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2009年全国高中数学联赛试题及答案


2009 年全国高中数学联赛





一、填空(每小题 7 分,共 56 分) x 1. 若函数 f ? x ? ? 且 f (n) ? x ? ? f ? ?f ?f ? 1 ? x2
2 2

?99? f ? x ?? ?? ? ,则 f ?1? ?
n

r />.

2. 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B ,
C 为 圆 M 上 两 点 , 在 ?ABC 中 , ?BAC ? 45? , AB 过 圆 心 M , 则 点 A 横 坐 标 范 围





?y≥0 ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由 ?y≤2 ? x ? 不 等 式 t ≤ x ≤ t ? 1 所 确 定 , t 的 取 值 范 围 是 0 ≤ t ≤1 , 则 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 . f ?t ? ?

4. 使不等式

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 1 ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 2n ? 1 3

. x2 y 2 5. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 上任意两点 P ,Q ,若 OP ?OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最 a b 小值为 . 6. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 . 7. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的 数是 (可以用指数表示) ∶ 00 ~ 9∶ 00 , 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随 8. 某车站每天 8 机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶30 8 ∶50 到站时刻 9∶ 10 9∶30 9∶50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分). 二、解答题 x2 y 2 1. (14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆 ? ? 1 交于不同两 16 12 x2 y 2 点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

a 的值为

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2. (15 分) 已知 p , 方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? ,? , 数列 ?an ? q ? q ? 0? 是实数, 满足 a1 ? p , a2 ? p2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 , 4, (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示);

?

1 (Ⅱ)若 p ? 1 , q ? ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4

3. (15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.

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加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分) 9. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC 、 AC 的 中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⑵在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ),记 ?AQC , △QCB 的内 心分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

10. 求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… ? 2 ? k ?1 k ? 1 ?

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l 11. 设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 互素.

12. 在非负数构成的 3 ? 9 数表 x7 ? x ? x1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4x 1 x 5 1x 6 1 1 8 1 9 ? ? P?? x x x x x x x x x 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 ? 2 8 2 9 ?x x x x x x x x ? x ? 31 32 33 34 35 36 37 ? 38 39 中每行的数互不相同, 前 6 列中每列的三数之和为 1,x17 ? x28 ? x39 ? 0 ,x27 ,x37 ,x18 ,x38 ,
x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表

? x1 1 x 1 2 x ? 1 3 ? ? S ?? x x x 2 1 2 2 ?2 3 ?x x x ? 3 3 ? 31 32 ?
? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O ) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k ? 1 , 2 , … , 9 )均存在某个 ?x ? ? 3k ? i ??1, 2, 3? 使得

⑶ xik ≤ ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? .求证:

xi 2 , xi 3? , i ? 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列. (ⅰ)最小值 ui ? min ?xi1 ,

? x1k* ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2 k* ? , k * ≠1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k * ? ? x11 x12 x1k * ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2 k * ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ? 仍然具有性质 (O ) .

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\

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