨】 (1)由题意可得:曲线 C 为抛物线:y =4x. (2)设直线的方程为 y=k(x﹣1) , (k≠0) ,与抛物线相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与抛物 线 方 程 联 立 化 为 k x ﹣ ( 2k +4 ) x+k =0 . 可 得 根 与 系 数 的 关 系 , 利 用 焦 点 弦 长 公 式 |AB|=x1+x2+2= +2=36,解出即可.
2 2 2 2

【题文】21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

(1 ? a ) x 2 ? ax ? a ex

(1) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2) 当 x ? 0 时, f ( x) 的最大值为 a ,求 a 的取值范围. 【知识点】导数的应用. B12 【答案】 【解析】 (1) x+ey ? 1 ? 0 解析: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? (2) a ?

4 . e ?5
2

?x ?1 ex

f (1) ? 0

f ?( x) ?

x-2 ex

f ?(1) ? -

1 e
???4 分

所以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x +ey ? 1 ? 0 (2) f ?( x) ?

(a ? 1) x 2 ? (2 ? a) x ? 2a ? (a ? 1) x ? a ? ( x ? 2) ? ex ex

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ?

a (a ? 1) 1? a

x2 ? 2

???6 分

① 当 a ? 1 时, f ( x) 在 ? 0, 2? 递减,在 ? 2, ?? ? 递增 当 x ? ?? 时, f ( x) ? 0

f ( x) max ? f (0) ? a
② 当

a 2 a ? ? a ? ? 递增 ? 2 即 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ? 0, 2? 和 ? , ?? ? 递减, f ( x) 在 ? 2, 1? a 3 ?1 ? a ? ? 1? a ? ?

a a 2 f( ) ? a ? a 解得 0 ? a ? 1 ,所以 ? a ? 1 3 1? a e1? a
③ 当

a 2 ? 2 即 a ? 时, f ( x) 在 ? 0, ?? ? 递减, f ( x) max ? f (0) ? a 1? a 3 a 2 ? 2 即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 1? a 3

④ 当0 ?

a ? ? ? a ? 和 ? 2, ?? ? 递减,在 ? 0, , 2 ? 递增, ? ? ? 1? a ? ?1 ? a ?

f (2) ?
⑤ 当

4 ? 5a 4 4 2 ,所以 2 ? a 解得 a ? 2 ?a? 2 e e ?5 e ?5 3

a 【来. ? 0 即 a ? 0 时,f ( x) 在 ? 0, 2? 递增,f ( x) ? f (0) ? a 不合题意 ???11 分 1? a

源:全,品?中&高*考*网】 综上所述: a 的取值范围为 ? 第(2)问另解:

? 4 ? , ?? ? 2 ?e ? 5 ?

???12 分

? f (0) ? a ? f ( x) 当 x ? 0 时的最大值为 a ,等价于 f ( x) ? a 对于 x ? 0 恒成立,
可化为 a ?

x2 对于 x ? 0 恒成立 ex ? x2 ? x ?1

???7 分

x( x ? 2)(1 ? e x ) x2 / 令 g ( x) ? x ,则 g ( x) ? x (e ? x 2 ? x ? 1) 2 e ? x2 ? x ?1
于是 g ( x) 在 [0, 2] 上递增,在 (2, ??) 上递减,

4 e ?5 4 ? a 的取值范围是 a ? 2 . ???12 分 e ?5 ? g max ( x) ? g (2) ?
2

【思路点拨】 (1)利用 a=1,化简函数求出切点坐标,求解是的导数,得到切线方程的斜率, 即可求解切线方程. (2)求出函数的导数,利用导数为 0,得到极值点,然后①当 a≥1 时, ②当 ,③当 ,④当 ,⑤当 ,分别求解函数的单调

性推出最值,解得 a 的取值范围. 第(2)问另解:f(x)当 x≥0 时的最大值为 a,等价于 f(x)≤a 对于 x≥0 恒成立,转化 a 的 函数,构造新函数,利用增函数的导数求解最值即可. 【题文】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分: 【题文】22. (本小题满分 10 分)(选修 4-1 几何证明选讲 )已知 ?ABC 中, AB ? AC ,

D为?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合),延长 BD 至 E ,延长 AD 交 BC 的
延长线于 F . (1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

【知识点】选修 4-1 几何证明选讲. N1 【答案】 【解析】(1)见解析 (2)见解析 解析:(1)证明:? A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 ? ?CDF ? ?ABC .??????2 分

? AB ? AC ??ABC ? ?ACB 且 ?ADB ? ?ACB , ?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ????4 分 ? ?CDF ? ?EDF .??????5 分 (2)由(1)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似, AB AD ? AB 2 ? AD ? AF ,????7 分 ? ? AF AB ? AB ? AC ? AD ? AF ,? AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF 又? AB ? AC , 根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,?????9 分 AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .?????10 分
【思路点拨】(1)由圆内等角定理易求得.(2)由三角形相似及割线定理求得等积式成立. 【题文】23. (本小题满分 10 分)(选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,
? x ? 2cos ?, 已知曲线 C 的参数方程为 ? ?? 为参数 ? .以直角坐标系原点 O 为极点,x 轴的正半轴 ? y ? sin ?

为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? π ? 2 . 3 (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程. N3 【答案】 【解析】 (1) 3x ? y ? 4 ? 0 (2) 解析: (Ⅰ) ? sin(? ?

?

?

1 13 ? 2 2

?
3

) ? 2 化简为 3? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 ,
?????????????????4 分

∴直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ; (Ⅱ)设点 P 的坐标为 ? 2cos ?,sin ? ? ,
2 3 cos ? ? sin ? ? 4 2

得 P 到直线 l 的距离 d ?
13 cos ?? ? ? ? ? 4 2

, ???????????????6 分

即d ?

,其中 cos ? ?
1 13 ? 2 . 2

2 3 13

, sin ? ?

1 13



当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, d max ?

????????????????10 分.

【思路点拨】(1)由参数方程与普通方程的互化易求得答案. (2)由点到直线的距离公式与三角函数的性质可求得最值. 【题文】24. (本小题满分 10 分)(选修 4-5:不等式选讲)已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a (其 中 a 为实常数) .

(1)若集合 x ? 4 ? x ? 3 是关于 x 的不等式 f ( x) ? 6 的解集的子集,求实数 a 的值范围; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (? n) 成立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】不等式选讲. N4 【答案】 【解析】 (Ⅰ) a ? ?1 (Ⅱ) ?0, ??? 解析: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 3 ? ?4 ,? a ? ?1 。 (Ⅱ)只需 m ? f (n) ? f (?n) 的最小值???6 分 令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? , 在(1)的条件下, a ? ?1 则 ? ? n ? ? 2n ? a ? 2n ? a ? 2a ? (2n ? a ) ? (2n ? a ) ? 2a ? 2a ? 2a ? 0 当 (2n ? a )(2n ? a ) ? 0 即 即a ?3? x ? 3 ???3 分 ???5 分

?

?

1 1 a ? n ? ? a 时取等号, 2 2

∴ ? ? n ? 的最小值为 0, 故实数 m 的取值范围是 ? 0, ?? ? 。

???9 分; ???10 分

【思路点拨】 (Ⅰ)不等式 f(x)≤6 等价于|2x﹣a|+a≤6,即|2x﹣a|≤6﹣a,利用不等式 f(x)≤6 的解集为{x|﹣4≤x≤3},即可求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? , 确定其 最小值,即可求得使 f(n)≤m﹣f(﹣n)有解的实数 m 的取值范围.



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