tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

空间几何体的表面积和体积


1.3 简单几何体的表面积和体积

回忆复习有关概念 1、直棱柱: 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 、直棱柱: 2、正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 、正棱柱:
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心 底面是正多边形, 3、正棱锥: 、正棱锥: 的棱锥

被平行于底面的平面所截, 4、正棱台: 正棱锥被平行于底面的平面

所截, 、正棱台: 截面和底面之间的部分叫正棱台

斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个, 作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个,找出 斜高
C1 A1 B1
P

A1 A

C1 B1 D1 C O B D

C A

C

B O A D

B

2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台,并找出旋转轴 、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台, A A B A B

C

D

B

C C

D

分别经过旋转轴作一个平面, 分别经过旋转轴作一个平面,观察得到的轴截面是 什么形状的图形. 什么形状的图形

矩 形

等腰三角形

等腰梯形

知识点一: 知识点一:柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积
①直棱柱:设棱柱的高为h,底面多边形的周长为 , 直棱柱:设棱柱的高为 ,底面多边形的周长为c, 则

S直棱柱侧= ch .
②圆柱:如果圆柱的底面半径为r,母线长为 ,那么 圆柱:如果圆柱的底面半径为 ,母线长为l, . S圆柱侧= 2πrl

把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h

c
a

b

h

h
b

a

c

S 直棱拄侧=(a + b + c ) ? h = ch

思考:把圆柱、圆锥、 思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 展开,分别得到什么图形 展开的图形与原图 有什么关系? 有什么关系?

r

l

长方形
长= 2 π r

宽= l

S 圆柱侧 = S 长方形 = 2 π r l

(2)锥体的侧面积 锥体的侧面积

①正棱锥:设正棱锥底面正多边形的周长为c,斜 正棱锥:设正棱锥底面正多边形的周长为 , 高为h′, 高为 ,则 S正棱锥侧= 1?2ch′ . ②圆锥:如果圆锥的底面半径为r,母线长为 ,那 圆锥:如果圆锥的底面半径为 ,母线长为l, 么 S圆锥侧= . πrl

把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h'

h'

1 S 正棱锥侧= ch' 2

思考:把圆柱、圆锥、 思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 展开,分别得到什么图形 展开的图形与原图 有什么关系? 有什么关系?

扇形

nπl l 扇= 180
2

R扇=l

l

r

n πl 1 S圆锥侧= S 扇= = l扇 l = πrl 360 2

(3)台体的侧面积 台体的侧面积

棱台的上底面、 ①正棱台:设正n棱台的上底面、下底面周 正棱台:设正 棱台的上底面 长分别为c′、 ,斜高为h′,则正n棱台的侧面积 长分别为 、c,斜高为 ,则正 棱台的侧面积 公式:S正棱台侧= 1?2(c+c′)h′ 公式: + . 圆台:如果圆台的上、 ②圆台:如果圆台的上、下底面半径分别为 r′、r,母线长为 ,则S圆台侧= 、 ,母线长为l, .

πl(r′+r) +

注:表面积=侧面积+底面积. 表面积=侧面积+底面积.

把正三棱台侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h'

h'

1 S 正棱台侧= (c + c' )h' 2

思考:把圆柱、圆锥、 思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 展开,分别得到什么图形 展开的图形与原图 有什么关系? 有什么关系?

扇环

r1

r2

l

S圆台侧=S扇环=π(r1 + r2 )l

例1:一个正三棱台的上、下底面边长 分别是3cm和6cm,高是3/2cm,求三棱 台的侧面积. A1 O1 C1 D1 B1 分析:关键是 C 求出斜高,注 A 意图中的直角 O E D 梯形 B

例3:圆台的上、下底面半径分别为2 和4,高为 2 3 ,求其侧面展开图扇环 所对的圆心角 答:1800 分析:抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键 小结:1、抓住侧面展开图的形状,用好 相应的计算公式,注意逆向用公式; 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题,注意相似比.

例:圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800,那么圆台的侧面积是多少?(结果 中保留π)

小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键; 2、对应的面积公式
S 三棱锥 1 = ch ' 2
C’=0

S圆锥侧= πrl r1=0 S圆台侧=π(r1+r2)l r1=r2 S圆柱侧= 2πrl

S 正棱台

1 = ( c+ c' )h' 2 C’=C

S 直棱柱 = ch ' = ch

例1:一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形,侧棱长为4,则其侧面积为 ______; 答:60 例2:正四棱锥底面边长为6 ,高是4,中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台, 求棱台的侧面积
答: 7 9

已知棱长为a, 例3 已知棱长为 ,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . , 分析: 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. 组成. S 的面积,过点S作 解:先求 ?ABC的面积,过点 作 SD ⊥ BC, 于点D. 交BC于点 . 于点 A B D C
S 所以: 所以: ?ABC

3 因为BC=a,SD = SB ? sin 60 = a 因为 , 2
1 1 3 3 2 = BC ? SD = a × a= a 2 2 2 4

因此,四面体 的表面积. 因此,四面体S-ABC 的表面积.

年广东省惠州市高三调研)如图 例4(2010年广东省惠州市高三调研 如图,已 年广东省惠州市高三调研 如图, 知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是 ,D,E是 的底面边长是2, , 是 知正三棱柱 - CC1,BC的中点,AE=DE. 的中点, = 的中点 (1)求此正三棱柱的侧棱长; 求此正三棱柱的侧棱长; 求此正三棱柱的侧棱长 (2)正三棱柱 正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积. 的表面积. 正三棱柱 -

证明△ 【思路点拨】 (1)证明△AED为直 思路点拨】 证明 为直 角三角形,然后求侧棱长; 分别求出 角三角形,然后求侧棱长;(2)分别求出 侧面积与底面积. 侧面积与底面积.

【解】 (1)设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长 设正三棱柱 - 为 x. ∵△ABC 是正三角形, 是正三角形, ∵△ ∴AE⊥BC. ⊥ 又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ⊥ , , ∴AE⊥侧面 BB1C1C, ⊥ , x2 1+ = 3, 在 Rt△AED 中, AE=DE, △ 由 = , 得 +4 , 解得 x=2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2. = 即正三棱柱的侧棱长为

(2)S=S 侧+S 底, = S 侧=3×2×2 2=12 2, × × = , 1 S 底=2× 3×2×2=2 3, × × = , ∴S=S 侧+S 底=12 2+2 3. = +
【点评】 求表面积应分别求各部分面的面积,所 点评】 求表面积应分别求各部分面的面积, 以应弄清图形的形状,利用相应的公式求面积, 以应弄清图形的形状,利用相应的公式求面积,规则的图 形可直接求,不规则的图形往往要再进行转化, 形可直接求,不规则的图形往往要再进行转化,常分割成 几部分来求. 几部分来求.

思考:怎样求斜棱柱的侧面积? 1)侧面展开图是—— 平行四边形 2)S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长 3) S侧=所有侧面面积之和 ) 所有侧面面积之和

几何体的表面积问题小结 1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中, .高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中, 借以考查空间想象能力和运算能力, 借以考查空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体 的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决. 的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、 .多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面, 圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算, 曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和. 的面积之和. 3.几何体的表面积应注意重合部分的处理. .几何体的表面积应注意重合部分的处理.

知识点二. 知识点二.柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 长方体的体积 V长方体=abc= Sh. = (其中 、b、c为长、宽、高,S为底面 其中a、 、 为长 为长、 其中 为底面 积,h为高 为高) 为高 (2)柱体 圆柱和棱柱)的体积 柱体(圆柱和棱柱 的体积 柱体 圆柱和棱柱 V柱体=Sh. 其中,V圆柱=πr2h(其中 为底面半径). 其中, 其中r为底面半径 . 其中 为底面半径

(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积

1 V锥体= Sh. 3
其中V圆锥= 其中
2h 为底面半径. 为底面半径 1?3πr, r为底面半径.

(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台=h(S++ . ++S′). ++ 为台体的高, 和 分别为上下 注:h为台体的高,S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积. 两个底面的面积. 其中V 其中 圆台= 1?3πh(r2+rr′+r′2) + .

为台体的高, 、 分别为上 分别为上、 注:h为台体的高,r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径. 下两底的半径. (5)球的体积 球的体积 V球= 1?3πR3 .

例 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得 到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积的 几分之几?

几何体的体积小结 1.求空间几何体的体积除利用公式法外,还 .求空间几何体的体积除利用公式法外, 常用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一 常用分割法、补体法、转化法等, 些不规则几何体体积计算问题的常用方法. 些不规则几何体体积计算问题的常用方法. 2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 .计算柱体、锥体、 条件找出相应的底面面积和高, 条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面, 的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面 问题. 问题.

知识点三、 知识点三、球的表面积和体积


第一步: 第一步:分割

球面被分割成n个网格, 球面被分割成n个网格, 表面积分别为: 表面积分别为:

O

?S1,?S 2,?S3 ...?S n 则球的表面积: 则球的表面积:

S = ?S1 + ?S2 + ?S3 + ...+ ?Sn

?S i
O

?Vi

? 设“小锥体”的体积为: i 小锥体”的体积为 V 则球的体积为: 则球的体积为: V = ?V1 + ?V2 + ?V3 + ... + ?Vn

第二步:求近似和 第二步:

?S i
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ≈ ?S i ?hi 3
由第一步得: 由第一步得: V = ?V1 + ?V2 + ?V3 + ... + ?Vn

1 1 1 1 V ≈ ?S1?h1 + ?S 2 ?h2 + ?S3?h3 + ... + ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步: 第三步:转化为球的表面积

?hi

?S i
?Vi

如果网格分的越细, 如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 小锥体” 小锥体 就越接近小棱锥。

R
O

?S i
?Vi

?hi 的值就趋向于球的半径R 的值就趋向于球的半径R 1 ∴ ? Vi = ?S i R 3 1 1 1 1 V = ?Si R + ?S2 R + ?S3R + ...+ ?Sn R 3 3 3 3

1 1 = R( ?S i + ?S 2 + ?S3 + ... + ?S n ) = RS 3 3 4 3 ② 球的体积: 球的体积: V = πR



由①② 得:

3

S = 4πR

2

设球的半径为R, 设球的半径为 ,则球的体积公式为 V球= 4?3πR3 . 年高考上海卷)若球 例1.(2009年高考上海卷 若球 1、O2表 . 年高考上海卷 若球O 面积之比= ,则它们的半径之比= 面积之比=4,则它们的半径之比=______.
R1 解析: 解析:S 球=4πR ,故R = 2
2

S1 4=2. S2= =

答案:2

例2:
(1)若球的表面积变为原来的2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。 若球的表面积变为原来的 则半径变为原来的 2倍 (2)若球半径变为原来的2 (2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—倍。 若球半径变为原来的 则表面积变为原来的 倍

4

(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是———。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是 1 : 2 2。 若两球表面积之比为1:2 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是 1: 3 4 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是———。 若两球体积之比是1:2 。

3.如图 正方体ABCD 如图, ABCD的棱长为a, a,它的各个 例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球, 分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。 它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A D1 A1 O B

C A C1 B1 A1

D B D1 O

C

略解:
Rt?B1D1D中: B1D = 2R,B1D = 2a 3 a 2

C1 B1

(2R)2 = a2 + ( 2a)2 , 得: = R ∴S = 4πR2 = 3πa2

2 π a。 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S= 1.如果球 S=——。 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=
2 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S= 2π a。 2.如果球 S=

关键: 找正方体的棱长a与球半径R 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系

已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例4已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半, 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体 2 , 表面积. 积,表面积. 如图,设球O半径为 半径为R, 解:如图,设球 半径为 , 截面⊙ 的半径为 的半径为r, 截面⊙O′的半径为 ,

O A
O′

∵O′O =

R , ?ABC是正三角形, 是正三角形, 2

C

2 3 2 3 O′A = × AB = =r 3 2 3

B

一球切于正方体的各面,一 例5、有三个球 一球切于正方体的各面 一 、有三个球,一球切于正方体的各面 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比 求这三个球的体积之比. 各顶点 求这三个球的体积之比 作轴截面

规律方法总结
1.直棱柱的侧面展开图是一些矩形,正棱锥的侧面展开图 .直棱柱的侧面展开图是一些矩形, 是一些全等的等腰三角形, 是一些全等的等腰三角形,正棱台的侧面展开图是一些全等的 等腰梯形. 等腰梯形. 2.斜棱柱的侧面积等于它的直截面 垂直于侧棱并与每条 .斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积 的周长与侧棱长的乘积. 侧棱都相交的截面 的周长与侧棱长的乘积. 3.如果直棱柱的底面周长是c,高是 ,那么它的侧面 .如果直棱柱的底面周长是 ,高是h, 积是S 积是 直棱柱侧=ch. 4.应注意各个公式的推导过程,不要死记硬背公式本 .应注意各个公式的推导过程, 要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、 身,要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的 直角梯形等特征图形在公式推导中的作用. 直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.

规律方法总结
5.如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台,在求其侧面积或 .如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台, 全面积时,应对每一个侧面的面积分别求解后再相加. 全面积时,应对每一个侧面的面积分别求解后再相加. 6.求球的体积和表面积的关键是求出球的半径.反之, .求球的体积和表面积的关键是求出球的半径.反之, 若已知球的表面积或体积,那么就可以得出其半径的大小. 若已知球的表面积或体积,那么就可以得出其半径的大小. 7.计算组合体的体积时,首先要弄清楚它是由哪些基本 .计算组合体的体积时, 几何体构成,然后再通过轴截面分析和解决问题. 几何体构成,然后再通过轴截面分析和解决问题. 8.计算圆柱、圆锥、圆台的体积时,关键是根据条件找 .计算圆柱、圆锥、圆台的体积时, 出相应的底面面积和高, 出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.


推荐相关:

立体几何 空间几何体的表面积与体积

答案 5 2 难点突破 17——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各 类空间几何体的...


空间几何体的表面积和体积教案设计

空间几何体的表面积和体积教案设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区。空间几何体的表面积和体积 1.知识目标:: 熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和...


空间几何体的表面积与体积练习题.及答案

空间几何体的表面积与体积练习题.及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。空间几何体的表面积与体积专题一、选择题 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. ...


空间几何体的表面积和体积

中国教育培训领军品牌 空间几何体的表面积和体积【考纲说明】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 【知识梳理】 1.多面体的面积和...


空间几何体的表面积与体积公式记忆大全(17公式)

空间几何体的表面积与体积公式记忆大全(17公式)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3 空间几何体的表面积与体积公式记忆大全(17 公式) 1.几何体的表面积=...


必修2 1.3空间几何体表面积、体积知识点

必修2 1.3空间几何体表面积、体积知识点_数学_高中教育_教育专区。必修 2 1.3 空间几何体的表面积体积 例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 ...


高一数学空间几何体及其表面积和体积练习题

高一数学空间几何体及其表面积和体积练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学空间几何体及其表面积和体积练习题 专题五:空间几何体及其表面积和体积(高一...


空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档空间几何体的表面积和体积_数学_高中教育_教育专区。1. (15 安徽高考)...


高考数学空间几何体的表面积与体积

高考数学空间几何体的表面积与体积_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高考数学空间几何体的表面积与体积_数学_高中教育_教育专区。学科...


1.3 空间几何体的表面积与体积 教学设计 教案

1.3 空间几何体的表面积与体积 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com