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数学竞赛与二次函数(2)


数学竞赛与二次函数(3)
17. (2013 全国竞赛)如图,将 OA = 6,AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中,动点 M,N 以每 秒1个单位的速度分别从点 A,C 同时出发,其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动,点 N 沿 CB 向终点 B 运 动,当两个动点运动了 t 秒时,过点 N 作 NP⊥BC,交 OB 于点 P,连接 MP. (1)

点 B 的坐标为 ;用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 ;

(2)记△OMP 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式(0 < t < 6) ;并求 t 为何值时,S 有最大值? (3)试探究:当 S 有最大值时,在 y 轴上是否存在点 T,使直线 MT 把△ONC 分割成三角形和四边形 两部分, 且三角形的面积是△ONC 面积的

1 ?若存在, 求出点 T 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 3
y y

C

N

B

C

B

P

O

M

A

x

O
(备用图)

A

x

(第 17 题图)

18. (2013 全国竞赛)如图,抛物线 与

y ? ax2 ? bx ? 3 ,顶点为 E,该抛物线 x 与轴交于 A,B 两点,

1 y 轴交于点 C,且 OB=OC=3OA。直线 y ? ? x ? 1 与 y 轴交于点 D,求∠DBC-∠CBE. 3

D O B

A C

E

19. ( 2014 全国联赛)设实数 a , b 满足 a

2

(b2 ? 1) ? b(b ? 2a) ? 40 , a(b ? 1) ? b ? 8 ,求

1 1 ? 2 2 a b

的值

20.(2014 全国联赛)设 n 是整数,如果存在整数 x, y , z 满足 n ? 有性质 P . (1)试判断 1,2,3 是否具有性质 P ;

x3 ? y3 ? z3 ? 3xyz ,则称 n 具

(2)在 1,2,3,…,2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有性质 P 的数有多少个?

21.(2014 全国竞赛初试已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像经过点 A( x 1 ,0) 、B( x 2 ,0) 、C(2,
2

m) ,且 0 ?

x1 ? x2 ? 2 .
?1

(1)求证: m ? 0 ; (2)若 b ? 1 ,求证: m

22. (2012 天津)已知抛物线 y=x2+mx+n 经过点(2,-1) ,且与 x 轴交于两点 A(a,0),B(b,0),若点 P 为该抛物线的顶点,求使△APB 面积最小时抛物线的解析式。


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