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【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习专题三 基本初等函数函数与方程及函数的应用


2017版高三二轮复习与策略
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专题三

基本初等函数、函数与方程及函数的应用

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

题型一| 指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质

1 1 1 3 1 (1)已知 a=2 ,b=log2 ,c=log ,则将 a,b,c 按从大到小的顺 3 23

序排列为________. 1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则实数 a 的取值范围为________.(用区间表示) 2 【导学号:91632007】

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? (2)? ? ? 1 2 ? ? - ,1? [(1)由指数函数及对数函数的单调性易知 0<2 3<1, 2 ?

(1)c>a>b

1 1 1 log2 <log21=0,log1 >log1 =1,故 c>a>b. 3 23 22 (2)显然 0<a<1,在同一坐标系内作 y=4x 与 y=logax 的图象(图略). 1 1 依据图象特征,只需满足 loga >42=2, 2 1 2 2 ∴ <a ,因此 <a<1.] 2 2

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【名师点评】

比较指数函数值、对数函数值、幂函数值的大小有三种方

法:一是根据同类函数的单调性进行比较;二是采用中间值 0 或 1 等进行比较; 三是将对数式转化为指数式,或将指数式转化为对数式,通过转化进行比较.

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1.(2016· 南通二调)已知函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的图象如 图 31 所示,则 a+b 的值是________.

图 31

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9 [由题图可知 2
? ?loga?b-3?=0, ? ? ?logab=-2,

1 9 解得 b=4,a= ,∴a+b= .] 2 2

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2 . (2016· 镇江期中 ) 若 4x -5×2x+ 6≤0 ,则函数 f(x)= 2x-2 - x 的值域是 ________.

?3 8? ? ? , ?2 3? ? ?

[由 4x-5×2x+6≤0 得 2≤2x≤3,

令 2x=t,则 t∈[2,3], 1 ∴f(t)=t- . t 又 f(t)在[2,3]上单调递增,故 f(2)≤f(t)≤f(3),即
?3 8? ? , f(t)∈? ?2 3 ?.] ? ?

2017版高三二轮复习与策略 题型二| 函数的零点问题

(1)(2016· 镇江模拟 )若函数 f(x)= cos x - x 的零点在区间 (k -1 , k)(k∈Z)内,则 k=________. m (2)(2016· 南京一模)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=2 + x,设 g(x) 2
x

? ?f?x?,x>1, =? ? ?f?-x?,x≤1,

若函数 y=g(x)-t 有且只有一个零点,则实数 t 的取值范围

是________.

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(1)1

? 3 3? ? - , (2)? ? 2 2? ? ?

[(1)∵f(x)=cos x-x,

∴f′(x)=-sin x-1≤0, ∴f(x)在 R 上是单调递减函数,∴f(x)至多有一个零点, 又 f(0)=1,f(1)=cos 1-1<0,∴f(x)在(0,1)内存在唯一零点,由题意可知 k =1.

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(2)由 f(x)为 R 上的奇函数可知,f(0)=0,即 1+m=0,m=-1. 1 ∴f(x)=2 - x, 2
x

? x 1 ?2 -2x,x>1, ∴g(x)=? ? 1x-2x,x≤1. ?2

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又当 x>1 时,g(x)为增函数, 1 3 ∴g(x)>g(1)=2- = , 2 2 当 x≤1 时,g(x)为减函数,
? 1? 3 ? ? ∴g(x)≥g(1)=-?2-2?=- . 2 ? ?

要使 g(x)-t=0 有且只有一解,即函数 y=g(x)与 y=t 的图象只有一个交点 3 3 (图略),故- ≤t≤ .] 2 2

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【名师点评】 1.确定函数零点存在区间及个数的两个方法: (1)利用零点存在性判定定理; (2)利用数形结合法.当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析 式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时,常用数形结合法求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函 数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.

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2 ? ? ,x≥2, 1. 已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同 3 ? ??x-1? ,0<x<2, 的实根,则实数 k 的取值范围是________.

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1 2 3 0<k< [函数 y=(x-1) 在 R 上单调递增;函数 y= 在[2,+∞)上单调递 2 x 减, 2 又因为 x=2 时,(x-1) =1 且 =1,所以 f(x)的最大值为 1,对应点为(2,1), x
3

1-0 1 1 又 y=kx 过原点(0,0),所以 k= = .可见 0<k< .] 2 2-0 2

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2.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 有________个零点.
x

2 [令 f(x)=2

?1? ?x |log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=? ?2? . ? ? ?1? ?x y=? ?2? ? ?

在同一坐标系下分别画出函数 y=|log0.5x|与

的图象,如图所示.由图象知,两个函数的图象有两个 交点,从而函数 f(x)有两个零点.]

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题型三| 函数在实际生活中的应用

(2016· 苏北三市联考)经市场调查,某商品每吨的价格为 x(1<x<14) 7 2 百元时,该商品的月供给量为 y1 万吨,y1=ax+ a -a(a>0);月需求量为 y2 万 2 1 2 1 吨, y2=- x - x+1.当该商品的需求量大于供给量时, 销售量等于供给量; 224 122 当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量.该商品的月销售额等 于月销售量与价格的乘积.

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1 (1)若 a= ,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大? 7 (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低 于每吨 6 百元,求实数 a 的取值范围.

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[解]

? 1 1 2 1 1 7? ?1?2 1 (1)若 a= ,由 y2>y1,得- x - x+1> x+ ?7? - , 7 224 112 7 2? ? 7

解得-40<x<6. 因为 1<x<14,所以 1<x<6. 设该商品的月销售额为 g(x),则
? x,1<x<6, ?y1· g(x)=? ? x,6≤x<14. ?y2 ·

3分

5分 7分

1? 1? 33 ? ? 当 1<x<6 时,g(x)= ?x-2?x<g(6)= . 7? 7 ?

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当 6≤x<14

? ? 1 2 1 ? 时,g(x)=?-224x -112x+1? ?x, ? ?

1 1 2 则 g′(x)=- (3x +4x-224)=- (x-8)(3x+28), 224 224 由 g′(x)>0,得 x<8,所以 g(x)在[6,8)上是增函数,在(8,14)上是减函数, 36 当 x=8 时,g(x)有最大值 g(8)= . 7 10 分

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? 1 2 ? 7 2 ? 1 ? (2)设 f(x)=y1-y2= x +?112+a?x+ a -1-a, 224 2 ? ?

因为 a>0,所以 f(x)在区间(1,14)上是增函数, 若该商品的均衡价格不低于 6 百元,即函数 f(x)在区间[6,14)上有零点, 12 分 11 ? 2 7a +10a- ≤0, ? ? f ? 6 ? ≤ 0 , 7 ? 所以? 即? ? ?f?14?>0, ?7a2+13a>0, ?2 1 解得 0<a≤ . 7

14 分

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1 答:(1)若 a= ,商品的每吨价格定为 8 百元时,月销售额最大; 7 (2)若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元,实数 a 分
? 1? ? 的取值范围是?0,7? ?. ? ?

16

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【名师点评】 1.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? 文字语言 数学语言 数学应用 检验作答 2.函数有关应用题的常见类型及解题关键 ?1?常见类型:与函数有关的应用题,经常涉及物价、路程、产值、环保等 实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题. ?2?解题关键:解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应 用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

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某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图 32 所示), 该扇环面是由以点 O 为 圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面 的周长为 30 米,其中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 θ(弧度).

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图 32 (1)求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/ 米,弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 x 为何值时,y 取得最大值?

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[解]

(1)由弧长计算及扇环面的周长为 30 米,得 6分

10+2x 30=θ(10+x)+2(10-x),所以 θ= (0<x<10). 10+x

1 (2)花坛的面积为 θ(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0<x<10). 2 装饰总费用为 9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x, 8分

-x2+5x+50 x2-5x-50 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y= =- , 170+10x 10?17+x? 10 分

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324? 39 1 ? 3 ? ? 令 t=17+x,则 y= - ?t+ t ?≤ ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x 10 10? ? 10 12 =1,θ= . 11
答:当 x=1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 14 分

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命题展望 函数的零点、方程的根、函数图象的交点之间的相互转化,体现了转化与 化归、数形结合等重要数学思想,同时考查了函数的图象与性质,是江苏高考 重点考查的内容之一,2017 年仍是命题方向,应引起足够的重视.

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(2015· 江苏高考)已知函数 f(x)=|ln x|,g(x)=
? ?0,0<x≤1, ? 2 ? ?|x -4|-2,x>1,

则方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为______.

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4 [令 h(x)=f(x)+g(x), ?-ln x,0<x≤1, ? 2 则 h(x)=?-x +ln x+2,1<x<2, ?x2+ln x-6,x≥2, ? 当 1<x<2 时, 1 1-2x h′(x)=-2x+ = <0, x x
2

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故当 1<x<2 时 h(x)单调递减, 在同一坐标系中画出 y=|h(x)|和 y=1 的图象 如图所示.

由图象可知|f(x)+g(x)|=1 的实根个数为 4.]

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[阅卷心语] 易错提示 ?1?因作图能力差,导致函数|f?x?+g?x?|的图象错误. ?2?等价转化及数形结合能力较弱,不能将问题等价转化. 防范措施 在准确作出函数 y=|f?x?+g?x?|图象的前提下,数形结合,把方

程|f?x?+g?x?|=1 实根的个数问题等价转化为函数 y=1 与函数 y=|f?x?+g?x?|图象 的交点个数问题.

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1.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对于任意的 x∈[0,+∞),满足 f(x +2)=f(x),若当 x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数 y=f(x)-1 在区间[-2,4] 上的零点个数为________.

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7 [由 0≤x<2 时,f(x)=|x2-x-1|,且 f(x+2)=f(x), 可知 x 在[0,+∞)上是周期为 2 的函数, 又 f(x)为偶函数,故 f(x)在[-2,4)上的图象如图所示.由图可知 y=f(x)与 y =1 有 7 个交点,故函数 y=f(x)-1 在区间[-2,4)上有 7 个零点.]

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2.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对于任意的 x 都满足 f(x+1)=-f(x),当 -1≤x<1 时,f(x)=x3,若函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点,则 a 的取值 范围是________. 【导学号:91632008】

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? 1? ? ? 0 , ∪(5,+∞) ? 5? ? ?

[由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+1)=-f(x+2),因此 f(x)=f(x

+2),即函数 f(x)是周期为 2 的周期函数.函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零 点可转化成 y=f(x)与 h(x)=loga|x|两函数图象交点至少有 6 个,需对底数 a 进行 分类讨论.若 a>1,则 h(5)=loga5<1,即 a>5.

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1 若 0<a<1,则 h(-5)=loga5≥-1,即 0<a≤ . 5

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所以 a

? 1? ? 的取值范围是?0,5? ?∪(5,+∞).] ? ?


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