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上海市黄浦区2015届高三4月模拟考试(二模)数学(理)试卷 Word版含解


2015 年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分)函数 f(x)=lg(x﹣3)+ 的定义域是 (3,+∞) .

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 结合对数函数的性质以及指数幂的性质得到不等式组,从而求出函数的定义域. 解:由题意得:

,解得:x>3,

故答案为: (3,+∞) ; 【点评】 : 本题考查了函数的定义域问题,考查对数函数以及指数幂的性质,是一道基础题. 2. (4 分)函数 y=log2(x ﹣1)的单调递减区间是 (﹣∞,﹣1) . 【考点】 : 复合函数的单调性. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 令 t=x ﹣1>0,求得函数 y 的定义域,结合函数 y=log2t,本题即求函数 t 在定义 域内的减区间,再利用二次函数性质可得结论. 2 【解析】 : 解:令 t=x ﹣1>0,求得 x>1 或 x<﹣1,故函数 y 的定义域为{x|x>1 或 x<﹣ 1}. 可得函数 y=log2t,本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 2 结合二次函数性质可得 t=x ﹣1 在定义域{x|x>1 或 x<﹣1}内的减区间为(﹣∞,﹣1) , 故答案为: (﹣∞,﹣1) . 【点评】 : 本题主要考查对数函数、二次函数的性质,复合函数的单调性,体现了转化的数 学思想,属于基础题. 3. (4 分)已知集合 A={x|x ﹣16≤0,x∈R},B={x||x﹣3|≤a,x∈R},若 B?A,则正实数 a 的取 值范围是 (0,1] . 【考点】 : 集合的包含关系判断及应用. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 先把集合 A、B 解出来,再根据 B?A,求正实数 a 的取值范围即可. 2 【解析】 : 解:因为 A={x|x ﹣16≤0,x∈R}=, B={x||x﹣3|≤a,x∈R}=, 又 B?A,
2 2 2

-1-

所以



解得:a≤7, 又 a 是正实数, 故 a∈(0,1], 故答案为: (0,1] 【点评】 : 本题主要考查集合间的关系,属于基础题. 4. (4 分)若二次函数 y=2x +(m﹣2)x﹣3m +1 是定义域为 R 的偶函数,则函数 f(x)=x ﹣mx+2(x≤1,x∈R)的反函数 f (x)=
﹣1

2

2

m

1﹣

, (x≥1) .

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :

反函数;二次函数的性质. 函数的性质及应用. 由二次函数的性质易得 m=2,可得 f(x)的解析式,由反函数的求法可得. 2 2 解:∵二次函数 y=2x +(m﹣2)x﹣3m +1 是定义域为 R 的偶函数, =0,解得 m=2,
2

∴函数的图象关于 y 轴对称,即
2

∴函数 y=f(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1, 2 ∴y﹣1=(x﹣1) ,y≥1, ∵x≤1,∴x﹣1=﹣ ∴反函数 f (x)=1﹣ 故答案为:1﹣
﹣1

, , (x≥1)

, (x≥1)

【点评】 : 本题考查反函数,涉及二次函数的性质,属基础题. 5. (4 分)已知角 α 的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终边经过 点 P(﹣3a,4a) (a≠0,a∈R) ,则 cos2α 的值是 .

【考点】 : 二倍角的余弦;任意角的三角函数的定义. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 利用三角函数的定义、倍角公式即可得出. 【解析】 : 解:|OP|= ∴cosα= ,
2

=5|a|,

∴cos2α=2cos α﹣1=2× 故答案为: .

﹣1=﹣



【点评】 : 本题考查了三角函数的定义、倍角公式,属于基础题.

-2-

6. (4 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a =b +c ﹣2bcsinA,则 ∠A= .

2

2

2

【考点】 : 余弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : 根据余弦定理,建立方程关系即可得到结论. 2 2 2 【解析】 : 解:由余弦定理得且 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 ∵a =b +c ﹣2bcsinA, 2 2 2 2 2 ∴a =b +c ﹣2bcsinA=b +c ﹣2bccosA, 则 sinA=cosA, 即 tanA=1, 解得 A= ;

故答案为: 【点评】 : 本题主要考查三角函数值的求解,根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键. 7. (4 分)在等差数列{an}中,若 a8=﹣3,a10=1,am=9,则正整数 m= 14 . 【考点】 : 等差数列的通项公式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 由已知数据易得等差数列的公差,再由通项公式可得 m 的方程,解方程可得 m 值. 【解析】 : 解:∵在等差数列{an}中,若 a8=﹣3,a10=1, ∴等差数列{an}的公差 d= =2,

∵am=9,∴am=a10+(m﹣10)d, 代入数据可得 9=1+2(m﹣10) , 解得 m=14, 故答案为:14. 【点评】 : 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 8. (4 分)已知点 A(﹣2,3) 、B(1,﹣4) ,则直线 AB 的方程是 7x+3y+5=0 . 【考点】 : 直线的两点式方程. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 利用点斜式即可得出. 【解析】 : 解:kAB= =﹣ ,

∴直线 AB 的方程是:y﹣3=﹣ (x+2) , 化为 7x+3y+5=0,

-3-

故答案为:7x+3y+5=0. 【点评】 : 本题考查了直线的点斜式方程,属于基础题.

9. (4 分)已知抛物线 y =16x 的焦点与双曲线 线的渐近线方程是 .

2

=1(a>0)的一个焦点重合,则双曲

【考点】 : 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点,进而可知双曲线的一个焦点,求出 a,即可 求出双曲线的渐近线方程. 【解析】 : 解:∵抛物线 y =16x 的焦点为(4,0) , ∴双曲线的一个焦点为(4,0) , 2 ∴a +12=16, ∴a=2, ∴双曲线 的渐近线方程是 .
2

故答案为: . 【点评】 : 本题给出抛物线与已知双曲线有公共的焦点,求双曲线的渐近线方程.着重考查 了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 10. (4 分)已知 AB 是球 O 的一条直径,点 O1 是 AB 上一点,若 OO1=4,平面 α 过点 O1 且 垂直 AB,截得圆 O1,当圆 O1 的面积为 9π 时,则球 O 的表面积是 100π . 【考点】 : 球的体积和表面积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 利用圆 O1 的面积为 9π,可得圆 O1 的半径为 3,根据 OO1=4,平面 α 过点 O1 且垂 直 AB,截得圆 O1,可得球 O 的半径为 5,即可求出球 O 的表面积. 【解析】 : 解:∵圆 O1 的面积为 9π, ∴圆 O1 的半径为 3, ∵OO1=4,平面 α 过点 O1 且垂直 AB,截得圆 O1, ∴球 O 的半径为 5, 2 ∴球 O 的表面积是 4π×5 =100π. 故答案为:100π. 【点评】 : 本题考查球 O 的表面积,考查学生的计算能力,确定球 O 的半径是关键. 11. (4 分)若二次函数 y=f(x)对一切 x∈R 恒有 x ﹣2x+4≤f(x)≤2x ﹣4x+5 成立,且 f(5) =27,则 f(11)= 153 . 【考点】 : 函数与方程的综合运用. 【专题】 : 函数的性质及应用.
2 2

-4-

【分析】 : 利用二次函数求出两个函数值相等时,x 的值,利用函数的对称性设出函数的解析 式,求出函数然后求解函数值. 【解析】 : 解:二次函数 y=f(x)对一切 x∈R 恒有 x ﹣2x+4≤f(x)≤2x ﹣4x+5 成立, 2 2 可得 x ﹣2x+4=2x ﹣4x+5,解得 x=1,f(1)=3, 函数的对称轴为 x=2, 2 设函数 f(x)=a(x ﹣2x)+b, 由 f(1)=3,f(5)=27, 可得﹣a+b=3,15a+b=27, 解得 a= ,b= . f(x)= (x ﹣2x)+ , f(11)= (11 ﹣2×11)+ =153. 故答案为:153; 【点评】 : 本题考查函数与方程的应用,二次函数的对称性,函数的解析式的求法,恒成立 条件的应用,考查分析问题解决问题的能力,题目比较新颖.
2 2 2 2

12. (4 分)在平面直角坐标系中,直线 l: (θ 是参数,θ∈上的单调递增区间.

(t 是参数,t∈R) ,圆 C:

【考点】 : 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : (1)设点(x,y)是函数 y=f(x)的图象上任意一点,利用对称性得到点(﹣x, ﹣y)在 y=g(x)的 图象上,然后求解函数的解析式. (2)利用两角和的正弦函数化简函数的解析式,通过正弦函数的单调性求解单调区间,然后 求解函数 f(x)在上的单调递增区间. 【解析】 : (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分(5 分) ,第 2 小题满分(7 分) . 解(1)设点(x,y)是函数 y=f(x)的图象上任意一点,由题意可知,点(﹣x,﹣y)在 y=g (x)的 图象上, 于是有 所以, (理科) (2)由(1)可知, 记 D=. , ,x∈R. .

-5-

由 则函数 f(x)在形如

,解得 的区间上单调递增.



结合定义域,可知上述区间中符合题意的整数 k 只能是 0 和 1. 令 k=0 得 所以, , ;k=1 时,得 . 和 . .

于是,函数 f(x)在上的单调递增区间是

【点评】 : 本题考查三角函数的解析式的求法,两角和与差的三角函数正弦函数的单调性的 应用,考查计算能力. 21. (14 分)有一块铁皮零件,其形状是由边长为 40cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的 五边形 ABCDE,其中 AF=12cm,BF=10cm,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮 DMPN, 使得矩形相邻两边分别落在 CD, DE 上, 另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上. 设 DM=xcm, 矩形 DMPN 的面积为 ycm . (1)试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; (2)试问如何截取(即 x 取何值时) ,可使得到的矩形 DMPN 的面积最大?
2

【考点】 : 根据实际问题选择函数类型. 【专题】 : 函数的性质及应用. 0 0 【分析】 : (1)依据题意并结合图形,可知:1 当点 P 在线段 CB 上;2 当点 P 在线段 BA 上,分别求解函数的解析式. (2)利用(1)知,当 0<x≤30 时,当 30<x≤40 时,分别求解 函数的最大值即可. 【解析】 : (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分(6 分) ,第 2 小题满分(8 分) . 0 0 解(1)依据题意并结合图形,可知:1 当点 P 在线段 CB 上,即 0<x≤30 时,y=40x;2 当 点 P 在线段 BA 上,即 30<x≤40 时,由 于是, . ,得 .

所以,

定义域 D=(0,40].

-6-

(2)由(1)知,当 0<x≤30 时,0<y≤1200; 当 30<x≤40 时, 成立. 因此,y 的最大值为 答:先在 DE 上截取线段 . ,然后过点 M 作 DE 的垂线交 BA 于点 P,再过点 P 作 DE cm .
2

,当且仅当

时,等号

的平行线交 DC 于点 N, 最后沿 MP 与 PN 截铁皮, 所得矩形面积最大, 最大面积为

【点评】 : 本题考查函数的实际应用,函数的最值的求法,分段函数的解析式以及最值的求 解,考查计算能力. 22. (18 分)已知数列{an}满足 a1= ,对任意 m、p∈N 都有 am+p=am?ap. (1)求数列{an}(n∈N )的递推公式; (2)数列{bn}满足 an= (n∈N ) ,求通项公式
* * *

bn; n * (3)设 cn=2 +λbn,问是否存在实数 λ 使得数列{cn}(n∈N )是单调递增数列?若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明你的理由. 【考点】 : 数列的求和;数列的函数特性. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)利用 am+p=am?ap 成立,令 m=n,p=1,得 到数列{an}(n∈N )的递推公式. (2)由利用(1)求出 .求出 an﹣an﹣1,即可求出
*

.即可得

(3)化简

,通过 cn﹣cn﹣1 的符号,求出 λ 的范围.

【解析】 : (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分(3 分) ,第 2 小题满分(7 分) ,第 3 小题满分(8 分) . (理科) * 解(1)∵对任意 m、p∈N 都有 am+p=am?ap 成立, ∴令 m=n,p=1,得 .

-7-

∴数列{an}(n∈N )的递推公式是

*



(2) 由 (1) 可知, 数列{an} (n∈N ) 是首项和公比都为 的等比数列, 于是
*

*





(n∈N ) ,得

(n≥2) .





当 n=1 时,



所以



(3)∵ ∴当 n≥3 时,

, , ,

依据题意,有

,即



1 当 n 为大于或等于 4 的偶数时,有

0

恒成立,又

随 n 增大而增大,则

,故 λ 的取值范围为



2 当 n 为大于或等于 3 的奇数时,有

0

恒成立,故 λ 的取值范围为



-8-

3 当 n=2 时,由 综上可得,所求 λ 的取值范围是 .

0

,得 λ<8.

【点评】 : 本题考查数列的递推关系式的应用,数列的通项公式的求法,数列的函数特征, 考查分析问题解决问题的能力. 23. (18 分)已知点 (x,y)满足 (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)点 M 是曲线 C 上的任意一点,GH 为圆 N: (x﹣3) +y =1 的任意一条直径,求 的取值范围; (3)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 与某个定圆恒相切,并写出定圆的方程. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)设出动点 P(x,y) ,列出方程,化简求解所求曲线 C 的轨迹方程即可. (2)设 M(x0,y0)是曲线 C 上任一点.推出 利用数量积推出表达式,利用椭圆的性质,求解表达式的范围. (3)判断定圆的圆心必在原点.设|OA|=r1,|OB|=r2,点 A(r1cosθ,r1sinθ) ,利用面积相等, A、B 两点在曲线 C 上,推出 .然后说明直线 AB 总与定圆相切,求出定圆的方程. , .然后 (O 是坐标原点) ,试证明:直线 AB
2 2

,平面直角坐标系上的一个动点 P .设动点 P 的轨迹为曲线 C.

【解析】 : (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分(3 分) ,第 2 小题满分(6 分) ,第 3 小题满分(9 分) . 解: (1)依据题意,动点 P(x,y)满足 又 , . .

因此,动点 P(x,y)的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,且

所以,所求曲线 C 的轨迹方程是



(2)设 M(x0,y0)是曲线 C 上任一点.依据题意,可得 ∵GH 是直径,∴ .又 ,



-9-

∴ = = ∴ = . .



,可得﹣2≤x≤2,即﹣2≤x0≤2. . 的取值范围是 . :结合椭圆和圆的位置关系,有||OM|﹣|ON||≤|MN|≤|OM|+|ON|(当且

∴ ∴ (另解

仅当 M、N、O 共线时,等号成立) ,于是有 1≤|MN|≤5. ) (3)证明 因 A、B 是曲线 C 上满足 OA⊥OB 的两个动点,由曲线 C 关于原点对称,可知 直线 AB 也关于原点对称.若直线 AB 与定圆相切,则定圆的圆心必在原点.因此,只要证明 原点到直线 AB 的距离(d)是定值即可. 设|OA|=r1,|OB|=r2,点 A(r1cosθ,r1sinθ) ,则 .

利用面积相等,有

,于是



又 A、B 两点在曲线 C 上,故

可得

因此,



所以,

,即 d 为定值

. .

所以,直线 AB 总与定圆相切,且定圆的方程为:

- 10 -

【点评】 : 本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的综合应用,圆与椭圆的位置关系,考查转化 思想以及计算能力.

- 11 -


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