tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省2015届高考数学全真模拟试卷(理科)


浙江省 2015 届高考数学全真模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},N={2,3,6},则?U(M∪N)=() A.{1,2,3} B.{5} C.{1,3,4} D.{2} 2. (5 分)已知 p

:x ﹣5x+6≤0,q:|x﹣a|<1,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值 范围为() A.(﹣∞,3] B.[2,3] C.(2,+∞) D.(2,3)
2

3. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 A.6 B. 4

则目标函数 z=2x+y 的最小值为() C. 3 D.2

4. (5 分)设 α,β,γ 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,下列命题中正确 的是() A.若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ B. 若 m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C. 若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β D.若 α∥β,m?β,m∥α,则 m∥β

5. (5 分)设 , 为两个互相垂直的单位向量,已知

= ,

= ,

=m +n .若△ ABC

是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 m+n=() A.1 或﹣3 B . ﹣1 或 3 C.2 或﹣4

D.﹣2 或 4

6. (5 分)已知 xy=1,且 O<y< ,则

的最小值为()

A.2

B.

C. 4

D.4

7. (5 分)如图,正△ ABC 的中心位于点 G(0,1) ,A(0,2) ,动点 P 从 A 点出发沿△ ABC 的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π) ,向量 射影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y=f(x)的图象是() 在 =(1,0)方向的

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)如图,已知点 S(0,3) ,SA,SB 与圆 C:x +y ﹣my=0(m>0)和抛物线 x =﹣ 2py(p>0)都相切,切点分别为 M,N 和 A,B,SA∥ON, =λ ,则实数 λ 的值为()

2

2

2

A.4

B. 2

C. 3

D.3

二、填空题:本大题有 7 小题,共 36 分(其中 1 道三空题,每空 2 分,3 道两空题,每空 3 分,3 道一空题,每空 4 分) . 9. (6 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如 图所示,则 A=,ω=,F( )=.

10. (6 分)已知等差数列{an)的前 n 项和为 Sn=﹣n +(10+k)n+(k﹣1) ,则实数 k=,an=.

2

11. (6 分)设函数 f(x)= 范围是.

,则 f(1)=,若 f(f(a) )≤3,则实数 a 的取值

12. (6 分)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的 侧视图、俯视图,则其正视图的面积为,三棱锥 D﹣BCE 的体积为.

13. (4 分)点 F 是抛物线 T:x =2py(y>0)的焦点,F1 是双曲线 C:

2



=1(a>0,b

>0) 的右焦点, 若线段 FF1 的中点 P 恰为抛物线 T 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点, 则双曲线 C 的离心率 e=.

14. (4 分)已知向量 =(1, t |的取值范围为.

) , =(﹣2,0)若 ⊥ ( ≠ ) ,当 t∈[﹣

,2]时,| ﹣

15. (4 分)对于任意实数 x,记[x]表示不超过 x 的最大整数,{x}=x﹣[x],<x>表示不小于 x 的最小整数,若 x1,x2,…xm(0≤x1<x2<…<xm≤n+1 是区间[0,n+1]中满足方程[x]?{x}? <x>=1 的一切实数,则 x1+x2+…+xm 的值是.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分(16.17.18.19 小题各为 15 分,20 小题为 14 分) .解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 1+ (1)求角 A 的大小; (2) 若函数 f (x) =2sin (x+ 的面积. 17. (15 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,三角形 ACD 是正三角形,且 AD=DE=2AB,F 是 CD 的中点. (1)求证:平面 CBE⊥平面 CDE; (2)求二面角 C﹣BE﹣F 的余弦值.
2

=



) ﹣

cos2x, x∈[



], 在 x=B 处取到最大值 a, 求△ ABC

18. (15 分)如图,椭圆 M:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,上、下顶点为 A,B,点

P(0,2)关于直线 y=﹣x 的对称点在椭圆 M 上,过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同 的点 C,D(C 在线段 PD 之间) . (1)求椭圆 M 的方程; (2)求 ? 的取值范围;

(3)当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵坐标是否为定值?若是,求出该定值;若 不是,请说明理由.

19. (15 分)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,等比数列{bn}的公比为 q(q>0) ,且满足 a1=b1=1,a2=b3,a6=b
5

(1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: + +…+ <2.

20. (14 分)已知函数 f(x)=log2 x﹣mlog2x+a,g(x)=x +1. (1)当 a=1 时,求 f(x)在 x∈[1,4]上的最小值; (2)当 a>0,m=2 时,若对任意的实数 t∈[1,4],均存在 xi∈[1,8](i=1,2) ,且 x1≠x2,使 得 =f(t)成立,求实数 a 的取值范围.

2

2

浙江省 2015 届高考数学全真模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},N={2,3,6},则?U(M∪N)=() A.{1,2,3} B.{5} C.{1,3,4} D.{2} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由 M 与 N 求出两集合的并集,根据全集 U 求出并集的补集即可. 解答: 解:∵M={1,2,4},N={2,3,6}, ∴M∪N={1,2,3,4,6}, ∵U={1,2,3,4,5,6}, ∴?U(M∪N)={5}. 故选 B 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 p:x ﹣5x+6≤0,q:|x﹣a|<1,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值 范围为() A.(﹣∞,3] B.[2,3] C.(2,+∞) D.(2,3) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出不等式的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可. 2 解答: 解:由 x ﹣5x+6≤0 得,即 2≤x≤3, 由|x﹣a|<1 得 a﹣1<x<a+1, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 ,即 ,
2

则 2<a<3. 故选:D 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式的性质求出命题的等价条件 是解决本题的关键.

3. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 A.6 B. 4

则目标函数 z=2x+y 的最小值为() C. 3 D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件 的可行域,再求出可

行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数 2x+y 的最小 值. 解答: 解:由约束条件 得如图所示的三角形区域,

令 2x+y=z,y=﹣2x+z, 显然当平行直线过点 A(1,1)时, z 取得最小值为 3; 故选 C.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行 域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 4. (5 分)设 α,β,γ 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,下列命题中正确 的是() A.若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ B. 若 m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C. 若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β D.若 α∥β,m?β,m∥α,则 m∥β 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 逐个选项进行验证:A 中 α 与 γ 可以平行,也可以相交;B 中的直线 m 与 n 可以平 行、相交或异面;C 中可能有 m?β;选项 D 由条件可得 m∥β. 解答: 解:选项 A 中 α 与 γ 可以平行,也可以相交,故错误; 选项 B 中的直线 m 与 n 可以平行、相交或异面,故错误; 选项 C 中可能有 m?β,故错误; 选项 D 正确,若 α∥β,m∥α,可得 m?β,或 m∥β,结合条件可得 m∥β. 故选 D 点评: 本题为直线与平面位置关系的判断,熟练掌握定理结合图象是解决问题的关键,属 基础题.

5. (5 分)设 , 为两个互相垂直的单位向量,已知

= ,

= ,

=m +n .若△ ABC

是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 m+n=() A.1 或﹣3 B . ﹣1 或 3 C.2 或﹣4 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据△ ABC 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形可得出 量表示出 和 ,列出关系式,即可求出答案.

D.﹣2 或 4



的关系,用已知向

解答: 解:∵△ABC 是等腰直角三角形,∠A 为直角, ∴AB⊥AC, 由已知得, = ∴ = =0; = ;

=(m﹣1) +n ; =( )[(m﹣1) +n ]=m﹣n﹣1=0;

即 m﹣n=1; 又△ ABC 是等腰三角形, ∴AB=AC, ∵ ∴ = = = ; , = ,得(m﹣1) +n =2;
2 2

∵m﹣n=1, 2 ∴m=n+1,代入方程,得 2n =2,n=±1; ∴ 或 ;

∴m+n=3 或 m+n=﹣1.

故答案选:B. 点评: 本题考查了平面向量的基本定理,解题的关键是熟练掌握向量的运算法则.

6. (5 分)已知 xy=1,且 O<y< ,则

的最小值为()

A.2

B.

C. 4

D.4

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: xy=1,且 O<y< ,可得 4y= ,x>2, 可得出. 解答: 解:∵xy=1,且 O<y< , ∴4y= ,x>2, ∴ . .代入变形利用基本不等式的性质即



=

=

=

+

=4



当且仅当 x﹣ =2

,解得 x=

时取等号.



的最小值为 4



故选:C. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 7. (5 分)如图,正△ ABC 的中心位于点 G(0,1) ,A(0,2) ,动点 P 从 A 点出发沿△ ABC 的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π) ,向量 射影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y=f(x)的图象是() 在 =(1,0)方向的

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,可通过几个特殊点来确定正确选项,可先求出射影长最小时的点 B 时 x 的 值及 y 的值,再研究点 P 从点 B 向点 C 运动时的图象变化规律,由此即可得出正确选项. 解答: 解:设 BC 边与 Y 轴交点为 M,已知可得 GM=0.5,故 AM=1.5,正三角形的边长为

连接 BG, 可得 tan∠BGM=

=

, 即∠BGM=

, 所以 tan∠BGA=

, 由图可得当 x=

时,射影为 y 取到最小值,其大小为﹣

(BC 长为

) ,由此可排除 A,B 两个选项;

又当点 P 从点 B 向点 M 运动时,x 变化相同的值,此时射影长的变化变小,即图象趋于平缓, 由此可以排除 D,C 是适合的; 故选:C. 点评: 由于本题的函数关系式不易获得,可采取特值法,找几个特殊点以排除法得出正确 选项,这是条件不足或正面解答较难时常见的方法. 8. (5 分)如图,已知点 S(0,3) ,SA,SB 与圆 C:x +y ﹣my=0(m>0)和抛物线 x =﹣ 2py(p>0)都相切,切点分别为 M,N 和 A,B,SA∥ON, =λ ,则实数 λ 的值为()
2 2 2

A.4

B. 2

C. 3

D.3

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由圆的切线的性质,结合平行的条件可得四边形 MSNO 为菱形,由直线和圆相切的 条件和勾股定理、弦长公式,解方程可得 m=2,直线的斜率为 ,可得 MN= ,由直线和 抛物线相切的条件:判别式为 0,可得切点 A,B 的坐标,可得 AB 的长为 4 ,由向量共线 定理,即可得到所求值. 解答: 解:由 S 向圆作切线,可得 SM=SN,∠MSO=∠NSO, 若 SA∥ON,即有四边形 MSNO 为菱形, 在直角△ SMO 中,tan∠SMN= = ,

圆 C:x +y ﹣my=0 的圆心为(0, ) ,半径 r= , 设切线为 y=kx+3,k>0, 由相切的条件可得 MN=2 即有 k= ,② = ,① = ,

2

2

将②代入①可得 m=2,k= , 则 MN= , 2 由 y= x+3 和抛物线 x =﹣2py, 2 可得 x +2 px+6p=0, 2 由判别式 12p ﹣24p=0, 解得 p=2, 求得切点 A(﹣2 ,﹣3) , 由于 =λ ,即 MN∥AB, , =4.

则 AB=4 即有 λ=

故选:A.

点评: 本题考查直线和圆、抛物线相切的条件,向量共线的定理的运用,考查直线和圆相 交的弦长公式,以及平面几何的勾股定理,考查运算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题有 7 小题,共 36 分(其中 1 道三空题,每空 2 分,3 道两空题,每空 3 分,3 道一空题,每空 4 分) . 9. (6 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如 图所示,则 A=2,ω=2,F( )=1.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据图象由最值确定 A=2,由周期确定 ω=2π÷T=2,得到 f(x)=2sin(2x+φ) ,然后 以点( ,2)代人求 φ. π﹣ ,

解答: 解:由图象易知 A=2, T= ∴T=π,ω= =2,

∴f(x)=2sin(2x+φ) ,由 f( ∴φ= , ) , +

)=2sin(2×

+φ=2,且 0<φ<π,

∴f(x)=2sin(2x+ ∴f( )=2sin(2×

)=1,

故答案为:2;2;1. 点评: 本题主要考查由部分图象怎样求函数的解析式问题及计算能力. 10. (6 分)已知等差数列{an)的前 n 项和为 Sn=﹣n +(10+k)n+(k﹣1) ,则实数 k=1,an= ﹣2n+12. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 2 分析: 等差数列{an) 的前 n 项和为 Sn=﹣n + (10+k) n+ (k﹣1) , 可得 k=1, 可得 Sn=﹣n +11n; 当 n=1 时,可得 a1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可得出.
2

解答: 解:∵等差数列{an)的前 n 项和为 Sn=﹣n +(10+k)n+(k﹣1) , ∴k=1, ∴Sn=﹣n +11n, 当 n=1 时,a1=﹣1+11=10; 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n +11n﹣[﹣(n﹣1) +11(n﹣1)]=﹣2n+12, 当 n=1 时上式也成立. ∴an=﹣2n+12. 故答案为:1;﹣2n+12. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推式的应用,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.
2

2

11. (6 分)设函数 f(x)= 取值范围是(﹣∞, ].

,则 f(1)=﹣1,若 f(f(a) )≤3,则实数 a 的

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数 f(x)= ,将 x=1 代入,可求出 f(1) ;再讨论 f(a)

的正负,代入求出 f(a)≥﹣3,再讨论 a 的正负,求实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)=
2



∴f(1)=﹣1 =﹣1, 2 ①若 f(a)<0,则 f (a)+2f(a)≤3, 解得,﹣3≤f(a)≤1, 即﹣3≤f(a)<0, 2 ②若 f(a)≥0,则﹣f (a)≤3,显然成立; 则 f(a)≥﹣3, 2 ③若 a<0,则 a +2a≥﹣3, 解得,a∈R, 即 a<0. 2 ④若 a≥0,则﹣a ≥﹣3, 解得,0≤a≤ , 综上所述,实数 a 的取值范围是: (﹣∞, ]. 故答案为:﹣1; (﹣∞, ]. 点评: 本题考查了分段函数的应用,再已知函数值的范围时,要对自变量讨论代入函数求 解,属于基础题. 12. (6 分)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的 侧视图、俯视图,则其正视图的面积为 4,三棱锥 D﹣BCE 的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可知, 正视图为直角三角形, 直角边长为 2, 4, 可得正视图的面积; 证明 AB⊥ 平面 ACDE,求出四棱锥 B﹣ACDE 的体积、三棱锥 E﹣ACB 的体积,即可求出三棱锥 D﹣ BCE 的体积. 解答: 解:由题意可知,正视图为直角三角形,直角边长为 2,4,故正视图的面积为 =4; 四棱锥 B﹣ACDE 中,AE⊥平面 ABC,∴AE⊥AB, 又 AB⊥AC,且 AE 和 AC 相交, ∴AB⊥平面 ACDE, 又 AC=AB=AE=2,CD=4, 则四棱锥 B﹣ACDE 的体积 V= 又三棱锥 E﹣ACB 的体积为 ∴三棱锥 D﹣BCE 的体积为 4﹣ = . 故答案为:4; . 点评: 本题考查正视图的面积,考查考查几何体的体积,考查学生分析解决问题的能力, 难度中等. = , =4,

13. (4 分)点 F 是抛物线 T:x =2py(y>0)的焦点,F1 是双曲线 C:

2



=1(a>0,b

>0) 的右焦点, 若线段 FF1 的中点 P 恰为抛物线 T 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点, 则双曲线 C 的离心率 e= .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 双曲线 C 的渐近线方程为 y= x,代入 x =2py,可得 P(

2



) ,利用 P 是线

段 FF1 的中点,可得 P( , ) ,由此即可求出双曲线 C 的离心率.
2

解答: 解:双曲线 C 的渐近线方程为 y= x,代入 x =2py,可得 P(



) ,

∵F(0, ) ,F1(c,0) ∴线段 FF1 的中点 P( , ) ,


2

= ,
2

= ,

∴a =8b , 2 2 ∴c =9b , ∴e= = 故答案为: . .

点评: 本题考查双曲线 C 的离心率,考查抛物线、双曲线的性质,考查学生的计算能力, 确定 P 的坐标是关键.

14. (4 分)已知向量 =(1, t |的取值范围为[1, ].

) , =(﹣2,0)若 ⊥ ( ≠ ) ,当 t∈[﹣

,2]时,| ﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知求出 用 t 表示的坐标, 得到 t ,2]求其范围. 解答: 解:由已知向量 =(1, ) , =(﹣2,0)若 ⊥ ( ≠ ) ,设 =(x,y) ,则﹣ =(0,t) , 的坐标, 然后用 t 表示| ﹣t |, 根据 t∈[﹣

2x+0=0,即 x=0,所以 =(0,y) ,则 t

所以 ﹣t

=(1,

﹣t) ,

所以,| ﹣t

| =1+(

2

﹣t) ,又 t∈[﹣

2

,2],

所以当 t=

时,| ﹣t

| 的最小值为 1;当 t=

2

时,| ﹣t

| 的最大值为 13;

2

所以| ﹣t

|的取值范围为[1,

];

故答案为:[1, ]. 点评: 本题考查了向量的加减法的坐标运算以及向量模的求法. 15. (4 分)对于任意实数 x,记[x]表示不超过 x 的最大整数,{x}=x﹣[x],<x>表示不小于 x 的最小整数,若 x1,x2,…xm(0≤x1<x2<…<xm≤n+1 是区间[0,n+1]中满足方程[x]?{x}? <x>=1 的一切实数,则 x1+x2+…+xm 的值是 + .

考点: 数列与函数的综合;函数的值. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 根据新定义,[x]表示不超过 x 的最大整数,{x}=x﹣[x],需要分类讨论,根据条件得 到 x═a+ ,继而求出 a 的可能值,最后代入计算即可.

解答: 解:显然,x 不可能是整数, 否则由于{x}=0,方程[x]?{x}?<x>=1 不可能成立. 设[x]=a,则{x}=x﹣a,x=a+1, 代入得 a(x﹣a) (a+1)=1, 解得 x=a+ .

考虑到 x∈[0,n+1],且[x]≠0,所以 a=1,2,3,4,5,…,n, 故符合条件的解有 n 个,即 m=n, 则 x1+x2+…+xm=x1+x2+…+xn= = 故答案为: +1﹣ = + . + +1﹣ . +…+ ﹣

点评: 本题考查了函数的值,需要分类进行讨论,新定义一般需要认真读题,理解题意, 灵活利用已知定义,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分(16.17.18.19 小题各为 15 分,20 小题为 14 分) .解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 1+ (1)求角 A 的大小; = .

(2) 若函数 f (x) =2sin (x+ 的面积.

2

) ﹣

cos2x, x∈[



], 在 x=B 处取到最大值 a, 求△ ABC

考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 解三角形. 分析: (1)把已知等式中的切化弦,利用正弦定理把边转化为角的正弦,整理可求得 cosA 的值,进而求得 A. (2)把利用两角和公式对函数解析式化简,利用正弦函数的性质求得函数最大值时 B,C 和 a 的值,进而利用正弦定理求得 c,最后利用三角形面积公式求得答案. 解答: 解: (1)因为 1+ 所以 =2sinC, ? = ,

又因为 sinC≠0,所以 cosA= , 所以 A= .
2

(2)因为 f(x)=2sin (x+ 所以,当 2x﹣ 此时 B= = ,即 x= ,a=3.

)﹣

cos2x=1+2sin(2x﹣

) ,

时,f(x)max=3,

,C=

因为

=

,所以 c=

=

=



则 S= acsinB= ×3×

×

=



点评: 本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质.考查了学生基础公式的运用和一 定的运算能力. 17. (15 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,三角形 ACD 是正三角形,且 AD=DE=2AB,F 是 CD 的中点. (1)求证:平面 CBE⊥平面 CDE; (2)求二面角 C﹣BE﹣F 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 分析: (1)取 CE 的中点 M,连接 BM、FM,通过证明 BM⊥平面 CDE,利用平面与平面 垂直的判定定理证明平面 BCE⊥平面 CDE. (2)过 F 作 FN⊥CE 交 CE 于 N,过 N 作 NH⊥BE,连接 HF,则∠NHF 就是二面角 C﹣BE ﹣F 的平面角. 解答: (1)证明:因为 DE⊥平面 ACD,DE?平面 CDE, 所以平面 CDE⊥平面 ACD. 在底面 ACD 中,AF⊥CD,由面面垂直的性质定理知,AF⊥平面 CDE. 取 CE 的中点 M,连接 BM、FM, 由已知可得 FM=AB 且 FM∥AB,则四边形 FMBA 为平行四边形,从而 BM∥AF. 所以 BM⊥平面 CDE. 又 BM?平面 BCE,则平面 CBE⊥平面 CDE.…(7 分) (2)解:过 F 作 FN⊥CE 交 CE 于 N,过 N 作 NH⊥BE,连接 HF, 则∠NHF 就是二面角 C﹣BE﹣F 的平面角. 在 Rt△ FNH 中,NH= 所以 cos∠NHF= = …(15 分) ,FH= ,

故二面角 C﹣BE﹣F 的余弦值为

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,考查二面角的余弦值,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.

18. (15 分)如图,椭圆 M:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,上、下顶点为 A,B,点

P(0,2)关于直线 y=﹣x 的对称点在椭圆 M 上,过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同 的点 C,D(C 在线段 PD 之间) . (1)求椭圆 M 的方程; (2)求 ? 的取值范围;

(3)当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵坐标是否为定值?若是,求出该定值;若 不是,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由已知得 a=2,又 e= = ,故 c= ,b=1,即可求椭圆 M 的方程;
2 2

(2)分类讨论,y=kx+2 代入椭圆方程消去 y,得(1+4k )x +16kx+12=0,利用数量积公式 求 ? 的取值范围; x+1,BC:y= x﹣1,联立方程组,消去 x,解得

(3)由题意得:AD:y=

y=

,即可得出结论.

解答: 解: (1)由已知得 a=2, 又 e= = ,故 c= ,b=1, .…(4 分) ? =﹣1;…(5 分)

∴椭圆 M 的方程

(2)①当直线 l 斜率不存在时,C(0,1) ,D(0,﹣1) ,

当直线斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+2,C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 2 2 y=kx+2 代入椭圆方程消去 y,得(1+4k )x +16kx+12=0, x1+x2=﹣ ,x1x2=
2



△ >0,可得 4k >3,…(7 分)

?

=x1x2+y1y2=﹣1+ ? ? < .



∴得﹣1< 综上可知,

的取值范围是[﹣1,

) .…(10 分)

②由题意得:AD:y=

x+1,BC:y=

x﹣1,

联立方程组,消去 x,解得 y=



又 4kx1x2=﹣3(x1+x2) ,得 y= . ∴点 Q 的纵坐标为定值 .…(15 分) 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生 的计算能力,属于中档题. 19. (15 分)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,等比数列{bn}的公比为 q(q>0) ,且满足 a1=b1=1,a2=b3,a6=b
5

(1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: + +…+ <2.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)由(1)可得:bn=2
n﹣1

,可得 Tn=2 ﹣1,可得

n



(n≥2 时) ,即可证明.

解答: (1)解:满足 a1=b1=1,a2=b3,a6=b5, ∴ ,解得: ,

故 an=3n﹣2. n﹣1 (2)证明:由(1)可得:bn=2 , ∴Tn= =2 ﹣1,
n





(n≥2 时) ,

∴当 n≥2 时, ∴ + +…+ = +…+



+…+

=1+ +

+ …+

=

=2

<2.

当 n=1 时,

=1<2 符合.

综上所述,不等式成立. 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=log2 x﹣mlog2x+a,g(x)=x +1. (1)当 a=1 时,求 f(x)在 x∈[1,4]上的最小值; (2)当 a>0,m=2 时,若对任意的实数 t∈[1,4],均存在 xi∈[1,8](i=1,2) ,且 x1≠x2,使 得 =f(t)成立,求实数 a 的取值范围.
2 2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) ,转化成二次函数

问题,利用单调性研究最小值. 2 (2)令 log2t=u(0≤u≤2) ,则 f(t)=u ﹣2u+a 的值域是[a﹣1,a].由条件列式求解. 解答: 解: (1) 0≤log2x≤2. 所以① ,即 m≤0,此时 f(x)min=f(1)=1,②当 时, ,其中 ,

即 m≥4,此时 f(x)min=f(4)=5﹣2m,③0<m<4 时,当 .

所以,f(x)min=

…(6 分)

(2)令 log2t=u(0≤u≤2) ,则 f(t)=u ﹣2u+a 的值域是[a﹣1,a]. 因为 y= ,利用图形可知

2

,即



解得 …(14 分) 点评: 本题主要考查以对数函数为背景的二次函数问题,属于中档题目,2015 届高考常考 题型.


推荐相关:

浙江省2015届高考数学全真模拟试卷(理科)

浙江省 2015 届高考数学全真模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的....


浙江省2015届高考数学全真模拟试卷(理科)

浙江省 2015 届高考数学全真模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的....


浙江省浙大附中2015年高考数学全真模拟试卷(理科)(解析版)

(共 24 页) 2015浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题 1.设集合 A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x+1>0},则集合 A∩...


浙江省浙江大学附属中学2015届高三数学下学期全真模拟试题理(含解析)(新)

浙江省浙江大学附属中学2015届高三数学下学期全真模拟试题理(含解析)(新)_数学_高中教育_教育专区。浙大附中 2015 年高考全真模拟试卷 数学(理科)试题卷试题卷分...


2014~2015学年度 最新 河南2015届高三全真模拟试卷理科数学试题及答案

2014~2015学年度 最新 河南2015届高三全真模拟试卷理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年全国统一考试 项城三高 2015 届高三全真模拟试卷 理科数学 本...


浙江省浙大附中2015届高三高考全真模拟数学(理)试卷 Word版含答案

浙江省浙大附中2015届高三高考全真模拟数学(理)试卷 Word版含答案_其它课程_高中...(B) 10 (C) 16 (▲)(D) 22 数学(理科)试题卷一、选择题 1.设集合 A...


2015年高考理科数学全真模拟试题 (1)

2015高考理科数学全真模拟试题 (1)_高考_高中教育_教育专区。高考 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全真模拟试题 分值:150 分 时间:120 分钟 一...


浙大附中2015年高考全真模拟数学(理科)试卷

浙大附中2015高考全真模拟数学(理科)试卷_高考_高中教育_教育专区。浙大附中 2015高考全真模拟数学(理科)试卷试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为 ...


浙江省2015届高三高考全真模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

浙江省2015届高三高考全真模拟考试数学(文)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。浙江省 2015 年普通高考(考前全真模拟考试) 数学(文) 试题卷考试须知: 1...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com