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2014届一轮复习数学试题选编26二项式定理(学生版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 26:二项式定理(学生版)

填空题 1 .二项式 ( x ? y ) 的展开式中,含 x y 的项的系数是_________.(用数字作答)
5 2 3

2 .( 2 x -

1 6 ) 的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) x

>3 .在 ( x ?

1 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 _________ . x
? ?
2

4 .设常数 a ?R .若 ? x ?

a? 7 ? 的二项展开式中 x 项的系数为-10,则 a ? _______. x?

5

5 . 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) 选 修 物 理 ) 若 ( ( )
1 2 3 n Cn ? 3Cn ? 32 Cn ? 3n ?2 Cn ?1 ? 3n ?1 ? 85 ,则 n=_________________

6





(2 x ? 1)2013 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2013 x 2013

,



a0 ?

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2013 ? ________. 2 2 22013
5

7 . (2012 年高考(陕西理)) ( a ? x ) 展开式中 x 的系数为 10, 则实数 a 的值为__________.
2

? 2 a? 7 8 .(2013 上海高考数学(理))设常数 a ? R ,若 ? x ? ? 的二项展开式中 x 项的系数为 x? ?

5

?10 ,则 a ? ______
9 .



(2 x ? 1)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,



a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ___.

1 8 ) 的展开式中 x 2 的系数为____. 2x 1 n 11.(2012 年高考(大纲理))若 ( x ? ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该 x 1 展开式中 2 的系数为___________. x
10.

(x ?

12. 苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试) ( 如图所示的数阵叫 “莱布尼兹调和三角形” ,

他们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个 数且两端的数均为

1 (n ? 2) , 每 个 数 是 它 下 一 行 左 右 相 邻 两 数 的 和 , 如 : n
▲ .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?,则第 n(n ? 3) 行第 3 个数字是 ? ? , ? ? , ? ? 1 2 2 2 3 6 3 4 12

1

? 2 1? 13.(2010 年上海春季高考数学试题详细解答、评分标准与简析)在 ? 2x ? ? 的二项展开 x? ?
式中,常数项是___________.
14 . (2013 浙 江 高 考 数 学 ( 理 )) 设 二 项 式 ( x ?

6

3

1 5 ) 的展开式中常数项为 A ,则 x

A ? ________.
15 . ( 宁 夏 银 川 一 中 2012 届 高 三 数 学 第 三 次 模 拟 考 试 + 理 (98)) 若

(2 x ? 3)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 , 则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 等 于
_________.
解答题 16. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 已知数列 {an } 是等差数列,

且 a1 , a2 , a3 是 (1 ?

1 m x) 展开式的前三项的系数. 2

(Ⅰ)求 (1 ?

1 m x) 展开式的中间项; 2
1 1 1 1 1 与 的大小. ? ? ?? ? an an ?1 an ? 2 an 2 3
2013
2

(Ⅱ)当 n ? 2 时,试比较

17 . ( 江 苏 省 徐 州 市
n

届 高 三 考 前 模 拟 数 学 试 题 ) 已 知

( x + 1) ? a0 + a1 ( x ? 1) + a2 ( x ? 1) + ? + an ( x ? 1) n (n ? N* ) .
⑴求 a0 及 Sn ? ? ai ;
i ?1 n

⑵试比较 S n 与 (n ? 2)2n + 2n2 的大小,并说明理由.

2

18. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 【必做题】本小题 10 分.解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知函数 f ( x) ? C0 x2 n?1 ? C1 x2 n?2 ? C2 x2 n?3 ? ? ? Cr (?1)r x2 n ?1?r ? ? ? Cn (?1)n xn ?1 , n ?N? . n n n n n ⑴当 n≥ 2 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; ⑵是否存在等差数列 {an } ,使得 a1C0 ? a2 C1 ? ? ? an?1Cn ? nf (2) 对一切 n ?N? 都成立? n n n 并说明理由.
19. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)已知 f ( x) ? ( 2 ?

x )n , 其

中n? N .
*

(1)若展开式中含 x 项的系数为 14, 求 n 的值; (2)当 x ? 3 时, 求证: f (x) 必可表示成 s ? s ? 1( s ? N ) 的形式.
*

3

20. (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试 (数学) (选修物理) 已知 )

f ( x) ? ( x k ? x)n ,

1

且正整数 n 满足 Cn ? Cn , A ? {0,1, 2,? n}.
2 6

(1)求 n; (2)若 i, j ? A, 是否存在 j ,当i ? j时, Cn ? Cn 恒成立.若存在, 求出最小的j ,若不存
i j

在,试说明理由: (3) k ? A, 若f ( x)的展开式有且只有6个无理项, 求k.

3

江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 26:二项式定理(学生版)参考答案 填空题 1.

答案 10
? ?5-r=2 r 5-r r 解析 Tr+1=C5x y (r=0,1,2,3,4,5),由题意知? ? ?r=3

,∴含 x y 的系数为 C5=

2 3

3

5×4×3 3×2×1

2.

=10. 【答案】-160 【 解 析 】 (

2 x

-

1 x

)

6

















r Tr ?1 ? C6 (2 x )6?r (?

1 r r ) ? C6 26?r (?1) r x3?r .由题意知 3 ? r ? 0, r ? 3 ,所以二项展 x
3 3 3

开式中的常数项为 T4 ? C6 2 (?1) ? ?160 . 【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规 办法. [解析] 展开式通项 Tr ?1 ? (?1) C6 x
r r 6?r r x ? r ? (?1) r C6 x 6 ? 2 r ,令 6-2r=0,得 r=3,

3.

故常数项为 ? C6 ? ?20 .
3

4.

?2
1

解: Tr ?1 ? C5 ( x )
r

2 5? r

a ( )r , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 , x

故 C5 a ? ?10 ? a ? ?2 .
5. 6.

4

0
x?

提 示 : 在 (2 x ? 1)

2013

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2013 x 2013 中 , 令

a a a 1 ? 0 ? a0 ? 1 ? 2 ? ? ? 2013 2 2 2 2 22013
5
k k 5- k

7.

解析: ( a ? x ) 展开式中第 k 项为 T5 = C5 a 解得 a = 1 .

x k ,令 k = 2 , x 2 的系数为 C52 a3 = 10 ,

8. 9. 10.

解: Tr ?1 ? C5 ( x )
r

2 5? r

a 1 ( )r , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 ,故 C5 a ? ?10 ? a ? ?2 . x

1
答案 7 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相 等,确定了 n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数. 【 解 析 】 根 据 已 知 条 件 可 得 (x ?

1 8 ) 展 开 式 的 通 项 公 式 为 2x

4

Tr ?1 ? C8r x8?r ( 1 C83 ( )3 ? 7 . 2 11.答案 56

1 r 1 ) ? C8r ( ) r x8?2 r , 令 8 ? 2r ? 2 ? r ? 3 , 故 所 求 x 2 的 系 数 为 2x 2

【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等, 确定了 n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数. 【解析】根据已知条件可知 Cn ? Cn ? n ? 2 ? 6 ? 8 ,
2 6

所以 ( x ? )8 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 x
r

1 x

8? r

,令 8 ? 2r ? ?2 ? r ? 5

所以所求系数为 C8 ? 56 .
5

12.答:

2 , n ? (n ? 1) ? (n ? 2)

13.

r 6?r x2 【解】 60 .由通项公式 Tr ?1 ? C6 2

? ?

6?r

r x ? r ? C6 26? r x12?3r ,令 12 ? 3r ? 0 ,所以

r ? 4.
所以常数项是 T5 ? C6 ? 2 ? 60 .
4 2

14.

?10
到:

r 解 : 由 Tr ?1 ? C5 x

5?r 2

r (? x 3 )r ? (?1)r C5 x

?

1

5? r 1 ? r 2 3

, 由 已 知 得

5?r r 3 ? ? 0 ? r ? 3 ,所以 A ? (?1)3 C5 ? ?10 ,所以填-10; 2 3

15. 解答题 16.

10



:(Ⅰ)

(1 ?

1 m 1 1 2 1 x) ? 1 ? Cm ( x) ? Cm ( x) 2 ?? 2 2 2







a1 ? 1 , a2 ?
所以 (1 ?

1 m(m ? 1) m , a3 ? ,由 2a2 ? a1 ? a3 可得 m ? 1 (舍去),或 m ? 8 2 8

1 m 1 35 4 x) 展开式的中间项是第五项为: T5 ? C84 ( x) 4 ? x ; 2 2 8

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3n ? 2 , 当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 69 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an an ?1 an ? 2 an2 a2 a3 a4 4 7 10 140 3

5

当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ??? an an ?1 an ? 2 an2 a3 a4 a5 a9

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ? )?( ? ? ) 7 10 13 16 19 22 25 7 10 13 16 19 22 25

1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 1 ? ?( ? ? )?( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 8 16 16 16 32 32 32 8 16 32 8 16 16 3
猜测:当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? an an ?1 an ? 2 an 2 3

以下用数学归纳法加以证明: ① n ? 3 时,结论成立, ②设当 n ? k 时,

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? , ak ak ?1 ak ? 2 ak 2 3

则 n ? k ? 1 时,

1 a( k ?1)

?

1 a( k ?1) ?1

?

1 a( k ?1) ? 2

?? ?

1 a( k ?1)2

?(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ) ?( ? ?? ? ? ) ak ak ?1) a( k ?1) ?1 a( k ?1) ? 2 ak 2 ak 2 ?1 ak 2 ? 2 a( k ?1)2 ak

1 1 1 1 1 1 (2k ? 1) 1 ? ?( ? ?? ? ? )? ? ? 2 3 ak 2 ?1 ak 2 ? 2 a( k ?1)2 ak 3 3(k ? 1) ? 2 3k ? 2
1 (2k ? 1)(3k ? 2) ? [3(k ? 1) 2 ? 2] 1 3k 2 ? 7 k ? 3 ? ? ? ? 3 [3(k ? 1) 2 ? 2][3k ? 2] 3 [3(k ? 1) 2 ? 2][3k ? 2]
由 k ? 3 可知, 3k 2 ? 7 k ? 3 ? 0 即

1 a( k ?1)

?

1 a( k ?1) ?1

?

1 a( k ?1) ? 2

?? ?

1 a( k ?1)2

?

1 3

综合①②可得,当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? an an ?1 an ? 2 an2 3

17. ⑴令 x ? 1 ,则 a0 ? 2 ,令 x ? 2 ,则
n

?a
i ?0

n

i

? 3n ,所以 Sn ? ? ai ? 3n ? 2n
i ?1

n

⑵要比较 S n 与 (n ? 2)2n + 2n2 的大小 ,只要比 较 3n 与 (n ? 1)2n + 2n2 的大小. 当 n ? 1 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ;当 n ? 2 或 3 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 , 当 n ? 4 或 5 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ,
6

猜想:当 n≥ 4 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 .下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当 n ? 4 时,结论成立 ②假设当 n ? k (k ≥ 4, k ?N* ) 时结论成立,即 3k ? (k ? 1)2k + 2k 2 , 两边同乘以 3 ,得 3k +1 ? 3[(k ? 1)2k + 2k 2 ] ? k 2k +1 + 2(k + 1)2 + [(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2] , 而 (k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k + 4(k 2 ? k ? 2) + 6

? (k ? 3)2k + 4(k ? 2)(k + 1) + 6 ? 0 ,
所以 3k +1 ? [(k + 1) ? 1]2k +1 + 2(k + 1)2 , 即 n ? k + 1 时结论也成立. 由①②可知,当 n≥ 4 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 成立 综上所述,当 n ? 1 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ;当 n ? 2 或 3 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2 ; 当 n≥ 4 时, 3n ? (n ? 1)2n + 2n2

18. (1) f ( x) ? x n ?1[C0 x n ? C1 x n ?1 ? C2 x n ? 2 ? ??? ? Cr (?1)r x n ? r ? ??? ? (?1)n Cn ] = x n ?1 ( x ? 1)n , n n n n n

f ?( x) ? (n ? 1) x n?2 ( x ? 1)n ? x n?1 ? n( x ? 1)n?1 = xn?2 ( x ? 1)n?1[(n ? 1)( x ? 1) ? nx] ,
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ?

n ?1 , x3 ? 1 , 2n ? 1

因为 n≥ 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 当 n 为偶数时 f ( x) 的增减性如下表:

x
f ?( x)

(??,0)

0

(0,

n ?1 ) 2n ? 1

n ?1 2n ? 1

(

n ?1 ,1) 2n ? 1

1

(1, ??)

?

0

?

0
极 大 值

?

0

?

f ( x)

?

无 极 值

?

?

极 小 值

?

所以当 x ?

(n ? 1)n ?1 ? (?n)n n ?1 时, y极大 ;当 x ? 1 时, y极小 ? 0 (2n ? 1)2 n ?1 2n ? 1

7

当 n 为奇数时 f ( x) 的增减性如下表:

x
f ?( x)

(??,0)

0 0
极 大 值

(0,

n ?1 ) 2n ? 1
?

n ?1 2n ? 1

(

n ?1 ,1) 2n ? 1

1
0
无 极 值

(1, ??)

?

0
极小 值

?

?

f ( x)

?

?

?

?

所以 x ? 0 时, y极大 ? 0 ;当 x ?

(n ? 1) n ?1 ? (?n) n n ?1 时, y极小 ? (2n ? 1) 2 n ?1 2n ? 1

2 n (2)假设存在等差数列 ?an ? 使 a1C0 ? a2 C1 ? a3Cn ? ??? ? an?1Cn ? n ? 2n ?1 成立, n n

由组合数的性质 Cm ? Cn ?m , n n
n 把等式变为 an ?1C0 ? an C1 ? an ?1C2 ? ??? ? a1Cn ? n ? 2n ?1 , n n n

两式相加,因为 ?an ? 是等差数列,所以 a1 ? an?1 ? a2 ? an ? a3 ? an?1 ? ? ? an?1 ? a1 ,
n 故 (a1 ? an ?1 )(C0 ? C1 ? ? ? Cn ) ? n ? 2n , n n

所以 a1 ? an ?1 ? n 再分别令 n ? 1,n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 1 且 a1 ? a3 ? 2 , 进一步可得满足题设的等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 1(n ?N? )

19.解: (1)因为

Tr ?1 ? C 2
r 8

8? r

(2) 知, 设


0 (2 ? 3) n ? Cn 2n

3 C ?2 ,所以 r ? 6 ,故 x 项的系数为 n 二 项 式 定

x

r 2

6

n ?6

? 14
n

,解得 n ? 7 理 可

? 3?

0

1 ? Cn 2n ?1

? 3? ? C 2 ? 3?
1 2 n n?2

2

n ? ? ? Cn 2 0

? 3? ,

(2 ? 3) n ? x ? 3 y ? x 2 ? 3 y 2

n ? ,而若有 (2 ? 3) ? a ? b , a, b ? N ,

n ? 则 (2 ? 3) ? a ? b , a, b ? N n n ∵ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (2 ? 3) ? (2 ? 3) ? 1 ,

∴令 a ? s, s ? N ,则必有 b ? s ? 1
n ? ∴ (2 ? 3) 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N

?

8

注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数.
20.

9


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