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宁夏银川市第九中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


银川九中 2015-2016 学年高一第一学期 期中测试数学试卷
( 时间 120 分钟 总分 150 分 ) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在 答题卡上,在本试卷上答题无效. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 第I卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.下列命题正确的是() A.很小的实数可以构成集合 2 2 B. 集合{y|y=x ﹣1}与集合{(x,y)|y=x ﹣1}是同一个集合 C. 自然数集 N 中最小的数是 1 D.空集是任何集合的子集 2.若全集 A={﹣1,0,1},则集合 A 的子集共有() A. 3 个 B. 5 个 C. 7个 D. 8个 3.设集合 A={1,2,4,6},B={2,3,5},则韦恩图中阴影部分表示的集合()

A.{2} 4.函数

B.{3,5}

C.{1,4,6} 的定义域是()

D. {3,5,7,8}

A.[2,3) B. (3,+∞) C.[2,3)∩(3,+∞)D.[2,3)∪(3,+∞) 5.下列给出函数 f(x)与 g(x)的各组中,是同一个关于 x 的函数的是() A.f(x)=x﹣1,g(x)= C.f(x)=x ,g(x)= 6. 函数 f ( x ) ? a ?
x
2

B. f(x)=2x﹣1,g(x)=2x+1 D. f(x)=1,g(x)=x )
0

1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象可能是( a

-1-

7.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是减函数的是 (

)

1 ( x? R且 x ? 0) x2 C. y=-x( x ? R )
A. y ?

B.

1 y ? ( )x ( x ? R ) 2
D.y=x ( x ? R )
3

8.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)在 x∈[0,+∞)上为增函数, 且 f(﹣3)=0,则不等式 f(2x﹣1)<0 的解集为() A. (﹣1,2) C. (﹣∞,2) B. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D. (﹣1,+∞)

9.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在如 图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学生 走法的是( )

A. 10.设 a=log0.73,b=2.3 A.b>a>c
﹣0.3

B. ,c=0.7
﹣3.2

C. ,则 a,b,c 的大小关系是() D.a>b>c

D.

B.c>b>a

C.c>a>b

11.已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1) ,则实数 x 的取 值范围是() A. ( C. ( ,1) ,10) B. (0, )∪(1,+∞)

D. (0,1)∪(10,+∞)
2 x

12.已知 a>0,a≠1,f(x)=x ﹣a .当 x∈(﹣1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 a 的取 值范围是( )

A(0, ]∪[2,+∞)B[ ,1)∪(1,2]C(0, ]∪[4,+∞)D[ ,1)∪(1,4]

第 II 卷 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 A={(x,y)|y=﹣4x+6},B={(x,y)|y=5x﹣3},则 A∩B=



14、已知函数 f(x)=

若 f(x)=﹣1,则 x=



-2-

15.已知函数 f ( x ) 是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) 的图象如图,那么 f ( x ) 的值域是_______。 16.下列四个命题: (1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数, 所以 f ( x ) 是增函数; (2)若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 与 x 轴没有交点,
2 则 b ? 8a ? 0 且 a ? 0 ;

(3) y ? x2 ? 2 | x | ?3 的递增区间为[1,+∞)和[--1,0]; (4) y ? 1 ? x 和 y ?

(1 ? x) 2 表示相等函数。

其中结论是正确的命题的题号是_______。 三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分,解答本题要求有解答过程,有必要的文字叙述,注 意解题规范) 17.(本小题满分 10 分)

16 ? 1 0.25 0 (1) 2 ? ( 2 ? 3) ? ( 2 2 ) ? 4 ? ( ) 2 ? 4 2 ? 8 ? (?2014) ; 49
3 6

4 3

(2) log 2.5 6.25 ? lg

1 ? ln(e e ) ? log 2 (log 2 16) 。 100

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3x2 ? kx ? 8 , x ?[1,5]。 (1)当 k ? 12 时,求函数 f ( x ) 的值域; (2)若函数 f ( x ) 具有单调性,求实数 k 的取值范围。 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= x+ . (1)判断 f(x)在(2,+∞)上的单调性并用定义证明; (2)求 f(x)在[1,4]的最大值和最小值,及其对应的 x 的取值.

1 ? 2 ? ( )x , x ? 0 ? ? 3 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? 。 ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ? ?2
(1)请在直角坐标系中画出函数 f ( x ) 的图象,并写出该函数的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 与 X 轴恰有 3 个不同交点,求实数 m 的取值范围。
_ y 4 _ 3 _ 2 _ 1 _ O –2 _ _ –1 _ –1 _ 1 _ 2 _ 3 _ -3x 4 _ _

21.(本小题满分 12 分)有一长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙最大长度是 10 米)围成一个 矩形花圃,设该花圃宽 AB 为 x 米,面积是 y 平方米, (1)求出 y 关于 x 的函数解析式,并指出 x 的取值范围; (2)当花圃一边 AB 为多少米时,花圃面积最大?并求出这个最大面积?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R) . (Ⅰ)若 f(﹣1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求实数 a,b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的 取值范围.

2

银川九中 2015-2016 学年高一第一学期期中测试数学试卷 参考答案 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1---12 D.D.B.D.C.D. C . A.B.B. C.B. 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.答案为:{(1,2)}. 点评: 本题考查集合的交集的求法,方程组的解,考查计算能力. 14.答案为:﹣2 或 4. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用. 15. 【答案】[-3,-2)∪(2,3]。 16. 【答案】(3)。 三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分,解答本题要求有解答过程,有必要的文字叙述,注 意解题规范) 17.(10 分)(1) 2 ? ( 3 2 ? 3) ? ( 2 2 ) 3 ? 4 ? (
6 4

16 ? 1 ) 2 ? 4 2 ? 80.25 ? (?2014) 0 ; 49

(2) log 2.5 6.25 ? lg

1 ? ln(e e ) ? log 2 (log 2 16) 。 100

-4-

7 ?2 ? 【解析】 (1)原式 ? 2 ? (2 ? 3 ) ? (2 ) ? 4 ? [( ) ] 2 ? 2 4 ? 2 4 ? 1 4
7 ? 2 ? (2 2 ? 33 ) ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? 210 ;-----5 分 4
(2)原式 ? log2.5 2.52 ? lg10?2 ? ln e 2 ? log2 4 ? 2 ? 2 ? 18.(12 分)已知函数 f ( x) ? 3x2 ? kx ? 8 , x ?[1,5]。 -(1)当 k ? 12 时,求函数 f ( x ) 的值域; (2)若函数 f ( x ) 具有单调性,求实数 k 的取值范 围。 【解析】 (1)当 k ? 12 时, f ( x) ? 3x 2 ?12x ? 8 ? 3( x ? 2) 2 ? 20 因为 x ?[1,5],所以 f ( x) min ? ?20 , f ( x) max ? 7 。 所以函数 f ( x ) 的值域为 { y | ?20 ? y ? 7}。----------5 分 (2)函数 f ( x) ? 3x2 ? kx ? 8 的对称轴方程为 x ? 若函数 f ( x ) 在 x ?[1,5]具有单调性, 则
3

1 3

1 2 6

3 4

4 3

1

1

3

3 7 ? 2 ? 。------5 分 2 2

k 。 6

k k ? 1 ,或 ? 5 ,解得 k ? 6 ,或 k ? 30 。 6 6 因此若函数 f ( x ) 具有单调性,实数 k 的取值范围为 k ? 6 ,或 k ? 30 。--------12
分 19.已知函数 f(x)=x+ . (1)判断 f(x)在(2,+∞)上的单调性并用定义证明; (2)求 f(x)在[1,4]的最大值和最小值,及其对应的 x 的取值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)在给定区间内任取两数 x1,x2,只需判断 f(x1)﹣f(x2)与 0 的大小就行; (2)由函数的单调性,即可求出最小值与最大值. 解答: 解: (1)任取 x1,x2∈(2,+∞) ,且 x1<x2, f(x1)﹣f(x2)= = ,

∵x1<x2,∴且 x1﹣x2<0,且 x1,x2∈(2,+∞) ,∴x1x2﹣4>0 ∴f(x1)﹣f(x2)<0,∴f(x)在(2,+∞)上的单调递增;-----------6 分 (2)任取 x1,x2∈(1,2)且 x1<x2,f(x1)﹣f(x2) = = ,

∵x1<x2,∴且 x1﹣x2<0,且 x1,x2∈(1,2) ,∴x1x2﹣4<0,

-5-

∴f(x1)﹣f(x2)>0,∴f(x)在(1,2)上的单调递减,由(1)知 f(x)在(2,4)上 单调递增, 又 f(1)=5,f(2)=4,f(4)=5,∴当 x=1 或 x=4 时函数 f(x)有最大值 5,当 x=2 时函 数 f(x)有最小值 4.-------12 分 点评: 本题考查了运用定义法证明函数的单调性,连续函数在闭区间上的最值,注意的是 最值可能是函数的极值也可能是区间端点的值.属于基础题.

1 ? 2 ? ( )x , x ? 0 ? ? 3 20. 已知函数 f ( x) ? ? 。 1 2 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? ?2
(1)请在直角坐标系中画出函数 f ( x ) 的图象,并写出该函数的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围。 【解析】 (1)图象如图所示。 单调递增区间: (-∞,1) , (1,+∞) ; 单调递减区间: (0,1) 。------6 分 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点, 则 y ? f ( x) 与 y ? m 的图象恰有三个不同的交点, 所以实数 m 的取值范围为
y 4 3 2 1 –2 –1 O –1 –2 –3 1 2 3 4 x

1 ? m ? 1 。-------12 分 2

21.有一长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙最大长度是 10 米)围成一个矩形花圃,设该花 圃宽 AB 为 x 米,面积是 y 平方米, (1)求出 y 关于 x 的函数解析式,并指出 x 的取值范围; (2)当花圃一边 AB 为多少米时,花圃面积最大?并求出这个最大面积? 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)表示出长和宽,从而求出函数的表达式, (2)将函数的表达式写出顶点式,从 而解决问题. 解答: 解: (1)如图示:

, ∵0<24﹣2x≤10,∴7≤x<12, 2 ∴y=x(24﹣2x)=﹣2x +24x, (7≤x<12) ,----------6 分 (2)由(1)得: 2 2 y=﹣2x +24x=﹣2(x﹣6) +72, 2 ∴AB=7m 时,y 最大为 70m .--------------12 分 点评: 本题考查了求函数的解析式问题,函数的定义域问题,考查函数的最值问题,是一 道基础题. 2 22.已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R) .
-6-

(Ⅰ)若 f(﹣1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求实数 a,b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的 取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)由 f(﹣1)=0,可得 a﹣b+1=0 即 b=a+1,又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成 立,可得 恒成立,即(a﹣1) ≤0 恒成立,从而可求出 a,b 的值;
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)=x +2x+1,可得 g(x)=x +(2﹣k)x+1,由 g(x)在 x∈[﹣2, 2]时是单调函数,可得 得出 ,解之即可得出 k 的取值范围. ,从而

解答: 解: (Ⅰ)∵f(﹣1)=0, ∴a﹣b+1=0 即 b=a+1, 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立 ∴ 恒成立,即(a﹣1) ≤0 恒成立
2

∴a=1,b=2;-------------6 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)=x +2x+1 2 ∴g(x)=x +(2﹣k)x+1 ∵g(x)在 x∈[﹣2,2]时是单调函数, ∴ ∴ ,

即实数 k 的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞) .------------12 分 点评: 本题考查了函数的恒成立问题及函数单调性的应用,难度一般,关键是掌握函数单 调性的应用.

-7-



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