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人教版高中数学课件 第三册:椭圆复习


椭圆 定义

标准 方程 参数 方程

几何 性质 第二 定义

作图

圆 锥 曲 线

双曲线 定义

标准 方程

几何 性质 第二 定义

作图

统 一 定 义

抛物线

定义

标准 方程

几何 性质

作图

1、掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的简单 几何性质及椭圆的参数方程. 2、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的 简单几何性质. 3、掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的 简单几何性质. 4、能够根据具体条件利用各种不同的工具画 椭圆、双曲线、抛物线的图形,了解它们在实 际问题中的初步应用.

1.椭圆的定义:? (1)椭圆的第一定义为:平面内与两个定点F1、F2 的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆.?

(2)椭圆的第二定义为:平面内到一定点F与到一 定直线l的距离之比为一常数e(0<e<1)的点的 轨迹叫做椭圆.

三、椭圆的几何性质

方程

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
y
B2

y2 x2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
A2
F2 y

图形

A1

F1 B1

F2

A2

x

B1 F1

B2

x

A1

中心

(0,0)

(0,0)

焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)

(±a,0), (±b,0), 顶点 (0, ±b) (0, ±a) 长轴2a,短轴2b,a2=b2+c2, 轴长 |B2O|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a
离心率 准线
a x?? c
2

c e? a

a2 y?? c

椭圆的参数方程:

? x ? a ? cos? 1.焦点在x轴:? ??为参数? ? y ? b ? sin ?
? x ? b ? cos? 2.焦点在y轴: ??为参数? ? ? y ? a ? sin ?

4.椭圆的焦半径公式:

x2 y 2 (1)在椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,点M(x0,y0)的 a2 b
左焦半径为|MF1|=a+ex0, 右焦半径为|MF2|=a-ex0
2 2

y x (2)在椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,点P(x0,y0)的 2 a b
下焦半径为|PF1|=a+ey0, 上焦半径为|PF2|=a-ey0

Y

l1

P

B2

l2

A1 Q

F1 O B1

F2

A2

X

1. A1F2 ? A2 F1 ? a ? c,2. A1F1 ? A2 F2 ? a ? c 2a 3.l1到l2的距离d ? ,4.?PF F2的周长 ? 2a ? 2c 1 c 5.?PQF2的周长 ? 4a,6.S ?B2 F1F2 ? S ?B1B2 F1 ? bc
2

四、几个重要结论:

设P是椭圆 圆的焦点,∠F1PF2=θ ,则
1、当P为短轴端点时,
A1

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上的点,F1,F2是椭 2 a b
B2 P

F1 B1

F2

A2

x

S△PF1F2有最大值=bc
2、当P为短轴端点时,∠F1PF2为最大 3、椭圆上的点A1距F1最近,A2距F1最远 4、过焦点的弦中,以垂直于长轴的弦为最短

x y 1、已知椭圆 ? ? 1 上一点P到椭圆一个 25 16
焦点的距离为3,则P点到另一个焦点的距离 为( D ) A、2 B、3 C、5 D、7

2

2

2、如果椭圆的两条准线间的距离是这个 椭圆的焦距的两倍,那么这个椭圆的离 心率为( C )

A、

1 4

1 B、 2

C、

2 2

2 D、 4

3、如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在y轴上的
2 2

椭圆,那么实数k的取值范围是 (

D

)

A、(0, ??) C、(1, ??)

B、 D、

(0, 2)

(0,1)

x y ? ? 1 的焦点为F1和F2, 4、椭圆 12 3
点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴 上,那么|PF1|是|PF2|的( A ) A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍

2

2

x y 5、F1、F2是椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) a b
的两焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直 角三角形ABF2,其中∠BAF2=90°,则 6? 3 椭圆离心率是_______.

2

2

1 6、一个椭圆的离心率 e ? ,准线方程 2
是x=4,对应的焦点F(2,0),则椭圆

3x2+4y2-8x=0 的方程是_________________________.

[解答]:过点A作右准线l的垂线, 垂足为N, 与椭圆交于M 【例1】已知A(?2, 3) ,设F为椭圆

1 2 ∵离心率e= 2 ∴2|MF|=|MN| x y 2 ? ? 1 的右焦点,M为椭圆上一 ∴|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|=|AN| 16 12

动点,求|AM|+2|MF|的最小值,并求出 ∴|AN|=2+8=10 即|AM|+2|MF|的最小值为10 此时点M的坐标.
此时 M (2 3, 3)

显然|AN|的长即为|AM|+2|MF|的最小值

8.椭圆的中心在原点,对 称轴为坐标轴,椭圆短 轴的一个 顶点 B与两焦点 F1,F2组成的三角形周长是 4 ? 2 3,且 2? ?F1BF2 ? ,求椭圆方程。解:设焦点在x轴上,长轴长为2a, 3 焦距为2c, 如图所示,依题意,有
y B F1 o F2 x
? 2c ? 2 a ? 4 ? 2 3 ? ? c ? 3 ? ? sin ? 3 2 ? a 解得a ? 2, c ? 3 , 所以b ? 1.所求椭 x2 圆方程为 ? y2 ? 1 4 同理,焦点在y轴上时,所求方程为 y2 x ? ?1 4
2

1、已知斜率为1的直线L 2 x 2 过椭圆 ? y ? 1 的右 焦点,交椭圆于A、B两 点,求弦AB的长。 法一:弦长公式
AB ? (1 ? k 2 ) x2 ? x1

4

法二:焦点弦: AB ? 2a ? e( x1 ? x2 )

xx ? yy ? 1 ? ?1 2、已知椭圆 16 9 2、已知椭圆 16 9

22

22

求以点P(2,1)为中点的 求以点P(2,1)为中点的 弦所在直线的方程。 弦所在直线的方程。
思路二:设出MN的点斜式方程 思路一:设两端点M、N的坐标分 y ? 1 ? k ( x ? 2) ?x1, y,与椭圆联立,由 别为 ,代入椭 M 1 ?, N ?x2 , y2 ? 圆方程,作差因式分解求出直线 韦达定理、中点公式求得直线MN的 MN斜率,即求得MN的方程。 斜率,也可求得MN的方程。


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