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4.1.1圆的标准方程教学设计


4.1.1

圆的标准方程

【教学目标】 1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的 标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题. 2. 通过圆的标准方程的推导, 培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问 题的能力. 3.通过圆的标准方程,解决一些如圆拱桥的实际问题,说明理论既来源于实践,又服 务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育. 【教学重难点】
[来源: ]

教学重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程. 教学难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 【教学过程】 一、情景导入、展示目标 前面,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?

1:具有什么性质的点的轨迹称为圆?
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆). 2:图中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的 什么特点?

圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径 分别确定了圆的位置和大小. 二、预习展示 展示一 探究圆的标准方程 1.类比直线方程的求法,你能得到圆心坐标为 A (a,b),半径为 r(r>0)的圆的方程吗? ①.建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两 种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为 C 是定 点,可设 C(a,b)、半径 r,且设圆上任一点 M 坐标为(x,y). ②.写点集

根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r}. ③.列方程

由两点间的距离公式得: ④.化简方程
2 2

将上式两边平方得: (x-a) +(y-b)

=r 2

(1)

方程(1)就是圆心是 C(a,b)、半径是 r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程. 2.圆心在坐标原点,半径为 r(r>0)的圆的标准方程呢?
2 2

(x-a) +(y-b)

=r 2 ,点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点
2 2 2

即 C(0,0)时,方程为 x +y =r . 教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要 a,b, r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立 的条件.注意,确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 练习:(直接叫学生回答) 1.说出下列圆的标准方程 (1) 圆心在原点,半径为 3. (2) 圆心在点 C(3, -4), 半径为 7. (3)经过点 P (5,1),圆心在点 C(8,-3). 2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径: (1) ( x ? 7) ? ( y ? 4) ? 36
2 2

(2) ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? (?3)
2 2 2 2 2

2

(3) ( x ? a) ? y ? m (m ? 0) 展示二 探究平面中点与圆的位置关系

问题: 已知两点 P ( ( 1 3,8)和 P 2 5,4),求以线段PP 1 2为直径的圆的方程,并判断 点M (5,3),N(3,4),P(3,5)是在此圆上,在圆内,还是在圆外?
解:由题意圆的直径 P 1P 2 ? 圆心 C 坐标为(

(5 ? 3) 2 ? (4 ? 8) 2 ? 2 5

?r ? 5

3?5 8? 4 , )即(4,6) 2 2

圆的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 6)2 ? 5 又 CM ?

(4 ? 5) 2 ? (6 ? 3) 2 ? 10 ? 5

CN ? (4 ? 3) 2 ? (6 ? 4) 2 ? 5 CP ? (4 ? 3) 2 ? (6 ? 5) 2 ? 2 ? 5
所以,点 M 在圆外,点 N 在圆上,点 P 在圆内。 总结: 平面上任一点 M ( x0 , y0 ) 与圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 有几种不同的位置关系?如
2 2 2

何确定? 设点 M 到圆心的距离为 d ,圆半径为 r:

d

=r

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 M ( x0 , y0 ) 在圆上; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 M ( x0 , y0 ) 在圆内; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 M ( x0 , y0 ) 在圆外。

d <r d >r

三、讨论交流 (学生先思考,然后小组合作讨论,再展示成果,学生自评后,教师点拨。 ) 1. △ ABC 的三个顶点的坐标分别 A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的标准方程.

2. 己知圆 C 经过点 A (1,1) 和 B (2,-2 ), 且圆心在直线 l :x-y+1= 0 上,求圆 C 的标准方 程.

四、课堂小结(学生以抢答的形式进行,每个同学总结一小点) 1.圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (圆心 C(a,b),半径 r)
2 2 2

2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法

②几何性质法

五、课堂检测 1.圆心在 P(?1, 2) ,半径长是 2 的圆的标准方程是 ;

2.圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 5)2 ? 3 的圆心为

,半径为

3.若圆 ( x+1)2 ? ( y+3)2 ? 9 上存在两点关于直线 mx ? 2 y ? 4 ? 0 对称, 则m =



4.圆心为 C (6,5) ,且过点 B(3, 6) 的圆的标准方程为



5.已知圆的圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上,且该圆在 y 轴上的截距分别为 -4 和-2,求 圆的标准方程.

2 2 *(附加)6.已知点 P ( x, y ) 在圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 36 上,求 ( x ? 1) ? ( y ? 2) 的值的

范围.



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