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北京邮电大学附中2013届高考数学第一轮复习单元训练 导数及其应用 含答案


北京邮电大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1. .曲线 y ? 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为( ) x A. 4 ? 2 ln 2 B. 2 ? ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 2 ln 2

【答案】A 2.若在曲线

f ( x, y) ? 0(或y ? f ( x)) 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,
2 2 2

y) =0(或 y=f(x))的“自公切线” .下列方程:①x —y =1;②y= x —|x|;③y=3 sinx+4cosx; ④|x|+1= 4 ? y 对应的曲线中存在“自公切线”的有(
2

) D.②④

A.①③ 【答案】C 3.已知 b>a,下列值: A.| B. C. D.

B.①④

C.②③

?
b a

b

a

f ( x)dx , ? | f ( x) | dx ,| ? f ( x)dx |的大小关系为
a a b a

b

b

?
b a

b

a

f ( x)dx |≥ ? | f ( x) | dx ≥ ? f ( x)dx
b a b

? | f ( x) | dx ≥| ? ? | f ( x) | dx = | ?
a b

f ( x)dx |≥ ? f ( x)dx
a

b

a b

f ( x)dx |= ? f ( x)dx
a

b

? | f ( x) | dx = | ?
a

b

a

f ( x)dx |≥ ? f ( x)dx
a

b

【答案】B x -x 4.设 a∈R,函数 f(x)=e +a·e 的导函数 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一 3 条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为( ) 2 ln2 ln2 A.- B.-ln2 C. D.ln2 2 2 【答案】D 5.函数

f ( x) 满足 f (0) ? 0 ,其导函数 f '( x) 的图象如下图,则 f ( x) 的图象与轴所围成的封
)

闭图形的面积为(

A.

1 3

B.

4 3

C.2

D.

8 3

【答案】B

1

6.设函数 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 的非负可导的函数,且满足 xf 数 a , b ,若 a ? b ,则必有( )

/

( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意的正

A. af (b) ? bf (a) B. bf (a) ? af (b) C. af (a) ? f (b) 【答案】A 7.

D. bf (b) ? f (a)

?

2 1

1 1 1 ( ? 2 ? 3 )dx ? ( x x x
7 8
B.

)

A. ln 2 ? 【答案】D 8.已知 A.

ln 2 ?

7 8

C.

ln 2 ?

5 4

D.

ln 2 ?

1 8

f (a) ? ?1 (2ax2 ? a2 x)dx ,则 f (a ) 的最大值是( 0
2 3
B.

) D.

2 9

C.

4 3

4 9

【答案】B 9.将函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭的平面 图形的面积是( A.4 【答案】D 10.设函数 f(x)=ax +b(a≠0) ,若 A.±1 【答案】C B. 2 )
2

) B.8 C. 2π D. 4π

?

3 0

f(x)dx=3f(x0) ,则 x0=(
C.± 3 D.2

)

11.如下图,阴影部分面积为 (

A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a c

c

b

C. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a c

c

b

D. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

【答案】B

2

12.已知函数 f ( x) ?

2 9 x( x 2 ? 3ax ? ) (a ? R) ,若函数 f (x) 的图像上点 P(1,m)处的切 3 2
) C.-

线方程为 3x ? y ? b ? 0 ,则 m 的值为( A.

1 3

B.

1 2

1 3

D.-

1 2

【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 已知函数 数是 【答案】 201 14.

f ? x? ?

sin ? x . 方程 f ( x) ? 0 在区间 [?100,100] 上实数解的个 ? x ? 1?? x2 ? 2x ? 2?
2



?

?
2 0

sin 2

x dx = 2
1 2

.

【答案】

?
4

?

15.求曲线 y ? ? x 3 ? x 2 ? 2x 与轴所围成的图形的面积为



37 12 【答案】
16.由曲线 y ? 【答案】

1 与 y=x,x=4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 x



1 ? ln 4 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 ⑴求函数

f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 3x ? a, b ? R ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .

f ? x ? 的解析式;

⑵若对于区间 值; ⑶若过点 M 【答案】⑴

??2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数 c

的最小

? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 3 .
? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ?b ? 0 ? f ? ?1? ? 0, ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?

根据题意,得 ?

所以

f ? x ? ? x3 ? 3x .

3

⑵令

f ? ? x ? ? 0 ,即 3x 2 ? 3 ? 0 .得 x ? ?1 .

因为

f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ?2 ,

所以当 x ?

??2, 2? 时, f ? x ?max ? 2 , f ? x?min ? ?2 . ??2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

则对于区间

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4 ,所以 c ? 4 .
所以的最小值为 4. ⑶因为点 M 则

? 2, m?? m ? 2? 不在曲线 y ? f ? x? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? .

3 y0 ? x0 ? 3x0 .

因为

2 2 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3,所以切线的斜率为 3x0 ? 3 .

3 x0 ? 3x0 ? m 则 3x ? 3 = , x0 ? 2
2 0

即 2 x0

3

2 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 .

因为过点 M

? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x? 的三条切线,
3 2 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.

所以方程 2 x0 所以函数 g 则 g?

? x? ? 2x3 ? 6x2 ? 6 ? m 有三个不同的零点.

? x ? ? 6x2 ?12x .令 g? ? x? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .

4

则?

? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ,即 ? ,解得 ?6 ? m ? 2 . ??2 ? m ? 0 ? g ? 2? ? 2 ?
1 2 ,问: (1)要使平均成本最 x (元) 40

18.已知某工厂生产件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ? 低,应生产多少件产品?

(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? 【答案】 (1)设平均成本为 y 元,则 y ? [ y? ?

25000 ? 200 x ? x

1 2 x 40 ? 25000 ? 200 ? x , x 40

?25000 1 ? ,令 y ? ? 0 得 x ? 1000 .当在 x ? 1000 附近左侧时 y ? ? 0 ; x2 40 因此,要使平均成本最低,应生产 1000 件产品.
? x2 ? x2 x (2)利润函数为 S ? 500 x ? ? 25000 ? 200 x ? , S ? ? 300 ? , ? ? 300 x ? 25000 ? 40 ? 40 20 ?
令 S ? ? 0 ,得 x ? 6000 ,因此,要使利润最大,应生产 6000 件产品. 19.定义函数 F ( x, y) ? (1 ? x)
y
3 (1)令函数 f ( x ) ? F ?1, log 2 x ? 3 x ? 的图象为曲线 C1 求与直线 4 x ? 15y ? 3 ? 0 垂直的

?

?

, x, y ? ? 0, ??? .

??

曲线 C1 的切线方程;

3 2 (2)令函数 g( x ) ? F ?1, log 2 x ? ax ? bx ? 1 ? 的图象为曲线 C 2 ,若存在实数 b 使得曲线

?

?

??

在 x0 x0 ? ? 1, 4 ? 处有斜率为 ?8 的切线,求实数 a 的取值范围; (3)当 x , y ? N * ,且 x ? y 时,证明 F 【答案】 (1)
3

C2

?

?

? x, y ? ? F ? y, x ? .

f ( x) ? F 1, log2 ( x 3 ? 3x) ? (1 ? 1) log2 ( x ?3x) ? x 3 ? 3x
3

?

?



15 3 , f ? ? x? ? 0 , x ? ? 由 得 4 2 3 ? 3? 9 ? 3 9? ? x 3 ? 3x ? 1 ,? x ? ? .又 f ? ? ? ? ,切点为 ? ? , ? . 2 ? 2? 8 ? 2 8? 9 15 ? 3? 存在与直线 4 x ? 15y ? 3 ? 0 垂直的切线,其方程为 y ? ? ? x ? ? ,即 8 4? 2? 15x ? 4 y ? 27 ? 0
由 log2 ( x 得 ? 3x) ? 0 , x 3 ? 3x ? 1 . 又 f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 ? (2) g ( x) ? F 1, log2 ( x 由 log2 ( x
3 2

?

3

? ax2 ? bx ? 1) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 1.
3

?

? ax ? bx ? 1) ? 0 ,得 x ? ax2 ? bx ? 0 . 2 2 由 g ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? ?8 ,得 b ? ?3x ? 2ax ? 8 . x 3 ? ax2 ? bx ? x 3 ? ax2 ? x(?3x 2 ? 2ax ? 8) ? ?2x 3 ? ax2 ? 8x ? 0 在 x ? (1,4) 上有解. 8 ? 2 x 2 ? ax ? 8 ? 0 在 x ? ?1, 4? 上有解得 a ? ?2 x ? 在 x ? ?1, 4? 上有解, x
8? ? 8 4 4 ? a ? ? ?2 x ? ? , x ? ?1, 4 ? . 而 ? 2 x ? ? ?2( x ? ) ? ?4 x ? ? ?8 , x ?max x x x ?
5

当且仅当 x ? 2 时取等号, ? a ? ?8 . (3)证明: F ( x, y) ? F ( y, x)
?

? (1 ? x) y ? (1 ? y) x ? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y)

ln(1 ? x) ln(1 ? y) ? ? x, y ? N*, x ? y ? . x y

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? 1 ? x , x x2
当 x ? 2 时,∵

x ? 1 ? ln ?1 ? x ? ,∴ h?( x) ? 0 , h(x) 单调递减, 1? x 1 ln 3 ? h ? 2 ? , 2

当 2 ? x ? y 时, h( x) ? h( y) . 又当 x ? 1且y ? 2 时, h ?1? ? ln 2 ? 当 x, y ? N * .且 x ? y 时, h( x) ? h( y) ,即 F ( x, y) ? F ( y, x) . 20.计算下列定积分的值 (1)

?
?

3

?1

(4 x ? x 2 )dx ;(2) ? ( x ? 1) 5 dx ;
1
2 ( x ? sin x)dx ; (4) ? 2 cos xdx ? ? 2

2

?

?

(3)

2 0

【答案】 (1)

(2)

(3)

(4)

6

21. .计算下列定积分 (1) ? 2 (3 x 2
0

?

? sin x)dx
?3
8 ?1
(2)

(2)

?

3

?3

9 ? x 2 dx

【答案】(1)

9? 2

22.某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务部 门上交元(为常数,2≤a≤5 )的税收。设每件产品的售价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调 查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为 40 元时,日 销售量为 10 件。 (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值。
x

k k 10e40 , 则 40 ? 10,? k ? 10e40 , 则日售量为 x 件. ex e e 40 10e x ? 30 ? a ? 10e40 则日利润 L( x) ? ( x ? 30 ? a) x e ex ' 40 31 ? a ? x (2) L ( x) ? 10e ex ' ①当 2≤a≤4 时,33≤a+31≤35,当 35 <x<41 时, L ( x) ? 0
【答案】 (1)设日销售量为 ∴当 x=35 时,L(x)取最大值为 10(5 ? a)e
' 5

②当 4<a≤5 时,35≤a+31≤36, 令L ( x) ? 0, 得x ? a ? 31, 易知当 x=a+31 时,L(x)取最大值为 10e 综合上得 L( x) max ? ?
9? a

?10(5 ? a)e5 , (2 ? a ? 4) ? 9? a ?10e , (4 ? a ? 5) ?

7


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