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2014高三二轮复习古典概型


12.2 古典概型

枣庄一中

马振华

一、 【教学目标】 重点:1.理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法或排列组合知识计算随机事件所含的基本事件数. 2.掌握古典概型的概率计算公式:

P( A) ?

事件A包含的基本事件个数 . 基本事件的总数

难点:1.会判断试验的每一个基本事件是否是等可能的; 2.会计算试验的基本事件总数有多少个;理解事件 A 是什么,计算它包含的基本事件有多少. 能力点: 通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实 世界的联系,培养逻辑推理能力 . 教育点: 1. 启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题; 2.通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 自主探究点:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 易错点:计算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时,它们是否为等可能事件. 考点:容易和排列、组合知识相结合进行考察,多以选择、填空题出现. 二、 【知识梳理】 1.基本事件的特点: (1) 任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 (1)古典概型的两大特点: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等. (2)古典概型的概率计算公式:

P( A) ?

事件A包含的基本事件个数 . 基本事件的总数
1 . 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个 , 那么事件 A 的概率 n

3.一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事 件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可 能性都相等 , 那么每一基本事件的概率都是

P ? A? ?

m . n

三、 【范例导航】 例 1. 有两颗正四面体的玩具, 其四个面上分别标有数字 1, 2,3, 4, 下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验: 用 ? a, b ? 表示结果,其中 a 表示第一颗正四面体玩具出现的点数,b 表示第二颗正四面体玩具出现的点数. 试写出: (1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于 3 ”的概率; (3)事件“出现点数相等”的概率. 【分析】掷正四面体的玩具有 4 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型. 【解答】法一:(1)这个试验的基本事件为:

?1,1? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2,1?? 2, 2 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 3,1? , ? 3, 2 ? , ? 3,3? , ? 3, 4 ? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? , ? 4, 4 ? . 基本事件总数为 16.

(2)记事件 A ? “出现点数之和大于 3 ”,则 A 包含以下 13 个基本事件:

?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2, 2 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ?3,1? , ?3, 2 ? , ?3,3? , ?3, 4 ? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? , ? 4, 4 ? .
13 . 16 (3)记事件 B ? “出现点数相等”,则 B 包含以下 4 个基本事件: ?1,1? , ? 2, 2 ? , ? 3,3? , ? 4, 4 ? . P ? A? ? P ? B? ? 4 1 ? . 16 4
1 1

法二:(1)基本事件总数为 C4 ? C4 ? 16 ,

,,, 1? (2) 记事件 A ? “出现点数之和大于 3 ”,则 A 包含以下 3 个基本事件为: ?11 ? ?1 2 ?, ? 2,

P ? A? ? 1 ? P ? A ? ? 1 ? 4 1 ? . 16 4

(3)记事件 B ? “出现点数相等”,则 B 包含以下 4 个基本事件: ?1,1? , ? 2, 2 ? , ? 3,3? , ? 4, 4 ? .

3 13 ? . 16 16

P ? B? ?

【点评】利用古典概型的计算公式时应注意两点:①所有的基本事件必须是互斥的; ② m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏. 变式训练: 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次, 规定“正方体向上的面上的数字为 a, 正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”. 设 复数为 z ? a ? bi (1)若集合 A ?

?z z为纯虚数? ,用列举法表示集合 A ;
2 2

(2)求事件“复数在复平面内对应的点 ? a, b ? 满足“ a ? ? b ? 6 ? ? 9 ”的概率. 解:(1) A ? ?6i, 7i,8i,9i? . (2)这个试验的基本事件为:

? 0, 6 ? , ? 0, 7 ? , ? 0,8? , ? 0,9 ? , ?1, 6 ? , ?1, 7 ? , ?1,8 ? , ?1,9 ? , ? 2, 6 ? , ? 2, 7 ? , ? 2,8? , ? 2,9 ? , ? 3, 6 ? , ? 3, 7 ? , ? 3,8? , ? 3,9 ? , ? 4, 6 ? , ? 4, 7 ? , ? 4,8? , ? 4,9 ? , ? 5, 6 ? , ? 5, 7 ? , ? 5,8? , ?5,9 ? .
基本事件总数为 24. 设满足“复数在复平面内对应的点 ? a, b ? 满足“ a ? ? b ? 6 ? ? 9 ”的事件为 B .
2 2

当 a ? 0 时, b ? 6, 7,8,9 满足 a ? ? b ? 6 ? ? 9 ;
2 2

当 a ? 1 时, b ? 6,7,8 满足 a ? ? b ? 6 ? ? 9 ;
2 2

当 a ? 2 时, b ? 6,7,8 满足 a ? ? b ? 6 ? ? 9 ;
2 2

当 a ? 3 时, b ? 6 满足 a ? ? b ? 6 ? ? 9 .
2 2

即 B 为 ? 0, 6 ? , ? 0, 7 ? , ? 0,8 ? , ? 0,9 ? , ?1, 6 ? , ?1, 7 ? , ?1,8 ? , ? 2, 6 ? , ? 2, 7 ? , ? 2,8 ? , ? 3, 6 ? 共计 11 个. 所以所求概率 P ? B ? ?

11 . 24

例 2.一个盒子里装有完全相同的 5 个小球,分别标上 1,2,3,4,5 这 5 个数字,现随机抽取两个小球, (1)若小球是不放回的,求两个小球上的数字为相邻整数的概率. (2)若小球是有放回的,求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 【分析】摸球分为“有放回”和“无放回”两种,对于有放回的摸球,每次摸到之后,样本的个体数 不变,并且同一件物品可能被摸到两次;对于无放回的摸球,每次摸到之后样本的个体数目减少,无放回 的摸球经常的提示为“一次抽取 n 件”等等. 【解答】记“两个小球上的数字为相邻整数”为事件 A , (1)法一(不考虑顺序) :不放回地抽取的结果为: (1, 2),(1,3),(1, 4), (1,5), (2,3),(2, 4), (2,5),

(3, 4), (3,5), (4,5) ,共计 10 个,
其中,事件 A 包含的结果为: (1, 2),(2,3), (3, 4),(4,5) , 因此, P ? A? ? 或者: P ? A ? ?

4 2 ? . 10 5
4 4 2 ? ? . 2 C5 10 5

法二(考虑顺序) :不放回地抽取的结果为: (1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5), (2,1),(2,3),(2, 4),(2,5),

(3,1),(3, 2),(3, 4),(3,5), (4,1),(4, 2),(4,3),(4,5), (5,1),(5, 2),(5,3),(5, 4), 共计 20 个,
其中,事件 A 包含的结果为: (1, 2),(2,3), (3, 4),(4,5),(2,1),(3, 2),(4,3),(5, 4), 因此, P ? A? ? 或者: P ? A ? ?

8 2 ? . 20 5
8 8 2 ? ? . 2 A5 20 5

(2) (必须考虑顺序) : 有放回地抽取的结果为: (1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5), (2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4),(2,5),

(3,1),(3, 2),(3,3),(3, 4),(3,5), (4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4),(4,5), (5,1),(5, 2),(5,3),(5, 4),(5,5), 共计 25 个.
其中,事件 B 包含的结果为: (1, 2),(2,3), (3, 4),(4,5),(2,1),(3, 2),(4,3),(5, 4),

8 . 25 8 8 或者: P ? A? ? ? . 5 ? 5 25
因此, P ? A ? ? 【点评】关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的, 其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误;关于有放回抽样,必 须考虑顺序,若不考虑顺序,则把 (1, 2) 和 (2, 1) 看做同一个事件,则 (1,1) 与 (1, 2) 发生的概率不同,不满 足“等可能性” . 变式训练: 现有一批产品共 10 件,其中含有 8 件正品和 2 件次品,每次任取一件,

(1)如果每次取出后放回,连续取 3 次,求取出的 3 件产品中全是正品的概率. (2)如果从中一次取 3 件,求取出的 3 件产品中全是正品的概率. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序 ? x, y , z ? 记录结果,则 x, y, z 都有 10 种可能,所以试验结果 有 10 ?10 ?10 ? 10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则 A 包含的基本事件共有 8 ? 8 ? 8 ? 8 种,因
3 3

此, P ? A ? ?

83 . 103

(2) 法一 (考虑顺序) : 可以看作不放回抽样 3 次, 顺序不同, 基本事件不同, 按抽取顺序记录 ? x, y , z ? , 则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10 ? 9 ? 8 ? 720 种.设事件 B 为 “3 件都是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8 ? 7 ? 6 ? 336 , 所以 P ? B ? ?

336 7 . ? 720 15

法二(不考虑顺序) :可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序 ? x, y , z ? 记录结果,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能,但 ? x, y , z ? ,? x, z , y ? ,? y , x, z ? ,? y , z , x ? ,? z , x, y ? ,? z , y , x ? 是相同的,所以试验的所有结果有 10 ? 9 ? 8 ? 6 ? 120 ,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数

8 ? 7 ? 6 ? 6 ? 56 ,因此 P(B)= P ? B ? ?

56 7 ? . 120 15 例 3.(2013·江西高考)如图所示,从 A1 ?1, 0, 0 ? , A2 ? 2, 0, 0 ? , B1 ? 0,1, 0 ? , B2 ? 0, 2, 0 ? , C1 ? 0, 0,1? ,

C2 ? 0, 0, 2 ? 这 6 个点中随机选取 3 个点.
(1)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2)求这 3 点与原点 O 共面的概率. 【分析】求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义, 把实际问题转化为概率模型.可以转化为求事件和的概率,也可以运用对立 事件求解. 【解答】法一:从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果是:

x 轴上取 2 个点的有 A1 A2 B1 , A1 A2 B2 , A1 A2C1 , A1 A2C2 ,共 4 种;
y 轴上取 2 个点的有 B1B2 A1 , B1B2 A2 , B1B2C1 , B1B2C2 ,共 4 种;

z 轴上取 2 个点的有 C1C2 A1 , C1C2 A2 , C1C2 B1 , C1C2 B2 ,共 4 种.
所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 A1 B1C1 ,A1 B1C2 ,A1 B2C1 ,A1 B2C2 ,A2 B1C1 ,A2 B1C2 ,A2 B2C1 ,

A2 B2C2 ,共 8 种.因此,从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果共 20 种.
(1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有: A1 B1C1 , A2 B2C2 ,共 2 种,因此,这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为 P 1 ?

2 1 ? . 20 10

(2) 选 取 的 这 3 个 点 与 原 点 O 共 面 的 所 有 可 能 结 果 有 : A1 A2 B1 , A1 A2 B2 , A1 A2C1 , A1 A2C2 ,

B1B2 A1 , B1B2 A2 , B1B2C1 , B1B2C2 , C1C2 A1 , C1C2 A2 , C1C2 B1 , C1C2 B2 ,共 12 种,因此,这 3 个点与原
点 O 共面的概率为 P2 ?

12 3 ? . 20 5

或者:选取的这 3 个点与原点 O 不共面的所有可能的结果有 A1 B1C1 , A1 B1C2 , A1 B2C1 , A1 B2C2 ,

A2 B1C1 , A2 B1C2 , A2 B2C1 , A2 B2C2 ,共 8 种,因此这 3 个点与原点 O 共面的概率为 P2 ? 1 ?
法二:从这 6 个点中任取 3 个点共有 C6 ? 20 种取法.
3

8 3 ? . 20 5

(1)选取的 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥项点的取法有 2 种,概率 P 1 ? (2)选取的 3 个点与原点 O 共面的取法有 C4 ? 3 ? 12 种,所求概率 P2 ?
3

2 1 ? . 20 10

12 3 ? . 20 5

或者:选取的 3 个点与原点 O 不共面的取法有 C2 ? C2 ? C2 ? 8 种,
1 1 1

因此这 3 个点与原点 O 共面的概率 P2 ? 1 ?

8 3 ? . 20 5

【点评】方法一采用列举法,要求列举事件不重不漏;方法二与排列组合知识结合,显然优于列举法. 必要时将所求事件转化成互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公 式或对立事件的概率公式求解. 变式训练: 现有 8 名世博会志愿者,其中 3 名志愿者通晓日语(分别用 A1 , A2 , A3 表示), 3 名志愿者通晓俄语(分 别用 B1 , B2 , B3 表示), 2 名志愿者通晓韩语(用 C1 , C2 表示).从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各

1名,组成一个小组.
(1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率; (3)求 B1 和 C1 至少有一人被选中的概率.

? A2 , B1 , C1 ? , ? A2 , B1 , C2 ? , ? A1 , B2 , C1 ? , ? A2 , B2 , C2 ? , ? A2 , B3 , C1 ? , ? A2 , B3 , C2 ? , ? A3 , B1 , C1 ? , ? A3 , B1 , C2 ? , ? A3 , B2 , C1 ? , ? A3 , B2 , C2 ? , ? A3 , B3 , C1 ? , ? A3 , B3 , C2 ? ? 由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件
被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. M 表示事件“ A1 恰被选中”, 则M=? 事件 M 由 6 个基本事件组成,因此 P ? M ? ?

?= ? ? A1 , B1 , C1 ? , ? A1 , B1 , C2 ? , ? A1 , B2 , C1 ? , ? A1 , B2 , C2 ? , ? A1 , B3 , C1 ? , ? A1 , B3 , C2 ?

解: (1) 从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件集合

? A1 , B1 , C1 ? , ? A1 , B1 , C2 ? , ? A1 , B2 , C1 ? , ? A1 , B2 , C2 ? , ? A1 , B3 , C1 ? , ? A1 , B3 , C2 ? ?
6 1 = . 18 3

,

(2) N 表示“ B1 和 C1 不全被选中”这一事件,由于 N= ?

? A1 , B1 , C1 ? , ? A2 , B1 , C1 ? , ? A3 , B1 , C1 ? ? ,

3 1 = , 18 6 1 5 由对立事件的概率公式得 P ? N ? ? 1 ? P N ? 1 ? ? . 6 6 (3) Q 表示“ B1 和 C1 至少有一人被选中”这一事件,其对立事件 Q 为“ B1 和 C1 都不被选中”. 6 1 1 1 1 事件 Q 由 C3 ? C2 ? C1 ? 6 个基本事件组成,? P Q ? = . 18 3 四、 【解法小结】 1.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来,然后再求出事件 A 中的基本事件,利用公式 m P ? A ? ? 求出事件 A 的概率.这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重复、 n 不遗漏.也可以与排列组合知识相结合,求出基本事件总数 n ,及事件 A 中的基本事件数 m ,方法更佳. 2.事件 A 的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数 n 和事件中所含基本事件数 m .
事件 N 由 3 个基本事件组成,? P N ?

? ?

? ?

? ?

因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个; 第三,事件 A 是什么,它包含的基本事件有多少个.回答好这三个方面的问题,解题才不会出错. 3.一般含有“至多”“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其 反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质 P ? A ? ? 1 ? P A 进一步求解.

? ?

五、 【布置作业】
必做题: 1. 判断下列试验是否是古典概型(请在括号内填“是”或“否” ) ①投掷一颗质地不均匀的骰子,观察其朝上的点数; ( ) ) ) ) ②口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任取一球; ( ③向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的; (

④射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中 10 环,命中 9 环,??,命中 0 环.( ) 2.(教材习题改编)从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数,则取出的两个数不是连续自然数的概率是(

3 A. ; 5

2 B. ; 5

1 C. ; 3

D.

2 3

3.从数字 1, 2,3 中任取两个不同的数字组成两位数,该数大于 23 的概率为(



A.1
1 14

3

B.1

6

C.1
8

D.1

4

4. (2013 课标全国Ⅱ)从 n 个正整数 1,2,…, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概 率为,则 n=__________. 5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m, n 作为 P 点的坐标,则点 P 落在圆 x ? y ? 16 内的
2 2

概率是 . 6.(2012·重庆高考)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课 各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为________(用数字作答). 7.(2013·江苏高考)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数 中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 答案: 1 .①否、②是、③否、④否; 2 . D ; 3 . A ; 4 .8; 5 . 选做题:

1 3 2 6. 7. . 5 5 9

1.(2013·惠州调研)一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 个球,然后放回袋中再取出 1 个球,则取出的 2 个球同色的概率为( )

A. 1 ;
2

B.1 ;
3

1 C. ; 4

2 D. . 5 n 2 x 与圆 ? x ? 3? ? y 2 ? 1 相交的概率为______. m

2. 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n 则直线 y ?

3.甲乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名, 写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率. 4. 已知 A 每个箱子里的球分别标着号码 1, 2. 现从 A 、B、C 三个箱子中各装有 2 个完全相同的球, 、B、C 三个箱子中不放回地各摸出 1 个球. (1) 若用数组 ( x, y, z ) 中的 x, y, z 分别表示从 A 请写出数组 ( x, y, z ) 、B、C 三个箱子中摸出的球的号码, 的所有情形; (2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和,猜中有奖.那么猜什么数获奖可能性最大?请说明理由. 答案:1. A ; 2.

5 36

3.解:(1)甲校两男教师用 A, B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女教师用 E , F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为:

? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ? B, F ??C, D ??C, E ??C , F ? , 共 9 种. 从中选出的 2 名教师性别相同的结果为: ? A, D ? , ? B, D ? , ? C , E ?? C , F ? , 共 4 种.
∴选出的 2 名教师性别相同的概率为

4 . 9

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为:

? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ? B, F ? , ? C , D ? , ? C , E ?? C , F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? ,共15 种. 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为: ? A, B ? , ? A, C ? , ? B, C ?? D, E ? , ? D, F ?? E , F ? ,共 6 种.
∴选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 P ?

6 2 = . 15 5

4.解: (1)数组 ( x, y, z ) 的所有情形为: ?1,1,1? , ?1,1, 2 ? , ?1, 2,1? , ?1, 2, 2 ? , ? 2,1,1? ,

? 2,1, 2 ? , ? 2, 2,1? , ? 2, 2, 2 ? ,共 8 种.
(2)记“所摸出的三个球号码之和为 i ”为事件 Ai ( i ? 3, 4,5, 6 ) , 易知,事件 A3 包含 1 个基本事件,事件 A4 包含 3 个基本事件,事件 A5 包含 3 个基本事件,事件 A6 包含 1 个基本事件,所以 P( A3 ) ?

1 3 3 1 , P( A4 ) ? , P( A5 ) ? , P( A6 ) ? . 8 8 8 8

故所摸出的两球号码之和为 4、为 5 的概率相等且最大. 答:猜 4 或 5 获奖的可能性最大.

六、 【教后反思】
本教案优点:立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习,恰当选取典型例题,构建思维模式,造就思

维依托和思维的合理定势;概念性强、抽象性强、思维方法独特. 本教案不足之处:由于时间有限,题型不能面面俱到,课堂上应注重引导学生思维和方法的总结.


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