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2013年秋季高三年寒假作业理科数学卷一


2013 年秋季高三年寒假作业 理科数学卷一
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一. 选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.如果复数 z ? a ? a ? 2 ? (a ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为(
2 2



A.-2

B.1



C.2

D.1 或 -2 )

2. 已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A. 1 B. 2 C. -2 D. -1

3.已知数列﹛ an ﹜为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) 的值为( A. 3 B. ? 3 C. ? 3 D. ?



3 3

4. 设 m, n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题



? // ? ? ? ? ?? m ? ?? ? ? ? // ? ;② ? ? m ? ? ;③ ? ? ? ? ? ;④ ? // ? ? m // ? ? m // ? ?

开始 s = 0,n = 2 否 n < 21

m // n ? ? ? m // ? ; n ? ??
其中正确的命题是( A.①④ C.①③ ) B.②③ D.②④ )

是 1 s=s+ n n=n+2 结束

5. 如右图,程序框图所进行的求和运算是( A. 1 1 1 1 + + + ? + 2 4 6 20 1 1 1 + + ? + 3 5 19 1 1 1 + + ? + 2 4 18

输出 s

B.1 +

C. 1 + D.

1 1 1 1 + 2 + 3 + ? + 10 2 2 2 2

6. 已 知 函 数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 x ?

5? , 则 函 数 3

g ( x) ? a sin x ? cos x 的最大值是(



理科数学卷(一)

1

A.

2 2 3

B.

2 3 3

C.

4 3

D.

2 6 3

7. 已知条件 p : | x ? 1 |? 2 ,条件 q : x ? a ,且 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围可以是( A. a ? 1 ) B. a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? ?3

8. 世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到 A 、 B 、C 三个不 同的展馆服务, 每个展馆至少分配一人.若甲要求不到 A 馆, 则不同的分配方案有( A. 36 种 B. 30 种 C. 24 种 D. 20 种 )

9. 某地 2011 年降雨量 p ( x) 与时间 X 的函数图象如图所示,定义“落量 差函数” q ( x) 为时间段 [0, x] 内的最大降雨量与最小降雨量的差,则 函数 q ( x) 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

10. 对于定义域和值域均为[0, 1]的函数 f(x), 定义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) , ?,

f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 f n ( x) ? x 的点 x∈[0,1]称为 f 的 n 阶周期
1 ? 2 x, 0? x? , ? ? 2 点.设 f ( x) ? ? 则 f 的 n 阶周期点的个数是( 1 ? 2 ? 2 x, ? x ? 1, ? ? 2
A. 2n B. 2(2n-1) C. 2
n

)

D.

2n

2

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. 在二项式 ( x ? 2) 的展开式中,第四项的系数是
6

.

12.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,
理科数学卷(一) 2

则点 M 取自阴影部分的概率为_______________.

?x ? a ? 13. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ( a 为常数)所表示的平面区域的面积 ?x ? y ? 0 ?
是 9,则实数 a 的值是_________________. 14. 设 F 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A 在抛物线上,O 为坐标原点,
2

若 ?OFA ? 120 ,且 FO FA ? ?8 ,则抛物线的焦点到准线的距离等于

.

15. 在空间直角坐标系中,对其中任何一向量 X ? ( x1 , x2 , x3 ) ,定义范数 || X || ,它满足以 下性质:(1) || X ||? 0 ,当且仅当 X 为零向量时,不等式取等号; (2)对任意的实数 ? , 。 (3)|| X || ? || Y ||?|| X ? Y || 。试 || ? X ||?| ? | ? || X || (注:此处点乘号为普通的乘号) 求解以下问题:在平面直角坐标系中, 有向量 X ? ( x1 , x2 ) ,下面给出的几个表达式中, 可能表示向量 X 的范数的是_____ (1) x1 ? 2 x2
2 2

_______.(把所有正确答案的序号都填上)
2

(2) 2 x1 ? x2
2

(3) x1 ? x2 ? 2
2 2

(4) x1 ? x2
2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? (Ⅰ)当 a ?

4 ,b ? 2. 5

5 时,求角 A 的度数; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 3

17.(本小题满分 13 分) 已知圆 M : ( x ? 3) 2 ? y 2 ?

225 1 的圆心为 N , 的圆心为M ,圆N : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16 16

一动圆与圆 M 内切,与圆 N 外切。 (Ⅰ)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ) (Ⅰ)中轨迹上是否存在一点 Q ,使得 ?MQN 为钝角?若存在,求出 Q 点横坐标的 取值范围;若不存在,说明理由.

18. (本小题满分 13 分)

理科数学卷(一)

3

如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a , ?PAD 为等边三角形, 又平面 PAD⊥平面 ABCD.
s.5

(Ⅰ)若在边 BC 上存在一点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)当边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” .图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点 处相遇,若竖直线段有第一条的为第一层,有二条的为第二层,??,依次类推.现有一颗 小弹子从第一层的通道里向下运动.记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左至右)的 概率为 P (n, m) . (已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每个通道) (Ⅰ)求 P (2,1), P(3, 2) 的值,并猜想 P (n, m) 的表达式. (不必证明) (Ⅱ)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ? ,

入口 第1层 第2层 第3层 第4层

?4 ? m,1 ? m ? 3 其中 ? ? ? ,试求 ? 的分布列及数学期望. ?m ? 3, 4 ? m ? 6
20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? p ln x ? ? p ? 1?x ? 1 .
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 p ? 1 时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n

21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 1.(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换 如 果 曲 线 x ? 4 xy ? 3 y ? 1 在 矩 阵 ?
2 2

?1 a? 2 2 ? 的作用下变换得到曲线 x ? y ?1 , ?b 1?

求 a ? b 的值。

2.(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程

理科数学卷(一)

4

? x ? 2 ? 3 t, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线的参数方程是 ? (为参数) . ?y ? 4 t 5 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

3.(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | . (1) 解不等式 f ( x) ? 3 ; (2) 若 f ( x) ? a对x ? R恒成立, 求实数a 的取值范围。

2013 年秋季高三年寒假作业参考答案 理科数学卷一
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1 2 3 4 5 6 7 A D B C A B A 8 C 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11. ____ 160__________. 13. ______1___________. 15. ____(4)_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16. (本小题满分 13 分)设 ?ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 12. ____ 14.

1 _____ . 3
4 .

cos B ?

4 5 , b ? 2 (Ⅰ)当 a ? 时,求角 A 的度数; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 5 3

解: (Ⅰ)因为 cos B ?

4 3 ,所以 sin B ? . ????2 分 5 5 5 a b 1 因为 a ? , b ? 2 ,由正弦定理 可得 sin A ? . ? 3 sin A sin B 2
因为 a ? b ,所以 A 是锐角,所以 A ? 30 o . ?????6 分

????4 分

(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S ?

1 3 ac sin B ? ac , 2 10 8 ac . 5

??? ??7 分

所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大. 因为 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a 2 ? c 2 ? ?????9 分

理科数学卷(一)

5

因为 a 2 ? c 2 ? 2ac ,所以 2ac ?

8 ac ? 4 , 5

?? ? ??11 分 ?? 13 分 ??? ) 已 ??12 分 ?13 分 知 圆

所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . 17. ( 本 小 题 满 分

M : ( x ? 3) 2 ? y 2 ?

225 1 的圆心为 N , 的圆心为M ,圆N : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16 16

一动圆与圆 M 内切,与圆 N 外切。 (Ⅰ)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ) (Ⅰ)中轨迹上是否存在一点 Q ,使得 ?MQN 为钝角?若存在,求出 Q 点横坐标的 取值范围;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)设动圆 P 的半径为 r,则 | PM |? 两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN| 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,焦距为 2 3 ,实轴长为 4 的椭圆

15 1 ? r ,| PN |? r ? 4 4

其方程为

x2 y 2 ? ?1 4 1

????6 分

(Ⅱ)假设存在,设 Q (x,y).则因为 ?MQN 为钝角,所以 QM ? QN ? 0

QM ? (? 3 ? x, ? y ) , QN ? ( 3 ? x, ? y ) , QM ? QN ? x 2 ? y 2 ? 3 ? 0
又因为 Q 点在椭圆上,所以 联立两式得: x ? 1 ?
2

x2 y 2 ? ?1 4 1

x2 8 ? 3 ? 0 化简得: x 2 ? , 4 3

解得: x ? (?

2 6 2 6 , ) ,所以存在。?? 13 分 3 3

18. (本小题满分 13 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a , ?PAD 为等边三角形, 又平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)若在边 BC 上存在一点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值. 解: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连接 PO,则 PO⊥AD ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PO⊥平面 ABCD???2 分

理科数学卷(一)

6

建立如图的空间直角坐标系,则 P (0, 0,

3 a , a), D( , 0, 0) ,设 Q(t,2,0) 2 2

3 a 则 PQ =(t,2,- , DQ =(t ? ,2,0) . a) 2
2
∵PQ⊥QD,∴ PQ ? DQ ? t (t ? ) ? 4 ? 0 . ∴ a ? 2(t ? ) ? 8 ,等号成立当且仅当 t=2. 故 a 的取值范围为 [8, ??) . ????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a =8 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥ QD. 此时 Q(2,2,0) ,D(4,0,0), P (0, 0, 4 3) . 设

a 2

4 t

n ? ? x, y , z ?

是平面 PQD 的法向量, PQ =(2,2, ?4 3 ) ,

DQ =(-2,2,0) .

? ?n DP ? 0 ? ?n DQ ? 0 ,得. {2 x ? 2 y ? 4 3 z ? 0 由? ?2 x ? 2 y ? 0
取 x ? y ? 3 ,则 n ? (3,3, 3) 是平面 PQD 的一个法向量.

而 AB ? (0, 2, 0) 是平面 PAD 的一个法向量, 设二面角 A-PD-Q 为 ? ,由 cos ? ? cos AB, n ?

21 . 7

∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为

21 . ??13 分 7

19.(本小题满分 13 分) 如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” .图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点 处相遇,若竖直线段有第一条的为第一层,有二条的为第二层,??,依次类推.现有一颗 小弹子从第一层的通道里向下运动.记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左至右)的 概率为 P (n, m) . (已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每个通道)

理科数学卷(一)

7

(Ⅰ)求 P (2,1), P(3, 2) 的值,并猜想 P (n, m) 的表达式. (不必证明) (Ⅱ)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ? ,其中 ? ? ? 试求 ? 的分布列及数学期望. 【解析】 (Ⅰ) P (2,1) ? C10 ?

?4 ? m,1 ? m ? 3 , ?m ? 3, 4 ? m ? 6

入口

?1? ?1? 1 ? ? ? ? ,????2 分 ?2? ?2? 2
1 1

0

1

第1层 第2层 第3层 第4层

1 1?1? ?1? P(3, 2) ? C2 ? ? ? ? ? ?2? ?2? 2

????4 分

P ( n, m ) ?

m ?1 Cn ?1 2n ?1

????6 分

(Ⅱ) P (6,1) ? P (6, 6) ?

1 C50 1 C5 5 ? , P (6, 2) ? P (6,5) ? ? , 5 5 2 32 2 32

P(6,3) ? P(6, 4) ?

C52 10 ? 25 32
1 2 3

?
P

20 32

10 32

2 32
????11 分 ????13 分

E? ?

23 16
2

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? p ln x ? ? p ? 1?x ? 1 . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 p ? 1 时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n
'

解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,f

?x ? ?

p 2? p ? 1?x 2 ? p ? 2? p ? 1?x ? ?2 分 x x
8

理科数学卷(一)

当 p ? 1 时, f '( x) >0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调递增; 当 p ? 0 时, f '( x) <0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调递减;?????4 分 当 0< p <1 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

?

p . 2? p ? 1?

则当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? ? p ? p ? 时, f '( x) >0; x ? ? ? ? 时, f '( x) <0. , ? ? ? ? ? ? 2? p ? 1? ? 2 p ? 1 ? ? ? ? ? p ? p ? 单调递增,在 ? ? , ? ?? ? ? ? 单调递减. ????6 分 2? p ? 1? ? 2? p ? 1? ? ?
p ?1
时, f ( x) ? kx 恒成立 ? 1 ? ln x ? kx ? k ?

故 f ( x) 在 ? 0, ?

? ? ?

(Ⅱ)因为 x ? 0 ,所以当 令 h( x ) ?

1 ? ln x x

1 ? ln x ,则 k ? h( x) max , x ? ln x 因为 h' ( x) ? ,由 h' ( x) ? 0 得 x ? 1 , x2

?????8 分

且当 x ? (0,1) 时, h' ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, h' ( x) ? 0 . 所以 h( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1,??) 上递减.所以 h( x) max ? h(1) ? 1 ,故 k ? 1 ??10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 k ? 1 时,有 f ( x) ? x ,当 x ? 1 时, f ( x) ? x 即 ln x ? x ? 1 ,

n ?1 n ?1 1 1 ,则 ln ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? n n n n 2 1 3 1 n ?1 1 所以 ln ? , ln ? ,?, ln ? , 1 1 2 2 n n 2 3 n ?1 1 1 相加得 ln ? ln ? ?ln ?1? ?? 1 2 n 2 n
令x? 而 ln

????12 分

2 3 n ?1 n ?1? ?2 3 ? ln ? ?ln ? ln? ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) 1 2 n n ? ?1 2
1 1 1 ? ? ? ? , (n ? N * ) .?? ??????14 分 2 3 n

所以 ln(n ? 1) ? 1 ?

21. 本题有(1)、 (2)、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多作, 则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将选题号填入括号中. 1.(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换

理科数学卷(一)

9

如果曲线 x 2 ? 4 xy ? 3 y 2 ? 1 在矩阵 ?

a ? b 的值。
解:设点 P ( x, y ) 在矩阵 ?

?1 a? 2 2 ? 的作用下变换得到曲线 x ? y ? 1 ,求 ?b 1?

?1 a? ? 的作用下变换得到 P?( x?, y?) , ?b 1? ? 1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? x ? ay 则? ?????4 分 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ?b 1? ? y ? ? y ? ? y ? bx ? y
则 ( x ? ay ) 2 ? (bx ? y ) 2 ? 1 ,展开,得 (1 ? b 2 ) x 2 ? 2(a ? b) xy ? (a 2 ? 1) y 2 ? 1

? 1 ? b2 ? 1 ? 比较系数得: ? 2( a ? b) ? 4 ? a2 ?1 ? 3 ?
解得

???6 分

a ? 2, b ? 0 , 所以 a ? b ? 2

???????7 分

2.(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 3 t, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线的参数方程是 ? (为参数) . ?y ? 4 t 5 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2 ? sin ? . 又 x 2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .

?????1 分

??????3 分

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) .?????4 分 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 . ???6 分 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 . ???????7 分

3.(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若 f ( x) ? a对x ? R恒成立, 求实数a 的取值范围。

理科数学卷(一)

10

?3 ? 2 x, x ? 1 ? (1)∵ f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?1,1 ? x ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
∴当 x<1 时,3-2x>3,解得 x<0; 当 1 ? x ? 2时, f ( x) ? 3 无解 当 x>2 时 2x-3>3,解得 x<3. 综上,x<0 或 x>3, ∴不等式 f(x)>3 的解集为 (??,0) ? (3,??) ????????4 分

?3 ? 2 x, x ? 1 ? (2)∵ f ( x) ? ?1,1 ? x ? 2, ?2 x ? 3, x ? 2, ?
∵ f ( x) ? a 恒成立

∴ f ( x) min ? 1

∴a<1,即实数 a 的取值范围是 (??,1) ????????????7 分

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理科数学卷(一)

11


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