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极坐标系与参数方程高考大题


极坐标系与参数方程高考大题
x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) 1.(2013 全国课标 1)已知曲线 C1 的参数方程为 ? ,以坐标原 ? ? y ? 5 ? 5sin t ,

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ )把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ

)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

? x ? 2cos ? 2. (2013 年全国新课标 2 高考理科 23) 已知动点 P, Q 都在曲线 C: ? ? y ? 2sin ?
上,对应参数分别为 β =α 与α =2π 为(0<α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程

? ? 为参数?

(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 3.(2013 江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ?
x ? t ?1 (t 为参数),曲 ? y ? 2t

x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程, 并求出它 线 C 的参数方程为 ? ? ? y ? 2 tan ?

们的公共点的坐标. 4. (2013 福建)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 ? ? ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直 标系.已知点 A 的极坐标为 ? ? 2, ?
? 4?

4

线 l 上。 (Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? ?
x ? 1 ? cos a, (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a

5. (2013 辽宁) 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆
π? C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ =4sin θ , ? cos ? ? ? ? ? =2 2 . ? 4?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为
? x ? t 3 ? a, ? (t∈R ? b 3 ? y ? t ?1 ? 2

为参数),求 a,b 的值.

6(2012 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系。已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 (2,0), (
? x ? 2 ? 2 cos? (? 为参数) 。 ? y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 7. (2012 年江苏) 在极坐标中, 已知圆 C 经过点 P 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 8.( 2012 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y 2 =4
2

?

2,

?? 3 ? ? , 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 3? 2 4 ?

?

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程
x ? 2cos ? 9. (2012 新课标) 已知曲线 C1 的参数方程是 ? (?为参数) ,以坐标原点为极 ? ?y ? 3sin?

点, x 轴的正半轴 为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,

? 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, ) 3
(1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
x ? 5 cos ? ( ? 为参数) 10. (2011 江苏卷高考题)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ? ? y ? 3sin ? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程. 的右焦点,且与直线 ? ? ?y ? 3?t
x ? cos ? , ( ? 为 11. (2011 辽宁卷)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? y ? sin ? , x ? a cos ? , ( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的 参数)曲线 C2 的参数方程为 ? ? ? y ? b sin ? ,
2 2 2 2

正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ = ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个
π 交点间的距离为 2,当 ? = 时,这两个交点重合. 2

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;
π π (II)设当 ? = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =- 时,l 与 C1, 4 4

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 12. (2011 新课标高考理科数学) (本题满分 10 分) x ? 2 cos? 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? ,( ? 为参数)

? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ;

(2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 不同于原点的点 A,B 求 AB

?
3

与曲线 C1 , C 2 交于

13. (2011 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方
? x ? 3 cos ? ( ? 为参数) 程? ? ? ? y ? sin ?

(I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标 (4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 为曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
x ? 3? 14.(2010 年高考福建卷理科)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? ? ?y ? ? ? ? 2 t, 2 2 5? t 2

(t 为参数) 。在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ) 求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A、 B, 若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 15. (2010 年高考江苏卷试题 在极坐标系中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值。 16. (2010 年全国高考宁夏卷 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? 已知直线 C1 ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?
(Ⅰ)当 ? =

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线。 17. (2010 年高考辽 宁卷理科 23) (本小题满分 10 分) 已知 P 为半圆 C: ( ? 为参数,0 ? ? ? ? ) 上的点, 点 A 的坐标为 (1,0) ,

? 。 3 (I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。
O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 的长度均为


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