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2015-2016高中数学 3.1.2复数的几何意义练习 新人教A版选修1-2


3.1.2

复数的几何意义

基 础 梳 理 1.复平面. (1)定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面. (2)实轴:x 轴叫做实轴. (3)虚轴:y 轴(除去原点)叫做虚轴. 2.复平面内的点与复数的对应关系. (1)实轴? 实数. (2)虚轴(除原点)? 纯虚数. (3)各象限的点? 非纯虚数. 3.复数的两种几何形式(点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b). (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)? 点 Z(a,b). → (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)? 向量OZ. 4.复数的模. → 2 2 向量OZ的模叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|= a +b .若 b=0,那么 z=

a+bi(a,b∈R)是一个实数,它的模等于|a|.
基 础 自 测 1.复数 2-3i 对应的点在直线(C) A.y=x 上 B.y=-x 上 C.3x+2y=0 上 D.2x+3y=0 上 解析:2-3i 对应的点(2,-3),满足方程 3x+2y=0.故选 C. → → 2.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数(C) A.等于 0 B.-3 C.在虚轴上 D.既不在实轴上,也不在虚轴上 → 解析:OZ对应的复数为-3i,在虚轴上.故选 C.

1

3.在复平面内,复数 1-i 对应的点与原点的距离是 2. 解析:1-i 对应的点为 Z(1,-1),|OZ|= 2.

(一)复平面 (1)根据复数相等的定义,任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R),都可以由一个有序实数 对(a,b)唯一确定.因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对 应的关系. (2)基本概念. ①复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面. ②实轴:坐标系中的 x 轴叫实轴.在它上面的点都表示实数. ③虚轴:坐标系中的 y 轴叫虚轴.除去原点外,在它上面的点都表示纯虚数. 注:(1)习惯上,用大写字母 Z 表示点,小写字母 z 表示复数. (2)复数 z=a+bi 用复平面内的点 Z(a,b)表示,复平面内点 Z 的坐标是(a,b),而非 (a,bi).例如,复平面内的点(-2,3)表示复数-2+3i;反之,复数-2+3i 对应复平面 内的点的坐标是(-2,3). (二)复数的几何意义 (1)复数与点对应. 每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯 一的一个复数和它对应.因此,复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即 一一对应 复数 z=a+bi????复平面内的点 Z(a,b). (2)复数与向量的应用. 在平面直角坐标系中, 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示, 而有序实数对 → 与复数是一一对应的.设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi,连接 OZ,向量OZ是由点 Z 唯 → 一确定的;反过来,点 Z 也可以由向量OZ唯一确定.因此,复数集 C 与复平面内的向量所成 的集合也是一一对应的,即 一一对应 → 复数 z=a+bi????平面向量OZ. 注:(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点,若起点不是原点, 则复数与向量就不能建立一一对应关系. → 向量OZ.
2

(2)常把复数 z=a+bi 说成点 Z(a,b)或说成

(3)规定:相等向量表示同一复数. (三)复数的模 → (1)定义:向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或者|a+bi|. → 2 2 (2)求法:|z|=|OZ|= a +b . (3)模的几何意义:模的几何意义就是复数 z=a+bi 所对应的点 Z(a,b)到原点(0,0) 的距离. 注:(1)实数 0 与零向量对应,故复数 0 的模为 0. (2)模相等的两个复数未必相等.例如,|i|=1=|-i|,但显然 i≠-i.

→ 1.复数 z=a+bi(a、b∈R)与点 Z(a,b)及向量OZ的一一对应关系如下图所示.

2.由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时,通常是由对应关系列出方 程(组)或不等式(组),求得复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数. 3.复数 z=a+bi 的模|z|= a +b ,从几何意义上理解,表示点 Z(a,b)和原点间的 距离,类比向量的模可进一步引申:|z1-z2|表示复数 z1 和 z2 对应的点 Z1 和 Z2 之间的距离. 4.复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.计算复数的模时,应先找出 复数的实部和虚部,然后再利用复数模的计算公式进行计算.由于复数的模是一个实数,所 以复数的模可以比较大小.
2 2

3-4i 1.复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(D) 5 A 第一象限 B.第二象限
3

C.第三象限 D.第四象限 2.复数 z= 2-i 对应的点在复平面的(B) A.第一象限内 B.实轴上 C.虚轴上 D.第四象限上 3.(2013·重庆卷)已知复数 z=1+2i(i 是虚数单位),则|z|= 5.
2

?a -a-2?i(a∈R)对应的点 Z: 4.a 取何值时,z=(a -2a-8)+? ? ? a+1 ?
2

2

(1)在复平面的 x 轴的下方? (2)在直线 x+y+8=0 上? 解析:(1)点 Z 在复平面的 x 轴的下方,则

a2-a-2 <0? a<2,且 a≠1. a+1

∴a<2,且 a≠-1 时,点 Z 在复平面的 x 轴的下方. (2)点 Z 在直线 x+y+8=0 上,则

a2-a-2 3 2 a2-2a-8+ +8=0? a -3a-2=0? a -a-2=0(a≠-1)? a=2. a+1
∴a=2 时,点 Z 在直线 x+y+8=0 上.

1.复平面中下列哪个点对应的复数是纯虚数(D) A.(1,2) B.(-3,0) C.(0,0) D.(0,-2) 2.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为(A) A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 3.设复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的点在虚轴的右侧,则(D) A.a>,b>0 B.a>0,b<0 C.b>0,a∈R D.a>0,b∈R 4.两个不相等的复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),若 z1 与 z2 在复平面 内的对应点关于虚轴对称,则 a,b,c,d 之间的关系为(A) A.a=-c,b=d B.a=-c,b=-d

4

C.a=c,b=-d

D.a≠c,b≠d

解析:设 z1=a+bi(a,b∈R)的对应点为 P(a,b),

z2=c+di(c,d∈R)的对应点为 Q(c,d).
∵P 与 Q 关于 y 轴对称, ∴a=-c,b=d. 5.已知 z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是(D) A.z1>z2 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2| 解析:|z1|=|5+3i|= 5 +3 = 34, |z2|=|5+4i|= 5 +4 = 41, ∵ 34< 41,∴|z1|<|z2|. 6.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是(C) A.(1,5) B.(1,3) C.(1, 5) D.(1, 3) 解析:|z|= a +1,∵0<a<2,∴1<a +1<5,∴1<|z|< 5.故选 C. 7.若复数 z=1-i(i 为虚数单位),则|z|= 2. 8.若复数 z 对应的点在直线 y=2x 上,且|z|= 5,则复数 z=________. 解析:依题意可设复数 z=a+2ai(a∈R),由|z|= 5得 a +4a = 5, 解得 a=±1,故 z=1+2i 或 z=-1-2i 答案:1+2i 或-1-2i 9.已知复数 z=x-2+yi 的模为 2 2,则点(x,y)的轨迹方程为________. 解析:依题意得 (x-2) +y =2 2, ∴(x-2) +y =8. 答案:(x-2) +y =8 10.设复数 z=2m+(4-m )i,当实数 m 取何值时,复数 z 对应的点: (1)位于虚轴上? (2)位于一、三象限上? (3)位于以原点为圆心,以 4 为半径的圆上? 解析:(1)复数 z 对应的点位于虚轴上,则
?2m=0, ? ? ? m=0. 2 ? ?4-m ≠0
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2

∴m=0 时,复数 z 对应的点位于虚轴上. (2)复数 z 对应的点位于一、三象限,则

5

2m·(4-m )>0? m(m-2)(m+2)<0? m<-2 或 0<m<2. ∴m<-2 或 0<m<2 时,复数 z 对应的点位于一、三象限. (3)|z|= (2m) +(4-m ) =4? m=0 或 m=±2. ∴m=0 或 m=±2 时,复数 z 对应的点位于以原点为圆心,以 4 为半径的圆上. ?品味高考 1.(2014·重庆高考)实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的(B) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由题意可得复数 z=-2+i,故在复平面内对应的点为(-2,1),在第二象限, 故选 B. 2.(2013·湖北卷)i 为虚数单位,设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点对称, 若 z1=2-3i,则 z2=________. 解析:在复平面内,复数 z=a+bi 与点(a,b)一一对应. ∵点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数 z2=-2+3i. 答案:-2+3i
2 2 2

2

6


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