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2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学试题及解答(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理工农医类)及解答
参考公式: 如果时间 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果时间 A、B 相互独立,那么 P( A B) ? P( A) P( B)
k k 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn ?

k ? ? Cn P ?1 ? P ? n?k

球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径
2

球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径 3

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 (1)复数 A. i

1 ? 3i 等于( 3 ?i

) C. 3 ? i
2

(2)设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 ,则 CR ? A A. R B. x x ? R, x ? 0

?

B. ? i

?

?

?

D. 3 ? i

B? 等于(



?

?

C. ?0?

D. ? )

(3)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ?4 D. 4
2

2 2 ? a ?b ? a ?b (4)设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? ,则 p 是 q 成立的( ? ? 2 ? 2 ?



A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 (5)函数 y ? ?

D.既不充分也不必要条件

? 2 x, x ? 0 2 ?? x , x ? 0

的反函数是(



? x ? x ,x ?0 ? ? ? 2 x, x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? ,x ?0 ? A. y ? ? 2 B. y ? ? C. y ? ? 2 D. y ? ? ? ? ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ? ? ? ? (6)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图 ? 6 ?
象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ? )

?

) 3 3 4 (7) 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则 l 的方程为 ( ) 4 x ? y ? 3 ? 0 B.x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4x ? y ? 3 ? 0 x ? 4y ? 3 ? 0 A. D. sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是( ) (8)设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? sin x
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 (9)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A.

?

6

)

B. y ? sin( x ?

?
6

)

)

D. y ? sin(2 x ?

?

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3
-1-

D.

2 2 ? 3

?x ? y ?1 ? 0 ? (10)如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

,那么 2 x ? y 的最大值为(



A. 2 B. 1 C. ?2 D. ?3 (11)如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形



(12)在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰 三角形的概率为( .. A.



1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分

3 ? 2 1 ? 3 a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? _____。 (13)设常数 a ? 0 , ? ax ? ? 展开式中 x 的系数为 2 ,则 lim( n ?? x? ? (14)在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 a、 b 表示) 1 (15)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? __________。 f ? x?

4

(16)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同 侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平 面 ? 的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 C1 D1 以上结论正确的为______________。 (写出所有正确结论的编号 ) .. A1 B1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 (17) (本大题满分 12 分)已知 (Ⅰ)求 tan ? 的值; D C B A 第 16 题图

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

?
A1

5sin 2
(Ⅱ)求

?

2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

(18) (本大题满分 12 分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。 在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。 根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 ? 表示所选用的两种不同的添加剂的芳 香度之和。 (Ⅰ)写出 ? 的分布列; (以列表的形式给出结论,不必写计算过程) (Ⅱ)求 ? 的数学期望 E? 。 (要求写出计算过程或说明道理) (19) (本大题满分 12 分)如图,P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点, PA ? 1 ,P 在平面 ABC 内的射影 为 BF 的中点 O。 (Ⅰ)证明 PA ⊥ BF ; (Ⅱ)求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。
-2-

(20) (本大题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 在 R 上有定义,对任何实数 a ? 0 和任何实数 x ,都有 f ? ax ? ? af ? x ?

? kx, x ? 0 其中 k 和 h 均为常数; ?hx, x ? 0 1 (Ⅲ)当(Ⅱ)中的 k ? 0 时,设 g ? x ? ? ? f ? x ? ( x ? 0) ,讨论 g ? x ? 在 ? 0, ??? 内的单调性并求极 f ? x?
(Ⅰ)证明 f ? 0? ? 0 ; (Ⅱ)证明 f ? x ? ? ? (21) (本大题满分 12 分)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

(Ⅰ)写出 Sn 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式; (Ⅱ)设 f n ? x ? ?

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点,且位 a 2 b2 于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四 边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF 。 y (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲 线于 A、B 点, H M P 若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。
(22) (本大题满分 14 分)如图,F 为双曲线 C: x O F

第 22 题图

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

1 ? 3i 1 ? 3i 1 ? ? ? i 故选 A 3 ? i ?i(1 ? 3i) ?i 2.解: A ? [0, 2] , B ? [?4, 0] ,所以 CR ? A B ? ? CR{0},故选 B。
1.解: 3.解:椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 ,故选 D。 6 2
-3-

4.解:命题 p : a ? b 是命题 q : ?

2 2 ? a ?b ? a ?b 等号成立的条件,故选 B。 ? ? 2 ? 2 ?

2

5.解:有关分段函数的反函数的求法,选 C。 6.解:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? 移,平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? 知, ? (

? ? ? ,0?平 ? 6 ?

?
6

) ,由图象

7? ? 3? ? )? ,所以 ? ? 2 ,因此选 C。 12 6 2

7.解:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4,而 y? ? 4 x3 , 所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A 8.解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ? 又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ?

sin x ? a a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域, sin x t

a , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t

9.解:此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ? 为 2 ,故选 A。 10.解:当直线 2 x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选 B。

3a 2 ? 2 3 知, a ? 1 ,则此球的直径 4

11.解: ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A 1B 1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? ? sin B ? cos B ? sin( ? B ) ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角 ? 2 1 1 ,得 ? B2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ?
形。故选 D。
3 12.解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 个三角形,要得直角非等腰 三角形,则每个顶点上可 ..

得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有 24 个,得

24 ,所以选 C。 C83

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.解: Tr ?1 ? C4 a
r 4 ? r 8 ?2 r

x

x

1 ? r 2

,由 x

8? 2 r

x

1 ? r 2

3 1 r 4? r a = 知a= ,所以 ? x3 , 得r ? 2, 由C4 2 2

1 lim(a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? 2 ? 1 ,所以为 1。 n ?? 1 1? 2
14.解:由AN ? 3NC得4AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ?

1 b ,所以 2

-4-

MN ?

3 1 1 1 ( a ? b) ? ( a ? b) ? ? a ? b 。 4 2 4 4

15.解:由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 得 f ? x ? 4? ? ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f ? x? f ? x ? 2?
1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

16.解:如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分别为 1、2、4,则 D、A1 的中点到平面 ? 的距离为 3,所以 D1 到 离为 7;而 P 为 C、C1、B1、D1 中的一点,所以选①③④⑤。

3 7 ,所以 C 到平面 ? 的距离为 3;C、A1 的中点到平面 ? 的距离为 ,所以 C1 到平面 ? 的距 2 2 5 平面 ? 的距离为 6;B、A1 的中点到平面 ? 的距离为 ,所以 B1 到平面 ? 的距离为 5;则 D、B 的中点到平 2
面 ? 的距离为 值。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17.解:(Ⅰ)由 tan ? ? cot ? ? ? 以 tan ? ? ?

10 1 3? 2 ? ? ? ? ,所 得 3tan ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ,即 tan ? ? ?3或 tan ? ? ? ,又 3 3 4

1 为所求。 3

5sin 2
(Ⅱ)

?

? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 5 ? 5cos ? ? 8sin ? ? 11 ? 11cos ? ? 16 8sin ? ? 6cos ? 8 tan ? ? 6 5 2 ? = = =? 。 6 ?2 2 cos ? ?2 2 cos ? ?2 2
18.解: (Ⅰ) 2 ? 1 P 3 4 5 6 7 8 9

2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8 5

??

1- cos ? 1+ cos ? ? 4sin ? ? 11 ?8 2 2 = ? 2 cos ?

1 15

1 15

2 15

2 15

3 15

2 15

2 15

1 15

1 15

(Ⅱ)

1 1 2 2 3 2 2 2 1 P ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15 19.解: (Ⅰ)在正六边形 ABCDEF 中, ABF 为等腰三角形, E? ? 1?
∵P 在平面 ABC 内的射影为 O, ∴PO⊥平面 ABF, ∴AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影;∵O 为 BF 中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。 (Ⅱ) ∵PO⊥平面 ABF, ∴平面 PBF⊥平面 ABC; 而 O 为 BF 中点, ABCDEF 是正六边形 ,∴A、O、D 共线,且直线 AD⊥BF,则 AD⊥平面 PBF;又 ∵正六边形 ABCDEF 的边长为 1,∴ AO ? A 1 3 3 , DO ? , BO ? 。 2 2 2 B 第 19 题图 F H O C D E

过 O 在平面 POB 内作 OH⊥PB 于 H,连 AH、DH,则 AH⊥PB,DH⊥PB, 所以 ?AHD 为所求二面角平面角。

1 7 21 AO 在 AHO 中,OH= , tan ?AHO ? 。 ? 2 = 7 OH 21 2 21 7
-5-

3 DO 21 在 DHO 中, tan ?DHO ? ; ? 2 ? OH 2 21 7 7 21 ? 4 ? 28 2 2 21 而 tan ?AHD ? tan(?AHO ? ?DHO) ? ?? 7 21 3 21 1? ? 2 2 21 1 1 3 0 , ?, 1 )? , (Ⅱ) 以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系, P(0,0, 1), A(0,? ,0), B( , 0,0), D(0,2, 0), ∴ PA ? ( 2 2 2 3 PB ? ( , 0, ?1) , PD ? (0, 2, ?1) 2 ? 1 ? y1 ? 1 ? 0 ? 2 3 ? 2 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x1, y1,1) ,则 n1 ? PA , n1 ? PB ,得 ? , n1 ? ( , ?2,1) ; 3 ? 3 x ?1 ? 0 1 ? ? 2 ? 2 y2 ? 1 ? 0 2 3 1 ? 设平面 PDB 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 ,1) ,则 n2 ? PD , n2 ? PB ,得 ? 3 , n2 ? ( , ,1) ; 3 2 x2 ? 1 ? 0 ? ? 2 n ?n cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? | n1 | ? | n2 |
20.证明(Ⅰ)令 x ? 0 ,则 f ? 0? ? af ? 0? ,∵ a ? 0 ,∴ f ? 0? ? 0 。
2 (Ⅱ)①令 x ? a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f x ? xf ? x ? 。

,∴ f ?x ? ?xf x ? ? kx ? ? ,即 f ( x) ? kx 成立。 ? ? ? kx ,而 xf ?x ? ?x kx ②令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 , f ? ? x ? ? ? xf ? x ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? hx (h ? R) ,则 f ? ? x ? ? ? hx ,而 ?xf ? x ? ? ?x ? hx ? ?hx ,∴ f ? ? x ? ? ? xf ? x ? ,即 假设 x ? 0 时, f ( x) ? kx (k ? R) ,则 f x
2 2

? ?

2

2

2

2

2

2

2

? kx, x ? 0 f ( x) ? hx 成立。∴ f ? x ? ? ? 成立。 ?hx, x ? 0 1 x2 ?1 1 1 (Ⅲ)当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? kx , g ?( x) ? ? 2 ? k ? kx kx 2 f ? x? kx 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1或x ? ?1 ; 当 x ? (0,1) 时, g ?( x)<0 ,∴ g ( x) 是单调递减函数; 当 x ? [1, ??) 时, g ?( x)>0 ,∴ g ( x) 是单调递增函数; 1 所以当 x ? 1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ??? 内取得极小值,极小值为 g (1) ? ? k k 2 2 2 2 21.解:由 Sn ? n an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得: Sn ? n (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ,即 (n ?1)Sn ? n Sn?1 ? n ? n ?1? ,所以
n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 n ?1 Sn ? Sn ?1 ? 1 , Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 1 ,…, S 2 ? S1 ? 1 相加得: Sn ? 2S1 ? n ? 1 ,又 由 n n ?1 n ?1 n?2 2 1 n 1 n2 S1 ? a1 ? ,所以 Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 2 n ?1
-6-

S n n ?1 n n ?1 x ? x ,得 bn ? fn/ ? p ? ? npn 。 n n ?1 2 3 而 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? (n ?1) pn?1 ? npn ,
(Ⅱ)由 f n ? x ? ?

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ?
(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ?
22.解:∵四边形 OFPM 是

? (n ?1) pn ? npn?1 ,
? p n?1 ? p n ? np n?1 ? p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p
a2 ,又 c

,∴ | OF |?| PM |? c ,作双曲线的右准线交 PM 于 H,则 | PM |?| PH | ?2

| PF | ? | OF | ?c ?c 2 ?e2 2 ? ? ? ? , e ? ?e ? 2 ? 0 。 a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c?2 c?2 c c x2 y2 2 2 (Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为 2 ? 2 ? 1 四边形 OFPM 是菱形,所以直线 OP 的斜率 4a 3a 2 2 为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 , e?
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得: 12 ? 2 (

9 27 48a 2 60a 2 2 2 ,解得 a ? ,则 b ? ,所以 ) ?4 4 4 9 9

x2 y 2 ? ? 1 为所求。 9 27 4

-7-


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