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浙江省杭州市建德市严州中学2014-2015学年高一上学期1月月考数学试卷


浙江省杭州市建德市严州中学 2014-2015 学年高一上学期 1 月月 考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 2 1. (4 分)已知集合 A={y|y=x,x∈R},B={y|y=x ,x∈R}则 A∩B 等于() A. R A.﹣1 B. B. (﹣1,1) C. =lo

g2 B. 0 C. 1 ,则 f(﹣1)=() D.2

6. (4 分)若函数

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

7. (4 分)已知 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对于任意的实数 x 有 则 A.±1 ,则实数 b 的值为() B.±3 C . ﹣1 或 3 D.﹣3 或 1

成立,

8. (4 分)已知函数 f(x)=log2 A.1 9. (4 分)函数 y= B. 2

在 R 上的值域为,则实数 m 的值为() C. 3 D.4

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

10. (4 分)已知函数 A.x1x2<0 B.x1x2=1

有两个零点 x1,x2,则有() C.x1x2>1 D.0<x1x2<1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

11. (4 分)已知
2

,则

的值为.

12. (4 分)已知幂函数 f(x)=(m +2m﹣2)x m=.
2

2m+3

(m∈R)在(0,+∞)上是减函数,则

13. (4 分)二次函数 f(x)=ax +4(a+1)x﹣3 在内值域也是,则实数 k 的取值范围是.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设全集 I=R,已知集合 .

(Ⅰ)求(?IM)∩N; (Ⅱ)记集合 A={2},已知 B={x|a﹣1≤x≤5﹣a,a∈R},若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 18. (10 分)己知 tan(π+α)=﹣ . (1)求 (2)2cos α﹣sinαcos(π﹣α) 19. (12 分) 已知 f (x) 是定义在上的奇函数, 当 x∈时, 函数的解析式为 f (x) = ﹣ (a∈R) .
2



(1)求出 f(x)在上的解析式; (2)求 f(x)在上的最大值. (3)对任意的 x1,x2∈都有|f(x1)﹣f(x2)|≤M 成立,求最小的整数 M 的值. 20. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表: x y ﹣1 1 3 1 ﹣1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式. (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx) (k>0)周期为 (kx)=m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 21. (12 分)设函数 f(x)=x|x﹣a|+b. (1)当 a=1,b=1 时,求所有使 f(x)=x 成立的 x 的值. 2 2 (2)若 f(x)为奇函数,求证:a +b =0; (3)设常数 b< ,且对任意 x∈,f(x)<0 恒成立,求实数 a 的取值范围. ,当 时,方程 f

浙江省杭州市建德市严州中学 2014-2015 学年高一上学期 1 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 2 1. (4 分)已知集合 A={y|y=x,x∈R},B={y|y=x ,x∈R}则 A∩B 等于() A . R B. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由一次、二次函数的值域求出集合 A、B,由交集的运算求出 A∩B. 2 解答: 解:因为 A={y|y=x,x∈R}=R,B={y|y=x ,x∈R}= 2. (4 分)函数 f(x)= +lg(1﹣x)的定义域是() A. (﹣1,1] B. (﹣1,1) C. 解答: 解:令 y=g(x)=f(x) +x, ∵f(2)=1, ∴g(2)=f(2)+2=1+2=3, ∵函数 g(x)=f(x)+x 是偶函数, ∴g(﹣2)=3=f(﹣2)+(﹣2) ,解得 f(﹣2)=5. 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性,以及抽象函数及其应用,同时考查了转化的思想, 属于基础题. 4. (4 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A>0,ω>0,x∈R)的部分图象如右图所示,则函数 的表达式为()

A.f(x)=4sin( C. f(x)=4sin(

x+ x﹣

) )

B. f(x)=4sin( D.f(x)=4sin(

x﹣ x+ )



考点: 专题: 分析: 解答: 即

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 三角函数的图像与性质. 根据函数的图象确定 A,ω 和 φ 的值即可求该函数的解析式. 解:由图象知 A=4,函数的周期 T=2×=16. ,则 ω= ,

即 f(x)=4sin(

x+φ) ,

由图象知 f(2)=﹣4, 即 4sin( 则 sin( 即 ×2+φ)=﹣4, +φ)=﹣1, +2kπ, +2kπ, x﹣ +2kπ)=4sin( x﹣ ) ,

+φ=﹣

则 φ=﹣

则 f(x)=4sin(

故选:C 点评: 本题主要考查三角函数解析式的求解,利用条件确定 A,ω 和 φ 的值是解决本题的 关键.

5. (4 分)若 g(x)=1﹣2x,f=log2 A.﹣1 B. 0

,则 f(﹣1)=() C. 1 D.2

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用复合函数的定义先求出函数 f(x)的表达式然后求值或者由 g(x)=﹣1,求出 对应的 x,直接代入求值. 解答: 解:方法 1: 因为 g(x)=1﹣2x,设 t=1﹣2x,则 x= , ,所以原式等价为

所以



方法 2: 因为 g(x)=1﹣2x,所以由 g(x)=1﹣2x=﹣1,得 x=1. 所以 f(﹣1)= .

故选 A. 点评: 本题主要考查了函数的解析式的求法以及对数的基本运算,比较基础.

6. (4 分)若函数

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 由题意知,函数的定义域为 R,即 mx +4mx+3≠0 恒成立.①分 m=0;②m≠0,△ <0,求出 m 的范围即可. 解答: 解:依题意,函数的定义域为 R,即 mx +4mx+3≠0 恒成 ①当 m=0 时,得 3≠0,故 m=0 适合 ②当 m≠0 时,△ =16m ﹣12m<0,得 0<m< , 综上可知 0≤m 故选:B 点评: 考查学生理解函数恒成立时所取的条件,以及会求函数的定义域,要注意分类讨论 思想的应用.
2 2

7. (4 分)已知 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对于任意的实数 x 有 则 A.±1 ,则实数 b 的值为() B.±3 C . ﹣1 或 3 D.﹣3 或 1

成立,

考点: 余弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 由 ,知函数的对称轴为 x= ,由三角函数的图象和性质知,

对称轴处取得函数的最大值或最小值,而函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 的最大值和最小值分 别为 2+b,b﹣2,由此可求实数 b 的值 解答: 解:∵ ,

∴f(x)=2cos(ωx+φ)+b 的对称轴为 x= ∵ ,

∴2+b=﹣1,或﹣2+b=﹣1 ∴b=﹣3 或 b=1 故选 D 点评: 本题考查了三角函数的图象和性质,函数性质的抽象表达,运用三角函数的对称性 解题是解决本题的关键

8. (4 分)已知函数 f(x)=log 2 A.1 B. 2

在 R 上的值域为,则实数 m 的值为() C. 3 D.4

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先由函数的值域可知, ≤ 解答: 解:∵函数 f(x)=log2 ∴ ≤ ∴ ≤﹣1+ 即, ≤ 则 ≤2, ≤2, ≤3, ≤2,进而可化为 ≤ 在 R 上的值域为, ≤3,从而 =3.

=3,则 m=3,

故选 C. 点评: 本题考查了函数的值域与单调性的混合应用,属于基础题. 9. (4 分)函数 y= 的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 作图题. 分析: 依据函数的性质及函数值的变化范围对选项逐个筛选即可得到正确答案. 解答: 解:函数是非奇非偶的,故可排除 C、D, 对于选项 A、B,当 x 趋向于正无穷大时,函数值趋向于 0, 故可排除 B, 故选 A 点评: 本题考查利用函数式研究函数图象以及分析问题解决问题的能力,属基础题.

10. (4 分)已知函数 A.x1x2<0 B.x1x2=1

有两个零点 x1,x2,则有() C.x1x2>1 D.0<x1x2<1

考点: 函数的零点与方程根的关系;指数函数与对数函数的关系. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 先将 f(x)=|lgx|﹣( ) 有两个零点转化为 y=|lgx|与 y=2

x

﹣x

有两个交点,然后在同
﹣x1

一坐标系中画出两函数的图象得到零点在(0,1)和(1,+∞)内,即可得到﹣2 ﹣x2 =lg x2,然 后两式相加即可求得 x1x2 的范围. 解答: 解:f(x)=|lgx|﹣( ) 有两个零点 x1,x2 即 y=|lgx|与 y=2 有两个交点 ﹣x 由题意 x>0,分别画 y=2 和 y=|lgx|的图象 发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点 不妨设 x1 在(0,1)里 x2 在(1,+∞)里 ﹣x1 ﹣x1 那么 在(0,1)上有 2 =﹣lgx1,即﹣2 =lgx1…① ﹣x2 在(1,+∞)有 2 =lg x2…② ﹣x2 ﹣x1 ①②相加有 2 ﹣2 =lgx1x2 ﹣x2 ﹣x1 ﹣x2 ﹣x1 ∵x2>x1,∴2 <2 即 2 ﹣2 <0 ∴lgx1x2<0 ∴0<x1x2<1 故选 D.
﹣x

=lgx1 和 2

x

点评: 本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题.函数 的零点等价于函数与 x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. (4 分)已知 ,则 的值为 .

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 运用 π﹣α 的诱导公式:cos(π﹣α)=﹣cosα,将( 解答: 解:∵ ∴ =﹣cos( =cos )= , , )看作整体,即可得到.

故答案为: . 点评: 本题考查诱导公式及运用,考查运算能力,属于基础题. 12. (4 分)已知幂函数 f(x)=(m +2m﹣2)x m=﹣3. 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2 2m+3

(m∈R)在(0,+∞)上是减函数,则

函数单调性的性质. 函数的性质及应用. 根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论. 解:∵函数是幂函数,

∴m +2m﹣2=1, 2 即 m +2m﹣3=0, 解得 m=1 或 m=﹣3, ∵幂函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴2m+3<0, 即m ,

∴m=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查幂函数的定义和性质,利用幂函数的单调性是解决本题的关键,比较 基础. 13. (4 分)二次函数 f(x)=ax +4(a+1)x﹣3 在. 考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据余弦函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=cosωx 在(0, ∴ , )单调递减,
2

即 0<ω≤2, 故答案为: (0,2] 点评: 本题主要考查三角函数单调性的应用,利用余弦函数的单调性是解决本题的关键. 15. (4 分)已知定义在 R 上的周期函数 f(x)的部分图象如下,则 f(x)的一个解析式为 f (x)=﹣|x﹣2k|+1,k∈Z,x∈

考点: 函数的周期性;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据图象,确定函数的周期,即可得到结论. 解答: 解:由图象可知函数为偶函数,且函数的周期为 2, 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=﹣|x|+1, 则 f(x)=﹣|x﹣2k|+1,k∈Z,x∈, 故答案为:f(x)=﹣|x﹣2k|+1,k∈Z,x∈ 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,结合函数的图象和周期性是解决本题的关键. 16. (4 分)对于函数 f(x)=x ﹣2x+k,k∈R,当 a+b≤2 时,在定义域内值域也是,则实数 k 的取值范围是 .
2

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义域及函数在单调性,求出函数值域,使当 x∈时,f(x)的值域也是的 a 与 b 的值,即可判定 k 的范围. 2 解答: 解析:∵f(x)=(x﹣1) +k﹣1 又 a+b≤2 且 a<b 则 a<1; 当(ⅰ) b<1 时,f(x)在区间上递减,进而有: 两式相减可得:a+b=1 于是 a,b 可看成是方程 x ﹣x+k﹣1=0 两根,由根的分布规律可知:
2

当(ⅱ)b≥1 时,则根据题意有:

∴﹣1≤a≤0

进而:0≤k≤1.综合以上,得到:



点评: 本题主要考查了利用函数单调性来求函数的值域,属于基础题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设全集 I=R,已知集合 (Ⅰ)求(?IM)∩N; .

(Ⅱ)记集合 A={2},已知 B={x|a﹣1≤x≤5﹣a,a∈R},若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (I)首先化简集合 M 和 N,然后根据补集和交集定义得出答案; (II)由 A∩B=B 得出 B?A,分别求出当 B=φ,B≠φ 时求出 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)M={﹣3},N={2,﹣3},∴(CIM)∩N={2}.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(6 分 ) (Ⅱ)A={2},因为 A∩B=B,所以 B?A . 当 B=φ 时,a﹣1>5﹣a,∴a>3;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 当 B≠φ 时,a﹣1=5﹣a=2,∴a=3, 综上得 a≥3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 此题考查了交集、补集的混合运算, (2)问要分类讨论. 18. (10 分)己知 tan(π+α)=﹣ . (1)求 (2)2cos α﹣sinαcos(π﹣α) 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式利用诱导公式化简,求出 tanα 的值, (1)原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系变形,把 tanα 的值代入计算 即可求出值; (2)原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系变形,把 tanα 的值代入计算 即可求出值. 解答: 解:tan(π+α)=tanα= ,
2



(1)原式=

=

=

=



(2)原式=

=

=

=2.1.

点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 19. (12 分) 已知 f (x) 是定义在上的奇函数, 当 x∈时, 函数的解析式为 f (x) = (1)求出 f(x)在上的解析式; (2)求 f(x)在上的最大值. ﹣ (a∈R) .

(3)对任意的 x1,x2∈都有|f(x1)﹣f(x2)|≤M 成立,求最小的整数 M 的值. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的最值及 其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先设 x∈,则﹣x∈,然后结合已知的解析式、奇函数的性质即可解决问题; (2)根据函数的特点,可采用配方法结合自变量的取值范围解决问题; (3)因为是不等式恒成立问题,所以转化为函数的最值问题来解. 解答: 解: (1)因为 f(x)是定义在上的奇函数, 所以 f(0)=1﹣a=0,所以 a=1; 当 x∈时,则﹣x∈,所以 f(x)=﹣f(﹣x)= 化简得 f(x)=2 ﹣4 .x∈. (2)由(1)知,x∈时,
x x x x



,其中 2 ∈,

x

所以当 2 =1 时,fmax(x)=0;2 =2 时,fmin(x)=﹣2, 根据对称性可知 f(x)在上的最大值为 2. (3)因为 f(x)为上的奇函数,且 f(0)=0,结合(2)可知,该函数在定义域上的最大值 为 2,最小值为﹣2, |f(x1)﹣f(x2)|≤fmax(x)﹣fmin(x)=4,所以 M=4 点评: 本题综合考查了函数的奇偶性、单 调性以及函数的最值问题;同时,涉及到不等式 恒成立的问题一般转化为函 数的最值问题来解. 20. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表: x y ﹣1 1 3 1 ﹣1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式. (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx) (k>0)周期为 (kx)=m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;作图题;综合题;转化思想. 分析: (1)根据表格提供的数据,求出周期 T,解出 ω,利用最小值、最大值求出 A、B, 结合周期求出 φ,可求函数 f(x)的一个解析式. (2)函数 y=f(kx) (k>0)周期为 出图象,数形结合容易求出 m 的范围. 解答: 解: (1)设 f(x)的最小正周期为 T,得 由 又 ,得 ω=1, ,解得 , ,求出 k, ,推出 的范围,画 ,当 时,方程 f

令 ∴ (2)∵函数 又 k>0,∴k=3, 令 ,∵

,即 .

,解得



的周期为



,∴ 上有两个不同的解,则

, , ,

如图,sint=s 在 ∴方程 f(kx)=m 在 即实数 m 的取值范围是

时恰好有两个不同的解,则 .

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ) 的部分图象确定其解析式, 三角函数的周期性及其求法, 考查作图能力,是基础题. 21. (12 分)设函数 f(x)=x|x﹣a|+b. (1)当 a=1,b=1 时,求所有使 f(x)=x 成立的 x 的值. (2)若 f(x)为奇函数,求证:a +b =0; (3)设常数 b< ,且对任意 x∈,f(x)<0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2 2

考点: 函数的零点;函数奇偶性的判断;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)把 a=1,b=1 代入可得,函数 f(x)=x|x﹣1|+1.解之即可; (2)由奇函数的定义可得﹣x|﹣x﹣a|+b+x|x﹣a|+b=0,令 x=0 得 b=0,令 x=a 得 a=0,可得 2 2 a +b =0; (3)分类讨论:由 b= f(x)<0 恒成立,即 <0,当 x=0 时,a 取任意实数不等式恒成立.当 0<x≤1 时, 恒成立.由函数的区间最值可得.

解答: 解: (1)当 a=1,b=1 时,函数 f(x)=x|x﹣1|+1.由 x|x﹣1|+1=x,可解得 x=1 或 x= ﹣1 (2)若 f(x)为奇函数,则对任意的 x∈R 都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立, 2 2 即﹣x|﹣x﹣a|+b+x|x﹣a|+b=0,令 x=0 得 b=0,令 x=a 得 a=0,∴a +b =0 (3)由 b= <0,当 x=0 时,a 取任意实数不等式恒成立. 恒成立. 当 0<x≤1 时,f(x)<0 恒成立,即

令 g(x)= 令 h(x)=

在 0<x≤1 上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b, . ,则 h(x)在(0, 上单调递减,[ ,+∞)单调递增

当 b<﹣ 1 时,h(x)=

在 0<x≤1 上单调递减;

∴a<hmin(x)=h(1)=1﹣b,∴1+b<a<1﹣b. 而﹣1<b< ∴a<hmin(x)= ∴1+b . 时,h(x)= . ≥ .

点评: 本题考查函数的综合应用,涉及函数的零点,奇偶性和单调性以及最值,属基础题.


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