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2014年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学标准word版(含答案及评分标准)


绝密★启用前 【考试时间:4 月 17 日 15:00— 17 :00】

2014 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第 1 卷(选择题)和第 1I 卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必用黑 色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准 条形码上的准考证号、姓

名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码. 2.回答第 1 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

(a, 4) (1)已知随机变量 X 服从正态分布 N ,若 P ? X ? 3 ? ?
(A)4 (2) “ x> (B)3 (C)2 (D) 3

1 ,则 a ? 2

y ”是的“ lgx ? lgy ”的
(B)必要但不充分条件 (D)即不充分也不必要条件

(A)充分但不必要条件 (C)充分条件 (3)已知 i 是虚数单位,复数

1? i ? 2?i 3 1 ? i 5 5 1 3 (D) ? i 5 5
(B)

1 3 ? i 5 5 1 2 (C) ? i 3 3
(A)
2

x y2 ? ? 1 的焦点相同,如果 y ? ? 2x 是双曲线 S 的一条渐进 (4)已知双曲线 S 与锥圆 25 16
线,那么双曲线 S 的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 25 16
(C)

x2 y 2 ? ?1 (B) 16 25
(D)

x2 y 2 ? ?1 3 6

x2 y 2 ? ?1 6 3

(5)已知球 O 的表面积为 25? ,长方体的八个顶点都在球 O 的球面上,则这个长方体的表

面积的最大值等于 (A)50 (B)100 (C)50 ? (D)100 ? (6)如果执行如果所示的程序框图,那么输出的结果 a ? (A)119 (B)135 (C)127 (D)101 (7)如果一个圆台的正视图是上底等于 2,下底等于 4,高等 的等腰梯形,那么这个圆台的侧面积等于 (A)6 (B) 6? (C) 3 5
3

开始

a ?1 a ? 2a ? 1


于2

a ? 100?


(D) 3 5?

2 3 (8)已知 ? 2 x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x , 则 a0 ? a2 ?

输出 a

(A)-13 (C)10

(B)-10 (D)13

( 9 ) 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a 设 1? a 3 ? 30, S 4 ? 120,

结束

bn ? 1 ? log3 an ,那么数列 ?bn ? 的前 15 项和为
(A)152 (C)80 (10) 已知椭圆 E : (B)135 (D)16

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 与直线 y ? b 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点, a 2 b2

如果 ?AOB 是等边三角形,那么椭圆 E 的离心率等于 (A)

3 6 3 3

(B)

3 4 3 2
2

(C)

(D)

x (11)已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e

?3 x ? 4

的象在点 ? ?1,1? 处的切线方程为

(A) x ? y ? 0 (C) 5x ? y ? 6 ? 0

(B) x ? y ? 2 ? 0 (D) 5 x ? y ? 4 ? 0

?x ? 0 y?4 ? (12)已知 x、 y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 的取值范围是 x ? 2 ?2 x ? y ? 4 ?
(A) ?1, 4? (C) ? ?1, 4? (B) ?1, 2? (D) ? ?1, 2?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 本卷共 3 页,10 小题,用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二.填空题:本大題共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. (13)春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 y (单位:万元)与当天的平 均气温 x (单位:℃)有关.现收集了春节期间这个销售公司 4 天的 x 与 y 的数据列 于下表: 平均气温(℃) 销售额(万元) -2 20 -3 23 -5 27 -6 30
? ? ?

根据以上数据, 用线性回归的方法, 求得 y 与 x 之间的线性回归方程 y ? b x ? a 的系 数b ? ?
?
? 12 ,则 a ? 5

.

(14)已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 么b ? ( 15 )函数 f ? x ? ? 于 .

? ,如果 a ? 2b . 2a ? 3b ? ?137 , a ? 2 ,那 3

?

??

?

sin x cos 2 x ? sin x cos 2 x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等 2
.

( 16 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 如 果 S1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n ? 1 , 那 么

Sn ?

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c , cos A ?

10 , 10

a sin A ? b sinB? csinC ?

2 5 a sin B . 5

(I)求 B 的值; (Ⅱ)设 b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S . (18) (本小题满分 12 分) 已知盒子里装有除颜色外,其它方面完全相同的 6 个小球.在这 6 个小球中,有 2 个 红球,4 个白球,为了判断哪两个小球是红球,现在从盒子里随机抽取小球.规定:每次从盒

子里随机取出一个小球进行颜色识别, 取出的小球一律不再放回盒子, 一旦能判断哪两个小 球是红球就停止抽取活动,设 X 表示能判断哪两个小球是红球需要抽取小球的次数. (Ⅰ)求 X ? 2 或 X ? 4 的概率 P ; (Ⅱ)求 X 的分布列和数学期望. (19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,底面 ABC 边长为 4 的正三角形, PA ? PC ? 2 3 , 侧面 PAC ? 底面 ABC , M 、N 分别为 AB、PB 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求二面角 N ? CM ? B 的余弦值.

P

C

N

A

M

B

(20) (本小题满分 12 分)

1 的直线经过点 P ? a,0? , 与抛物线 C 交于 2 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 D .
已知抛物线 C 的方程为 y ? 4 x , 斜率为
2

(Ⅰ)当 a ? 12 时,求证:以 AB 为直径的圆与直线 y ? 2 x ? 4 相切; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使 ?ABD 是直角三角形?若存在,求 a 的值;若不存在,请 说明理由. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ?1,函数 F ? x ? ? a ? 1 ?
2

a . 1? x

(Ⅰ)如果 f ? x ? 在 ?3,5? 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 2, x ? 0 且 x ? 1 时,比较

f ? x? 与 F ? x ? 的大小. x ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 C ?A B ,CO 与 O 已知: 如图,AB 是 O 的直径,AC 与 O 相切于点 A , 且A 相交于点 P , CO 的延长线与 O 相交于点 F , BP 的延长线与 AC 相交于点 E .

AP FA ? ; PC AB (Ⅱ)设 AB ? 2 ,求 tan ?CPE 的值.
(Ⅰ)求证:

B F O P E C

A

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴正 y ? 3sin ? ? ?

半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 1. 6?

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是曲线 C 上的点,求 M 到直线 l 的距离的最大值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 1 ? x .
2

(Ⅰ)设 x1、x2 都是实数,且 x1 ? x2 ,求证: | f ? x2 ? ? f ? x1 ? |?| x2 ? x1 | ; (Ⅱ)设 a、 b 都是实数,且 a ? b ?
2 2

1 ,求证: f ? a ? ? f ? b ? ? 5 . 2

2014 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题 (1) B (2) B (3)D (4)C (5) A (6) C (7) D (8)A (9)B (10)C (11)D (12)A 二、填空题

77 (13) ; 5
三、解答题 17 题: 【解析】 解: (Ⅰ)

(14) 5 ;

? (15) ; 6

3n ?1 ? 2n ? 3 (16) ; 4

a sin A ? b sin B ? c sinC ? 2 5 ab . 5

2 5 a sin B , 5

? a 2 ? b2 ? c 2 ?

? cos C ?


a 2 ? b2 ? c 2 5 . ? 2ab 5

A、B、C 是 ?ABC 的内角,

? sin A ?

3 10 2 5 ,sin C ? . 10 5

????????????2 分

cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ?

10 5 3 10 2 5 2 ? ? ? ?? , 10 5 10 5 2

????????????????????????4 分 又 A、B、C 是 ?ABC 的内角, ?0 ? A?C ?? ,

? A?C ?

3? . 4

? B ? ? ?? A?C? ?

?
4

. ???????????6 分

c b ? , sin C sin B b ? sin C ? 4 10 . ?c ? sin B
(Ⅱ)

1 1 3 10 ? 60 . ??????12 分 ? ?ABC 的面积 S ? ab sin A ? ?10 ? 4 10 ? 2 2 10
18 题: 【解析】
2 A2 1 解: (Ⅰ) X ? 2 表示两次取出的都是红球,根据题意得 P ? X ? 2 ? ? 2 ? ; ??2 分 A6 15

X ? 4 有两种情况:
(1)前三次取出两个白球和一个红球,第四次取出的是红球,设概率为 P 1 ,则 根据题意得 P 1 ?
2 1 3 1 C4 C2 A3 C1 1 ? ; 4 A6 5

4 A4 1 (2)四次取出的都是白球,设概率为 P ? ; 2 ,则根据题意得 P 2 ? 4 A6 15

? X ? 4 的概率 P ? X ? 4 ? ? P 1?P 2 ?

4 ; ??????4 分 15
??????6 分

1 ? X ? 2 或 X ? 4 的概率 P ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 4 ? ? . 3

(Ⅱ) X 的值只能有以下四种情况: X ? 2, X ? 3, X ? 4, X ? 5 .
1 1 2 1 C4 C2 A2 C1 2 1 4 根据题意得 P ? X ? 2 ? ? , P ? X ? 3? ? ? , P ? X ? 4? ? , 3 15 A6 15 15

X ? 5 表示:前四次取出三个白球和一个红球,第五次取出的是红球或白球,

P ? X ? 5? ?

3 1 4 1 2C4 C2 A4 C1 8 ? . 5 A6 15

? X 的分布列为:
X
P
2 3 4 5

1 15

2 15

4 15

8 15

??????????????????????????10 分

X 的数学期望为: 2 6 16 40 64 EX ? ? ? ? ? . 15 15 15 15 15

?????????????????????12 分

19 题: 【解析】 (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O,连结 OP,OB ∵PA=PC,AB=CB, ∴AC⊥PO,AC⊥OB. 又∵平面 PAC⊥平面 ABC, 且 AC 是平面 PAC 与平面 ABC 的交线, ∴PO⊥平面 ABC.??????2 分 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz, 由已知得 A (2,0,0) ,B (0,2 3,0)

z P

C O A

N

C (?2,0,0) ,P (0,0,2 2) ,M (1, 3,0) , N (0, 3, 2)

x

M

B

y

∴ AC ? (?4,0,0) , PB ? (0,2 3, ?2 2) ??????4 分 ∴ AC ? PB ? 0 ∴ AC ? PB

所以 AC⊥PB??????6 分 (Ⅱ)解:CM ? (3, 3,0) ,MN ? (?1,0, 2) ,设 n ? (x,y,z) 为平面 CMN 的一个法向量, 则?

? ?CM ? n ? 3x ? 3 y ? 0 ? ?MN ? n ? ? x ? 2 z ? 0

,取 z ? 1 ,得 x ? 2, y ? ? 6 .

∴ n ? ( 2, ? 6,1) 为平面 CMN 的一个法向量.??????9 分 又∵ OP ? (0,0,2 2) 为平面 ABC 的一个法向量,设二面角 N-CM-B 的大小等于 ? ,

由已知得二面角 N-CM-B 是锐角,∴ cos ? ?

n ? OP

1 ? . 3 n OP

∴二面角 N-CM-B 的余弦值等于

1 ??????12 分 3

20 题: 【解析】 (Ⅰ)证明:斜率为

1 1 ,经过点 P (a,0) 的直线方程为 y ? ( x ? a ) . 2 2

1 ? ? y ? ( x ? a) 2 由? ,得 y ? 8 y ? 4a ? 0 . 2 ? y2 ? 4x ?

根据已知得 ? ? 64 ? 16a ? 0 ,解得 a ? ?4 .??????2 分 设 A(2 y1 ? a, y1 ) , B(2 y2 ? a, y2 ) ,线段 AB 的中点为 M,则 ? ∴

? y1 ? y2 ? 8 . ? y1 y2 ? ?4a

2 y1 ? a ? 2 y2 ? a y ?y ? ( y1 ? y2 ) ? a ? 8 ? a , 1 2 ? 4 , M (8 ? a,4) , 2 2

AB ? 5 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 5(4 ? a) ??????4 分.
当 a ? 12 时, AB ? 4 5(4 ? a) ? 16 5 ,线段 AB 的中点 M (20, 4) 到直线 y ? 2 x ? 4 的距 离

d?

AB 40 .∴ a ? 12 时,以 AB 为直径的圆与直线 y ? 2 x ? 4 相切.???6 分 ?8 5 ? 2 5
1 , 2

(Ⅱ)解:存在实数 a ,使△ABD 是直角三角形??????7 分 ∵线段 AB 的中点为 M (8 ? a,4) ,直线 AB 的斜率为

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 4 ? ?2( x ? a ? 8) . 当 y ? 0 时, x ? 10 ? a . ∵线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 D, ∴ D(10 ? a,0) , AD ? BD . ∴△ABD 是直角三角形 ? ?ADB ?

?
2

? DA⊥DB??????10 分

由 DA ? (2 y1 ?10, y1) , DB ? (2 y2 ?10, y2 ) , DA ? DB ? 0 得:

y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 20 ? 0 .
∵?

? y1 ? y2 ? 8 , ? y1 y2 ? ?4a

∴ ?4a ? 32 ? 20 ? 0 ,解得 a ? ?3 .

∵ ?3 ? ?4 , ∴当 a ? ?3 时,△ABD 是直角三角形.??????12 分 21 题: 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? a ln x ?1 在 [3,5] 上是单调递增函数,
2

∴ f ?( x) ? 2 x ?
2

a ? 0 在 [3,5] 上恒成立,??????2 分 x

∴ a ? 2 x 在 [3,5] 上的最小值为 18, ∴ a ? 18

∴所求的 a 的取值范围为 (?? ,18] .??????6 分 (Ⅱ)当 a ? 2 时,

f ( x) x 2 ? 2ln x ? 1 ? , x ? 0 且 x ? 1, x ?1 x ?1

F ( x) ? a ? 1 ?

a 2 ,x ?0. ? 1? 1? x 1? x

∴当 a ? 2 , x ? 0 且 x ? 1 时,

f ( x) x 2 ? 2ln x ? x ? 2 x ? 2 ??????????????8 分 ? F ( x) ? x ?1 x ?1
设 h( x) ? x2 ? 2ln x ? x ? 2 x ? 2 ,则 h( x) 的定义域为 x ? 0 ,

2 1 ( x ? 1)(2 x x ? 2 x ? x ? 2) . h?( x) ? 2 x ? ? 1 ? ? x x x
∴当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,此时, h( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,此时, h( x) 单调递增. ∴当 x ? 0 且 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 .????????????10 分

h( x ) ?0 x ?1 h( x ) ? 0. 又∵当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,所以当 x ? 1 , x ?1 f ( x) ? F ( x) ; ∴当 a ? 2 , 0 ? x ? 1 时, x ?1 f ( x) ? F ( x) ????????????????12 分 当 a ? 2 , 1 ? x 时, x ?1
当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,∴当 0 ? x ? 1 时, 22 题: 【解析】 (Ⅰ)证明: 又

AC 与 O 相切于点 A , PA 为 O 的弦,

? ?PAC ? ?F .
?C ? ?C , ? ?APC ∽ ?FAC .???3 分 AP PC ? . ? FA AC AP FA ? . ? PC AC AB ? AC ,

B F O P E C

A

?

AP FA ? . PC AB

???????????5 分

(Ⅱ)解:

AC 与 O 相切于点 A , CPF 为 O 的切线,

? AC2 ? CP ? CF ? CP ? ?CP ? PF ? .
PF ? AB ? AC ? 2 ,

? CP ? ?CP ? 2? ? 4 ,即 CP2 ? 2CP ? 4 ? 0 .
解得 CP ? ?1 ? 5 .

CP ? 0 ,? CP ? 5 ?1 .
根据已知得 ?FAP 是以 FP 为斜边的直角三角形. 由(Ⅰ)知:

AP FA ? , AB ? 2 . PC AB

?

AP PC ? . FA AB

? tan ?F ?


AP PC 5 ?1 . ???????????8 分 ? ? FA AB 2

O 中,直径 AB 与直径 FP 相交于点 O , ? OA ? OF . ? ?OAF ? ?F . 又 ?B ? ?F , ? ?OAF ? ?B . ? FA / / BE . ? ?CPE ? ?F .

? tan ?CPE ? tan ?F ?
23 题: 【解析】 解: (Ⅰ)

5 ?1 . ???????????10 分 2

? ? x ? 3 cos ? , ? ? ? y ? 3sin ?

?

x2 y 2 ? ? 1. 3 9 x2 y 2 ? ? 1. 3 9
???????????3 分

?曲线 C 的直角坐标方程为

(Ⅱ)

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? ? ? 1 ,? ? cos ? cos 6 ? ? sin ? sin 6 ? 1 . 6?
3 y x ? ? 1 ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . ????????6 分 2 2

?直线 l 的直角坐标方程为
设M

?

3 cos ? ,3sin ? , M 到直线 l 的距离为 d ,则

?

?? ? 3 2 cos ? ? ? ? ? 2 3cos ? ? 3sin ? ? 2 ?4 ? , d? ? 2 2
当 3 2 cos ?

3 2 ?2 ?? ? . ? ? ? ? ?3 2 时, d 的最大值为 2 ?4 ? 3 2 ?2 . ???????????10 分 2

?M

到直线 l 的距离的最大值等于

24 题: 【解析】 证明: (Ⅰ)

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?

x1 ? x2 x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

, ???????????2 分



2 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? x1 ? x2 , 1 ? x12 ? 1 ? x2

?


x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

? 1.

x1 ? x2 ,
???????????5 分
2

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? x1 .
(Ⅱ)

2 2 2 2 ? ?1? f ? a ? ? 1? f ? b ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ? ? f ? a ? ? f ?b ?? ?, 2

即? ? f ? a ? ? f ? b ?? ? ? 2 a ?b ?2 ,
2 2

?

?



f ? x ? ? x2 ? 1 ? 0 , a 2 ? b2 ?

1 , 2

? f ? a ? ? f ?b? ? 5 .

???????????10 分

请注意:以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考,其他请参考评分标准酌情给分.


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