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第一章集合与常用逻辑用语第2课时


第一章

集合与常用逻辑用语

第2课时 命题及其关系、充分条 件与必要条件

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教材回扣夯实双基
基础梳理 1.命题 语言、符号或式子 表达的,可以判断 用___________________ 真假的_

________ 陈述句 叫做命题,其中 判断为真 的语句叫做真命题, __________ 判断为假 的语句叫做假命题. ___________
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2.四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若 p ,则 q”,则其逆命 若q,则p 题是______________ ;否命题是 若﹁ p,则﹁ q ;逆否命题是 _______________ 若﹁ q,则﹁ p _________________.

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思考探究 “否命题”与“命题的否定”有何不同? 提示:“否命题”与“命题的否定”是两个不 同的概念,如果原命题是“若p,则q”,那

么这个原命题的否定是“若p,则非q”,即
只否定结论;而原命题的否命题是“若﹁ p,则﹁ q”,即既否定命题的条件,又否定 命题的结论.
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(2)四种命题间的关系

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(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有 相同 _________ 的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题, 没有关系 它们的真假性_______________ .

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3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)“ 若 p , 则 q” 为 真 命 题 , 记 作 : p是 q p?q,则__________ 的充分条件, q是 p __________ 的必要条件. (2) 如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,记作: p是q 的充要条件,q也是 p?q,则________ 充要条件 p的____________ .
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课前热身
1.下列命题是真命题的为 ( 1 1 A.若 = ,则 x=y x y 2 B.若 x =1,则 x=1 C.若 x=y,则 x= y D.若 x<y,则 x2<y2 )

1 1 解析:选 A.由x= y得 x=y,A 正确,B、 C、D 错误.
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2.命题“若a>0,则a2>0”的否命题是( A.若a2>0,则a>0 B.若a<0,则a2<0 C.若a≤0,则a2≤0 D.若a≤0,则a2≥0 答案:C

)

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3.(2011· 高考福建卷) 若a∈R,则“a =1”是“|a|=1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

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解析:选A.若a=1,则|a|=1成立;若 |a|=1,则a=-1或a=1,则a=1是|a|

=1的充分而不必要条件,故选A.

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4.“a=1”是“直线y=ax+1与y=(a-

2)x+3垂直”的______条件.
答案:充要

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5 .与命题“若 a∈M ,则 b ? M”等价

的一个命题是_________________.
答案:若b∈M,则a?M

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考点探究讲练互动
考点突破 四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系时,首先要 分清命题的条件与结论,再比较每个命 题的条件与结论之间的关系,要注意四

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种命题关系的相对性,一旦一个命题定

为原命题,也就相应地有了它的“逆命
题”、“否命题”和“逆否命题”.

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例1 分别写出下列命题的逆命题、否命

题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)面积相等的两个三角形是全等三角形; (2)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根; (3)若x2+y2=0,则实数x、y全为零; (4)若x、y都是奇数,则x+y是偶数.

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【思路分析】

写成“若 p ,则 q”的

形式→写出逆命题、否命题、逆否命 题→判断真假. 【解】 (1) 逆命题:全等三角形的面

积相等,真命题. 否命题:面积不相等的两个三角形不 是全等三角形,真命题.
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逆否命题:两个不全等的三角形的面 积不相等,假命题. (2) 逆命题:若方程 x2 + 2x + q = 0 有实 根,则q≤1,真命题. 否命题:若q>1,则方程x2+2x+q=0 无实根,真命题.

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逆否命题:若方程 x2 + 2x + q = 0 无实 根,则q>1,真命题. (3) 逆命题:若实数 x 、 y 全为零,则 x2 +y2=0,真命题. 否命题:若 x2 + y2≠0 ,则实数 x 、 y 不 全为零,真命题.

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逆否命题:若实数 x 、 y 不全为零,则 x2+y2≠0,真命题.

(4) 逆命题:若 x + y 是偶数,则 x 、 y 都
是奇数,假命题.

否命题:若 x 、 y 不都是奇数,则 x + y
不是偶数,假命题. 逆否命题:若 x + y 不是偶数,则 x 、 y 不都是奇数,真命题.
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【名师点评】

(1)“都是”的否定是“

不都是”,而不是“都不是”,因为
“x、y不都是奇数”包含“x是奇数 y不

是奇数”、“x 不是奇数 y 是奇数”、
“x、y都不是奇数”三种情况;

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(2)“x = 0 或 y = 0”的否定是“x≠0 且
y≠0”,而不是“x≠0 或 y≠0”,因 为 “ x = 0 或 y = 0” 包 含 “ x = 0 且 y≠0”、“x≠0且 y= 0”、“x= 0且 y =0”三种情况.

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变式训练 1.下列命题中为真命题的是( )

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否 命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
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解析:选A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆
命题是“若x>|y|,则x>y”,无论y是正

数、负数、0都成立,所以选A.

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充分条件与必要条件的 判定
判断一个命题是另一个命题的什么条
件,关键是利用定义.如果p?q,则p叫

做q的充分条件,原命题(或逆否命题)
成立,命题中的条件是充分的,也可

称q是p的必要条件;如果q?p,则p叫

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做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立, 命题中的条件为必要的,也可称q是p的 充分条件;如果既有p?q,又有q?p, 记作p?q,则p叫做q的充分必要条件, 简称充要条件,原命题和逆命题(或逆 否命题和否命题)都成立,命题中的条

件是充要的.
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例2

下列各题中, p 是 q 的什么条件?

(1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sinA =sinB; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; f?-x? (3)p: =1,q:y=f(x)是偶函数. f?x?

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【思路分析】

先判断 p ? q 是否成立,

再判断q?p是否成立. 【解】 即p?q. 又 若 sinA = sinB , 则 2RsinA = 2RsinB , 即 a= b. (1)若∠A=∠B,则 sinA= sinB,

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∴∠A=∠B,即q?p. 所以p是q的充要条件. (2)其逆否命题为: 对于实数x、y,若x=2且y=6,则x+ y=8, 显然当x=2,y=6时,x+y=8成立;

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但当 x+y=8 时,x=2 且 y=6 不一定 成立, 故 p?q,q p,

∴p 是 q 的充分不必要条件.

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f?-x? (3)∵ =1, f?x? ∴f(-x)=f(x), ∴y=f(x)是偶函数. ∴p?q. 取 f(x)=x2 为 R 上的偶函数, f?-x? 但 在 x=0 时没有意义, f?x? ∴q p. ∴p 是 q 的充分不必要条件.

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【名师点评】 要性;

(1) 要分清充分性和必

(2) 注意两种说法“p 是 q 的必要不充分 条件”与“q 的必要不充分条件是 p” 是等价的; (3) 从集合的角度理解,小范围可以推 出大范围,大范围不能推出小范围.
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变式训练 2.指出下列各组命题中,p是q的什么 条件? (1)p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆 (x-a)2+(y-b)2=2相切; (2)p:|x|=x,q:x2+x≥0;

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(3)设l,m均为直线,α为平面,其中 l?α,m?α,p:l∥α,q:l∥m.
解:(1)若 a+b=2,圆心(a,b)到直线 x |a+b| +y=0 的距离 d= = 2=r,所以 2 直线与圆相切,反之,若直线与圆相切, 则|a+b|=2, ∴a+b=± 2,故 p 是 q 的充分不必要条 件.

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(2)若|x|=x,则 x +x=x +|x|≥0 成立. 反之,若 x +x≥0,即 x(x+1)≥0,解得 x≥0 或 x≤-1. 当 x≤-1 时,|x|=-x≠x,因此,p 是 q 的充分不必要条件. (3)∵l∥α l∥m,但 l∥m?l∥α,
2

2

2

∴p 是 q 的必要不充分条件.

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充分条件与必要条件的应用
涉及求参数的取值范围又与充分、必 要条件有关的问题,常常借助集合的 观点来考虑.若涉及参数问题解决起 来较为困难时,注意运用等价转化.

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例3

已知P={x|x2-8x-20≤0},S=

{x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数m,使“x∈P”是 “x∈S”的充要条件?若存在,求出m 的范围;

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(2)是否存在实数m,使“x∈P”是 “x∈S”的必要条件?若存在,求出m 的范围.

【思路分析】

(1) 化简P → P=S

→ 列方程组求m → 判断结果 (2) 据题意 → S?P → 列不等式组求m

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【解】 由 x -8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. (1)∵“x∈P”是“x∈S”的充要条件, ∴P=S, ?1-m=-2 ?m=3 ∴? ,∴? . ?1+m=10 ?m=9 ∴这样的 m 不存在.

2

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(2) 由题意“x∈P”是“x∈S”的必要 条件,则 S?P. ?1-m≥-2 ∴? ,∴m≤3. ?1+m≤10 综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的 必要条件.

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【误区警示】

(2) 中 “x∈P” 是

“x∈S”的必要条件,是由S?P即S是 P的子集,并不一定是真子集.

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互动探究 3.本例中条件不变,若(2)小题中 “x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件, 如何求解?

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解:∵“x∈P”是“x∈S”的必要不充 分条件,∴S P. ?1-m≥-2 ?1-m>-2 ∴? 或? . ?1+m<10 ?1+m≤10 解得 m≤3.

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方法感悟
方法技巧 1.写出一个命题的逆命题、否命题及 逆否命题的关键是分清原命题的条件 和结论,然后按定义来写;在判断原 命题及其逆命题、否命题以及逆否命 题的真假时,要借助原命题与其逆否
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命题同真或同假,逆命题与否命题同 真或同假来判定. 2.充要关系的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p 的真假.

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(2)等价法:即利用 A?B与﹁B? ﹁A;

B?A与﹁ A? ﹁ B;A?B与﹁ B? ﹁
A 的等价关系,对于条件或结论是否定

形式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:设A= {x|p(x)},B={x|q(x)},若A?B,则p是q 的充分条件或q是p的必要条件;若A= B,则p是q的充要条件.
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失误防范
1.否命题是既否定命题的条件,又否

定命题的结论,而命题的否定是只否
定命题的结论.要注意区别.

2.判断p与q之间的关系时,要注意p
与q之间关系的方向性,充分条件与必

要条件方向正好相反,不要混淆.
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考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年高考题来看,命题及其关系, 此部分知识高考命题以选择题和填空题 的形式出现,主要考查基本概念,四种 命题中互为等价的命题是考查的重点.

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集合与常用逻辑用语

常以本节知识作为载体考查函数、立体 几何、解析几何等内容;以逻辑推理知

识为命题背景的解答题也会出现.充要
条件是每年高考必考内容,试题以选择

题、填空题为主,考查的知识面非常广
泛,如:数列、向量、三角函数、立体 几何、解析几何等基本概念的考查都能

以充要条件的形式出现.

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预测2013年福建高考仍将以充要条件, 命题及其关系作为主要考点,重点考

查考生对基础知识的掌握及应用能力.

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典例透析


(2011· 高考山东卷)对于函数y=

f(x),x∈R,“y= |f(x)|的图象关于 y轴对 称”是“y=f(x)是奇函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 )

C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【解析】

若函数y=f(x)是奇函数,

则f(-x)=-f(x).此时|f(-x)|=|- f(x)|=|f(x)|,因此y=|f(x)|是偶函数, 其图象关于y轴对称,但当y=|f(x)|的 图象关于y轴对称时,未必能推出y= f(x)是奇函数.即反过来,逆推不成立.

所以选B.
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【答案】

B 本题以奇偶函数的性

【名师点评】

质为载体,考查了充分必要条件的判 断.求解的关键是明确|f(-x)|=|f(x)| 与|f(-x)|=|-f(x)|,都能得到|f(-x)| =|f(x)|.也可以结合图象加以说明判断.

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