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三角恒等变换专题复习学案


三角恒等变换
【学习目标】
1、通过专题训练,进一步熟练掌握同角三角函数基本关系式,和、差、倍公式及辅助角公式; 2、能熟练利用上述公式(包括正用、逆用、变形使用等)进行三角函数式的求值、化简,以及解三角形 或结合三角函数图象解题。

【考情分析】
1、三角函数是历年高考重点考察内容之一,三角恒等变换的考查,经常以选择与填空题的形式出现,还 常在解答题中与其它知识结合起来考查,其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点.在考查三 角知识的同时,又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。 2、2015 年高考将会继续保持稳定,坚持考查三角恒等变换,命题形式将会更加灵活。

【知识梳理】
1、基本公式:

sin(? ? ? ) ? tan( ? ? ?) ?
2、 二倍角公式:

; cos(? ? ? ) ?

sin 2? ?

; cos 2? ?

; tan 2? ?

3、辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

【考题体验】
1. (2014·高考课标卷)已知 sin 2? ?

A.

1 6

B.

1 3

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4 1 2 C. D. 2 3
) 3 D. 4



π π? 3 7 2.(2013·山东理)若 θ∈? ?4,2?,sin 2θ= 8 ,则 sin θ=( 3 A. 5 4 B. 5 C. 7 4

3. (2014·四川理)设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________. 2 4. ( 2013 · 江苏理) 已知 a=(cos ? , sin ?, ) b ? (cos ? , sin ? , ) 0 ? ? ? ? ? ? , 设 c ? (0,1) ,若

?

a ? b ? c,求 ? , ? 的值。

寄语:一切的方法都要落实到动手实践中

【典型例题】
考向一:求角问题 例 1:已知 ? , ? ? (0, ? ) 且 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ,求 2? ? ? 的值. 2 7

变式 1: (1)已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ?, tan

? 1

2 = ,cos(? -? )= ,求? 的值. 2 2 10

(2) 已知?,?为锐角,且tan(? +? ) = ? 3,sin? =2sin(2? +? ), 求? 的值.

考向二:求值问题 例 2、(2013 全国Ⅰ)设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? =__________.

寄语:一切的方法都要落实到动手实践中

变式 2:(2014 全国Ⅱ)设 ? 为第二象限角,若 tan ? ? ?

? ?

π? 1 ? ? ,则 sin ? ? cos ? ? __________. 4? 2

考向三:综合应用 例 3 、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + 2 ab=c .
2 2 2

(1)求角 C;(2)设 cosAcosB=

2 3 2 cos(? ? A)cos(? ? B) , ,求 tan ? 的值. ? 2 cos ? 5 5

变式 3: (2014·辽宁理)设向量 a ? (1)若 a ? b ,求 x 的值。

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值。

【基本思想与方法】一角二名三结构,即用转化与化归思想“去异求同”的过程,具体分析如下:
(1)首先观察角与角之间的关系,用已知角表示未知角,角的变换是三角恒等变换的核心; (2)其次是看三角函数名称之间的关系,通常是常值代换或者切化弦; (3)再就是观察代数式的结构特点,合理的选择三角函数公式,化繁为简.

寄语:一切的方法都要落实到动手实践中

【巩固检测】
1 1.若 tan θ+ =4,则 sin 2θ=( tan θ 1 A. 5 1 B. 4 ) 1 C. 3 ) ) 7 D. 5 1 D. 2

2.已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=(

π ? 24 3.已知 sin 2α=- ,α∈? ?-4,0?,则 sin α+cos α=( 25 1 A.- 5 1 B. 5 ) 7 C. 9 7 C.- 5

π ? 1 ?π ? 4.若 sin? ?4+α?=3,则 cos?2-2α?=( 4 2 A. 9 4 2 B.- 9

7 D.- 9

π? 4 π? ? 5.设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. 6. 已知 A、B、C 是△ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A), m ? n ? 1 . (1)求角 A .

(2) 若

1 ? sin 2 B ? ?3 , 求 tan C . cos 2 B ? sin 2 B

寄语:一切的方法都要落实到动手实践中


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