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江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题1


2016 年数学全真模拟试卷一
试题Ⅰ

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 已知集合 A ? ?x x≥0? , B ? ?x x ? 1? ,则 A ? B= ▲ . 【答案】 R 2. 某公司生产三种型号 A,B,C 的轿车,产量分别为 1200 辆

,6000 辆,2000 辆.为检验 该公司 的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验, 则型号 A 的轿车应抽取 ▲ 【答案】6
1) ,则实数 p 的值 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点坐标为 (0,

辆.

为 ▲ . 【答案】2

?, ?, ?, ?, ?? , ?? , ?? , 4. 已知集合 A ? 0, ? .现从集合 A 中随机选取一个元素,则 ? ? ? ? ? ? ?
该元素的 余弦值为正数的概率为 ▲ 【答案】 4 9 5. 如图,是一个算法的程序框图,当输出的 y 值为 2 时,若将输入的 x 的所有可能值按从 小到大的顺序排列得到一个数列 ?an ? ,则该数列的通项公式为 an ? 【答案】 an ? 3n ? 4 6. 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因 记为 D,决定矮的基因记为 d,则杂交所得第一子代的一对基 因为 Dd,若第二子代的 D,d 的基因遗传是等可能的(只要有 基因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显示矮茎) , 则第二子代为高茎的概率为 【答案】 3 4 ▲ .
x≤0

?

?



▲ . 开始 输入 x N
x ? x?3

y? 1 2

??

Y

x

输出 y 结束
(第 5 题) 1

2) , a ? 1 b ? (?2, 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a ? (1, 1) ,则 a ? b ? 5





【答案】25 8. 已知 x,y 为正实数,满足 2 x+y ? 6 ? xy ,则 xy 的最小值为 ▲ . 【答案】18 9. 如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 36,点 E , F 分别为棱 B1 B , C1C 上的点(异于端点) ,且 EF // BC ,则四 棱锥 A1 ? AEFD 的体积为 ▲ . 【答案】12
A1
D1 C1

B1

F D
A
(第 9 题)

E B

C

10. 设定义在区间 ? ?? 是偶函数, 则函数 f ( x) , ?? 的函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 0 ? ? ? ? ) 的单调 减区间为 ▲ .
?? 【答案】 (0, ?? . 【解析】依题意, ? ? ? ,则 f ( x) ? cos ?x 的减区间为 (0, ?

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2a ? 1)2 ? 2 (?1≤a≤1) ,直线 l :
y ? x?b (b ? R ) .若动圆 C 总在直线 l 的下方且它们至多有 1 个交点,则实数 b 的最小值是

▲ . 【答案】2
1 ? 2a) (?1≤a≤ 1) 的轨迹为线段 y ? 1 ? 2 x (?1≤x≤1) , 【解析】依题意,圆心 C (a,

当且仅当 a ? ?1 ,且

a ? (1 ? 2a ) ? b 2

? 2 时,实数 b 的最小,此时 b ? 2 .

12. 如图, 三次函数 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的零点为 ?1, 1, 2 , 则该函数的单调减区间为 【答案】 2 ? 7 , 2 ? 7 3 3

▲ .

?

? ?
?1

y

【解析】设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2) ,其中 a ? 0 ,令
f ?( x) ? 0 得 2 ? 7 ? x ? 2 ? 7 , 所以该函数的 3 3

单调减区间为 2 ? 7 , 2 ? 7 ; 3 3

?

O

1

2

x

(第 12 题)

2

???? ??? ? 13.如图,点 O 为△ ABC 的重心,且 OA ? OB , AB ? 6 ,则 AC ? BC 的值为 ▲ .

【答案】72 【解析】以 AB 的中点 M 为坐标原点,AB 为 x 轴建立 平面直角坐标系,则 A ? ?3, 0? ,

C

y B ?3 , 0? , 设 C ( x ,y ) ,则 O x , , 3 3
???? ??? ? 因为 OA ? OB,所以 AO ? BO ? 0 ,
y 从而 x ? 3 ? x ? 3 ? 3 3 3

?

?

O A B

(第 13 题)

? ? ? ? ? ? ? 0,
2

y C

化简得, x 2 ? y 2 ? 81 ,

??? ? ??? ? 所以 AC ? BC ? (x ? 3)(x ? 3) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 9 ? 72 .
b 均为非零常数,给出如下三个条件: 14.设 k ,

O B

A ① {an } 与 {kan ? b} 均为等比数列; ② {an } 为等差数列, {kan ? b} 为等比数列; ③ {an } 为等比数列, {kan ? b} 为等差数列, 其中一定能推导出数列 {an } 为常数列的是 【答案】①②③ 【解析】①易得 ?k ? xn ? b? ? ?k ? xn?1 ? b??k ? xn?1 ? b? ,
2

M

x



. (填上所有满足要求的条件的序号)

即 k 2 xn 2 ? 2kbxn ? b2 ? k 2 xn?1xn?1 ? kb( xn?1 ? xn?1 ) ? b2 , 因为 xn 2 ? xn?1xn?1 ,且 kb ? 0 ,所以 2 xn ? xn?1 ? xn?1 ,即证; ②由①知 k 2 xn 2 ? 2kbxn ? b2 ? k 2 xn?1xn?1 ? kb( xn?1 ? xn?1 ) ? b2 , 因为 2 xn ? xn?1 ? xn?1 ,所以 xn 2 ? xn?1xn?1 ,即证; ③易得 2 ? k ? xn ? b? ? ? k ? xn?1 ? b? ? ?k ? xn?1 ? b ? ,且 k ? 0 , 故 2 xn ? xn?1 ? xn?1 ,又 xn 2 ? xn?1xn?1 ,即证. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证
3

明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知 ? ? 0 ,π , ? ? π ,π , cos ? ? ? 1 , sin ?? ? ? ? ? 7 . 3 9 2 2 (1)求 tan

? ?
?
2

?

?

的值;

(2)求 sin ? 的值.

解: (1)因为 cos ? ? cos

2

?
2

? sin

2

?
2

?

cos 2 cos 2

? ?
2 2

? sin 2 ? sin 2

? ?
2 ? 2

2 ,且 cos ? ? ? 1 , 3 1 ? tan 2 2

1 ? tan 2

? ?

所以

2 ? ? 1 ,解得 tan 2 ? ? 2 , (4 分) 3 2 1 ? tan 2
2

1 ? tan 2

?

?

? ? 因为 ? ? π ,π ,所以 ? π ,π ,从而 tan ? 0 , 2 2 2 4 2
所以 tan

? ?

? ?

?

?

?
2

(6 分) ? 2.

(2)因为 ? ? π ,π , cos ? ? ? 1 , 3 2 所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 3 (8 分) ? ? ? 2 32 , 又 ? ? ? 0 ,π ? ,故 ? ? ? ? ? π ,3π ? , 2 2 2 从而 cos ?? ? ? ? ? ? 1 ? sin ?? ? ? ? ? ? 1 ? ? 7 ? ? ? 4 2 , (10 分) 9 9
2 2 2

所以 sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ?)cos ? ?cos( ? ? ?)sin ? (14 分) ? 7 ? ?1 ? ?4 2 ? 2 2 ? 1 . 9 3 9 3 3

? ? ?

?

16. (本题满分14分) 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 已知 AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点 E 是 AB 的中点. (1)求三棱锥 C ? DD1E 的体积; (2)求证: D1E ? A1D . 【解】 (1)由长方体性质可得, DD1 ? 平面 DEC, A
A1 D1 C1

A
B1

A

A

D

A

C

E
(第 16 题)

B
4

所以 DD1 是三棱锥 D1 ? DCE 的高, 又点 E 是 AB 的中点, AD ? AA1 ? 1 ,

AB=2,所以 DE ? CE ? 2 , DE 2 ? EC 2 ? CD2 , ?DEC ? 90? ,
三棱锥 D1 ? DCE 的体积 V ? 1 DD1 ? 1 DE ? CE ? 1 ;(7 分) 3 2 3 (2)连结 AD1 , 因为 A 1 ADD 1 是正方形,所以 AD1 ? A 1D , 又 AE ? 面 ADD1 A 1, A 1D ? 面 ADD 1A 1, 所以 AE ? A1D , 又 AD1 ? AE ? A , AD1 ,AE ? 平面 AD1 E , 所以 A1D ? 平面 AD1 E ,(12 分) 而 D1E ? 平面 AD1 E , 所以 D1E ? A1D .(14 分)

17. (本题满分 14 分) 请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用) .它的 上部是底 面圆半径为 5m 的圆锥,下部是底面圆半径为 5m 的圆柱,且该仓库的总高度为 5m.经 过预算, 制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为 4 百元/ m 2 ,1 百元/ m 2 ,设圆锥 母线与底 面所成角为 ? ,且 ? ? 0,π ,问当 ? 为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元) 4 最少?并 求出此时圆锥的高度. 解:设该仓库的侧面总造价为 y, 则 y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? tan ? )? ?1 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? 5 ? ? 4 ? cos? ? ?2 ?

? ?

(第 17 题) 5

? 由 y? ? 50π ?
列表:

(6 分) ? 50π 1+ 2 ? sin? , cos?
2sin? ? 1 ? 0 得 sin? ? 1 , ? ? 0, π , 2 4 cos2?

?

?

? ?

所以 ? ? π , (10 分) 6

?
y?

?0,π 4?
-

π 6

,π ?π 6 4?

0 极小值

+


y



所以当 ? ? π 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 5 3 m. (14 分) 6 3

18. (本题满分 16 分) 定义: 如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上, 那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形, 且该 菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 x ? y 2 ? 1 的所有内接菱形构成的集合为 F . 4 y (1)求 F 中菱形的最小的面积; B (2)是否存在定圆与 F 中的菱形都相切?若存在, A 求出定圆的方程;若不存在,说明理由; (3)当菱形的一边经过椭圆的右焦点时,求这条 边所在的直线的方程. 解: (1)如图,设 A( x1, y2 ) , y1 ) , B( x2,
C O
2

x

D

1? (第 题 )? 1 ? 4 ; 4 ?20 2 1? 当菱形 ABCD 的对角线在坐标轴上时,其面积为 2

2? 当菱形 ABCD 的对角线不在坐标轴上时,设直线 AC 的方程为: y ? kx ,①
则直线 BD 的方程为: y ? ? 1 x , k 又椭圆 x ? y 2 ? 1 , 4 由①②得, x12 ?
2



k2 , , y12 ? 42 4k ? 1 4k ? 1

4

2

6

从而 OA2 ? x12 ? y12 ?

4(k 2 ? 1) , 4k 2 ? 1

? 4? ? 1 k 同理可得, OB 2 ? x2 2 ? y2 2 ? ? 4 ?1 k

? ? ? 1??? 4(k ? 1) ? , (3 分) k ?4 ? ? ?1
2 2 2 2

所以菱形 ABCD 的面积为 2 ? OA ? OB ? 8

k 4 ? 2 k 2 ? 1 ? 4 k 4 ? 2k 2 ? 1 4k 4 ? 17 k 2 ? 4 k 4 ? 17 k 2 ? 1 4

9 k2 9 9 4 ? 4 1? ? 4 1? ? 16 ≥4 1 ? 4 2 17 5 2 1 2 1 k ? k ?1 4 k ? 2 ? 17 4 ? 2 k ? 2 ? 17 4 k k

?

?

(当且仅当 k ? ?1 时等号成立), 综上得,菱形 ABCD 的最小面积为 16 ; (6 分) 5 (2)存在定圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 F 中菱形的都相切,设原点到菱形任一边的距离为 d , 5 下证: d ? 2 , 5 证明:由(1)知,当菱形 ABCD 的对角线在坐标轴上时, d ? 2 , 5 当 菱 形
2 2

A B C的 D 对 角 线 不 在 坐 标 轴 上 时 ,

4(k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1) ? 2 2 k ?4 d 2 ? OA2 ? OB 2 ? 4k 2 ? 1 OA ? OB 4(k ? 1) 4(k 2 ? 1) ? 2 4k 2 ? 1 k ?4
? 4(k 2 ? 1) 2 4(k 2 ? 1) 2 ? ? 4 ,即得 d ? 2 , (k 2 ? 1)(k 2 ? 4) ? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 1) (k 2 ? 1)(5k 2 ? 5) 5 5

综上,存在定圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 F 中的菱形都相切; (12 分) 5 (3)设直线 AD 的方程为 y ? t x ? 3 ,即 tx ? y ? 3t ? 0 ,
? 2 , 5 t ?1
2

?

?

0) 到直线 AD 的距离为 则点 O(0,

3t

解得 t ? ? 2 11 , 11 所以直线 AD 的方程为 y ? ? 2 11 x ? 3 . (16 分) 11

?

?

19. (本题满分 16 分)

7

设 a , b , c 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 为 R 上的奇函数,且在区间 ?1 , ? ?? 上单调. (1)求 a , b , c 应满足的条件; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)设 x0≥1, f ( x0 )≥ 1 ,且 f ? f ( x0 )? ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 . 解: (1)因为 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 为 R 上的奇函数, 所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即 ? x3 ? ax 2 ? bx ? c ? ? x3 ? ax 2 ? bx ? c , 变形得, ax 2 ? c ? 0 , 所以 a ? c ? 0 , (2 分) 此时 f ( x) ? x3 ? bx 在区间 ?1 , ? ?? 上单调, 则 f ?( x) ? 3x2 ? b≥0 在区间 ?1 (5 分) , ? ?? 上恒成立,得 b≤3 ; (2) f ?( x) ? 3x2 ? b ,且 b≤3 , 当 b≤0 时, f ?( x) ? 3x2 ? b≥0 ,所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,? ?) ; (7 分) 当 b ? 0 时, f ?( x) ? 3x2 ? b ? 0 得,函数 f ( x) 的单调减区间为 (? b, b ) , 3 3 单调增区 间为 (??, (10 分) ? b ) , ( b, ? ?) ; 3 3 (3)设 f ( x0 ) ? t ,则 t≥1 , f (t ) ? x0≥1 , 即有 x03 ? bx0 ? t ,且 t 3 ? bt ? x0 , 两式相减得, x03 ? bx0 ? t 3 ? bt ? t ? x0 , 即 ? x0 ? t ? x02 ? x0t ? t 2 ? 1 ? b ? 0 ,
≥ 1, 因为 t≥1 , x0≥1 , b≤3 ,所以 x02 ? x0t ? t 2 ? b ? 1

?

? ?

?

?

?

故 x0 ? t ,即 f ( x0 ) ? x0 . (16 分)

8

20. (本题满分 16 分) 若存在非零常数 p , 对任意的正整数 n ,an?12 ? an an? 2 ? p , 则称数列 ?an ? 是 “ T 数列” . (1)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 n ? N? ,求证: ?an ? 是“ T 数列” ; (2)设 ?an ? 是各项均不为 0 的“ T 数列” . ①若 p ? 0 ,求证: ?an ? 不是等差数列; ②若 p ? 0 ,求证:当 a1 , a 2 , a 3 成等差时, ?an ? 是等差数列. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1, 所以 an ? 2n ? 1 , n ? N? , (3 分) 则 ?an ? 是“ T 数列” ? 存在非零常数 p , (2n ? 1)2 ? (2n ? 1)(2n ? 3) ? p 显然 p ? 4 满足题意,所以 ?an ? 是“ T 数列” ; ( 5 分) (2)①假设 ?an ? 是等差数列,设 an ? a1 ? (n ? 1)d , 则由 an?12 ? an an? 2 ? p 得, ? a1 ? nd ? ? ?a1 ? (n ? 1)d ??a1 ? (n ? 1)d ? ? p ,
2

?

?

解得 p ? d 2≥0 ,这与 p ? 0 矛盾,故假设不成立, 从而 ?an ? 不是等差数列;(10 分) ②因为 an?12 ? an an? 2 ? p ? p ? 0 ? , ① 所以 an2 ? an?1an?1 ? p ? n≥2? , ②

① ? ②得, an?12 ? an 2 ? an an ? 2 ? an ?1an ?1 (n≥2) , 因为 ?an ? 的各项均不为 0, 所以

an?1 ? an ?1 an ? an ?2 (n≥2) , ? an an?1

? a ? an ?1 ? 从而 ? n ?1 ? ? n≥2? 是常数列, an ? ? a ?a 因为 a1 , a 2 , a 3 成等差,所以 3 1 ? 2 , a2

9

从而

an ?1 ? an ?1 ? 2 ? n≥2? ,即 an ?1 ? an ?1 ? 2an ? n≥2? ,即证.(16 分) an

试题Ⅱ(附加题)

21. 【选做题】 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题, 请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答. 若 ................... 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A. (几何证明选讲) 如图,已知凸四边形 ABCD 的顶点在一个圆周上, 另一个圆的圆心 O 在 AB 上,且与四边形 ABCD 的其余三边相切.点 E 在边 AB 上,且 AE ? AD . 求证: O , E , C , D 四点共圆. 证明:因为 AD ? AE , 所以 ?AED ? 1 ?180? ? ?A? , 2 因为四边形 ABCD 的顶点在一个圆周上, 所以 180? ? ?A ? ?BCD , 从而 ?AED ? ?DCO , 所以 O , E , C , D 四点共圆. (10 分)

D
C

A

O

E

B

(第 21—A 题)

B. (矩阵与变换)
?1 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 设点 P(x, 5)在矩阵 M ? ? ? 对应的变换下得到点 Q(y ? 2, ?3 4 ?

y),
? x? 求 M ?1 ? ? . ? y? ? x ? 10 ? y ? 2, ? x ? ?4, ?1 2 ? ? x ? ? y ? 2 ? ? ? 解:依题意, ? ,即 ? 解得 ? (4 分) ? ? ? ? ?3 4 ? ? 5 ? ? y ? ?3x ? 20 ? y, ? y ? 8,

? ?2 1 ? ?1 2 ? ?1 ?3 ?, M ? 由逆矩阵公式知,矩阵 M ? ? 的逆矩阵 (8 分) ? ? 1? ? ?3 4 ? ?2 2?
10

?2 1 ? ?4 ? x? ? ? ? ? 16 ? ? ? ? ?? 所以 M ?1 ? ? ? ? 3 . (10 分) 1 ? ? ? 8 ? ??10? ? y? ? ? ?2 2?

C. (极坐标与参数方程) 在极坐标系中, 设直线 l 过点 A 有且只 有一个公共点,求实数 a 的值. 解:依题意, A

?

且直线 l 与曲线 C :? ? a cos ? (a ? 0) ?? , 3,? ,B ? 3, ?

?

?

? ? 的直角坐标方程为 A 3 , ? , B ? 3, ?? , 3,? , B ? 3, ? 2 ?

?

?

?

从而直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 , (4 分) 曲线 C : ? ? a cos ? (a ? 0) 的普通方程为 x ? a 2 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, (8 分) ? ? ? y ? a4 (a ? 0) ,
2 2 2

a ?3 所以 2 (10 分) ? a (a ? 0) ,解得 a ? 2 (负值已舍). 2 2

D. (不等式选讲) 设正数 a , b , c 满足 a ? b ? c≤3 ,求证: 1 ? 1 ? 1 ≥ 3 . a ?1 b ?1 c ?1 2 证明:由柯西不等式得,

?(a ? 1) ? (b ? 1) ? (c ? 1)? ?


? 1 ? a 1? 1 ? b 1 ? 1 c ? 1?

?

a ?1 ?

1 ? b ?1 ? 1 ? c ?1? 1 a ?1 b ?1 c ?1

?

2

? 32 , (6 分)

9 ≥ 9 ?3. 所以 1 ? 1 ? 1 ≥ (10 分) a ?1 b ?1 c ?1 a ? b ? c ? 3 3 ? 3 2

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22 .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90? ,且
PA ? AB ? BC

11

? 1 AD ? 1 , PA ? 平面 ABCD . 2

(1)求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (2)棱 PD 上是否存在一点 E 满足 ?AEC ? ?? ?
?

P E A
C
(第 22 题)

若存在,求 AE 的长;若不存在,说明理由. 解: (1)依题意,以 A 为坐标原点,分别以 AB , AD , AP B 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
0 1) , B(1,, 0 0) , C (1,, 2 0) , 1 0) , D(0,, 则 P(0,,

D

??? ? ??? ? ??? ? 从而 PB ? (1,, (2 分) 0 ?1) , PC ? (1 2 ? 1) , ,, 1 ? 1) , PD ? (0,,
??? ? ??? ? b c) ,则 n ? PC ? 0 ,且 n ? PD ? 0 , 设平面 PCD 的法向量为 n ? (a,,

即 a ? b ? c ? 0 ,且 2b ? c ? 0 ,不妨取 c ? 2 ,则 b ? 1 , a ? 1 ,
1 2) , 所以平面 PCD 的一个法向量为 n ? (1,, (4 分)

??? ? n? ? 此时 cos? PB,

1? 2 ? ? 3 , 6 2? 6

所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 ; (6 分) 6 ??? ? ??? ? 2?, 1 ? ?) , (2)设 PE ? ? PD(0≤?≤1) ,则 E (0,

??? ? ??? ? 则 CE ? (?1 , 2? ? 1, 1 ? ? ) , AE ? (0, 2?, 1 ? ?) , ? ??? ? ??? 由 ?AEC ? ??? 得, AE ? CE ? 2? (2? ? 1)+(1 ? ?)2 ? 0 ,
化简得, 5? 2 ? 4? ? 1 ? 0 ,该方程无解, 所以,棱 PD 上不存在一点 E 满足 ?AEC ? ??? . (10 分)

23.设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满 足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an. 解: (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为: ({1},{2}) , ({1},{3}) , ({2},{3}) , ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对,
12

所以 a3 ? 5 ; (3 分) (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , (5 分) C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,k 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 (7 分) ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . (10 分) 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

13


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江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题2

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江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题4

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江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题6

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江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题3 Word版含答案

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