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高一数学必修1第三章


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第三章 函数的应用
一、选择题 1.函数 f(x)=6x2-5x-1 的零点是( ). C .2 或 3 ). C .1 D.2 ). D.1 或-6

1 1 A. 或 3 2

B.1 或-

1 6

2.函数 f(x)=x4-2x+1 的一个零点是( A.- 1 B.0

3.下列四个函数的图象中,在区间(0,+∞)上有零点的是(

① A.①②

② B.①③④ ).

(第 3 题)

③ C.②④

④ D.①④

4.下列判断正确的是( A.二次函数一定有零点 C.偶函数一定有零点

B.奇函数一定有零点 D.以上说法均不正确 ).

5.下列各函数的图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求零点近似值的是(

A

B

C ).

D

6.用二分法求函数 f(x)=x3+x2-2x-1 的一个正零点,可选作计算的初始区间的是( A. [-1,1] B. [0,1] C. [1,2] )个零点. C .3 D.不能确定 D. [2,3]

7.函数 y=loga x(a>0,a≠1)有( A.1 B.2

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8.方程 x3 +ax2-(a2+1)x = 0 的根的个数是( A.1 B.2 C .3 ). D.3 ). D.不能确定

9.若 2 是函数 f(x)= x2+ax-6 的一个零点,则实数 a 的值为( A.-1 B.1 C.-3

10.某水果批发市场规定:批发水果不少于 100 千克时,批发价为每千克 2.5 元,小王携带现金 3000 元到市场采 购水果,并以批发价买进水果 x 千克,小王付款后剩余现金为 y 元,则 x 与 y 之间的函数关系为( A.y=3 000-2.5x,(100≤x≤1 200) C.y=3 000-100x,(100<x<1 200) 二、填空题 11.函数 f(x)=x3-x 的零点是__________________. 12.若函数 f(x)=ax2+2x-1 一定有零点,则实数 a 的取值范围是___________. 13.已知函数 f(x)=2mx+4 在区间[-2,1]上存在零点,则实数 m 的取值范围是______. 14.用二分法求函数 f(x)=x3-2x-5 的一个零点时,若取区间[2,3]作为计算的初始区间,则下一个区间应取 为 . 15 . 已 知 函 数 f(x) = ax2 + bx + c 的 两 个 零 点 是 - 1 和 2 , 且 f(5) < 0 , 则 此 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 . 16. 某卡车在同一时间段里的速度 v(km/h)与耗油量 Q(kg/h)之间有近似的函数关系式 Q=0.002 5v2-0.175v+ 4.27,则车速为 三、解答题 17.若二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 有一个零点小于-1,一个零点大于 3,求实数 a 的取值范围. km/h 时,卡车的油耗量最少. B.y=3 000-2.5x,(100<x<1 200) D.y=3 000-100x,(100≤x≤1 200) ).

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18. 设 f(x)和 g(x)的图象在[a,b]上是连续不断的,且 f(a)<g(a),f(b)>g(b),试证明:在(a,b)内至少存 在一点 x0,使 f(x0)=g(x0).

19.若一次函数 f(x)=kx+1-3k 在区间[1,2]内有零点,求实数 k 的取值范围.

20. 说明函数 f(x)=x3-3x+1 在区间(1,2)内必有零点,并用二分法求出一个零点的近似值(误差不超过 0.01).

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第三章 函数的应用
参考答案
一、选择题 1.B 解析:令 f(x)=6x2-5x-1=0,得 x1=1,x2=-

1 . 6

2.C 解析:将-1,0,1,2 分别代入到 f(x)=x4-2x+1 中,只有 f(1)=0,故答案选 C. 3.D 解析:函数有零点,即存在自变量 x0,使得 f(x0)=0,反映在图象上就是与 x 轴有交点.本题要求在区间(0,+ ∞)上有零点,即交点在 x 轴的正半轴上. 4.D 解析:二次函数、奇函数、偶函数都有可能无零点,故以上说法均不正确. 5.B 解析:因为在零点附近的函数值都为正值,而二分法是通过零点附近函数值异号进行求解的. 6.C 解析:∵f(1)=-1<0,f(2)=7>0,∴函数 f(x)=x3+x2-2x-1 的一个正零点一定在区间[1,2]里. 7.A 解析:0<a<1 时,1 个;a>1 时,1 个. 8.C 解析:令 x3+ax2-(a2+1)x=0,可求出三个根. 9.B 解析:由 f(2)=0 得 a=1. 10.A 解析:B 选项函数的定义域有误,C,D 选项函数的解析式不对. 二、填空题 11.0,-1,1. 解析:令 f(x)=x3-x=0,可求得. 12.a≥-1. 解析:若函数 f(x)=ax2+2x-1 一定有零点,则方程 ax2+2x-1=0 一定有实根, 故 a=0 或 a≠0 且方程的判别式大于等于零. 13.(-∞,-2]∪[1,+∞). 解析:因为函数 f(x)=2mx+4 在区间[-2,1]上存在零点,其图象是一条线段,所以 f(-2)f(1)≤0,可求实 数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞). 14. [2,2.5] . 解析:若取区间[2,3]作为计算的初始区间,则下一个区间应取为[2,2.5]或[2.5,3] ,由于 f(2)f(2.5)<0, 故取[2,2.5] .

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15.函数的单调递增区间为 (-∞,

1 ). 2 1 1 b b =-1∴- = ,函数的单调递增区间为 (-∞, ). a 2 2a 2

解析:∵f(-1)=0,f(2)=0,f(5)<0,∴a<0, 16.35.

解析:Q=0.002 5y2-0.175y+4.27 在 x=35 处取得最小值. 三、解答题 17.解:因为二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 的图象开口向下,且在区间(―∞, ―1),(3,+∞)内各有一个零点,所以 f(-1)>0 f(3)>0 , 解得 a>

4 . 5

18.解:设 F(x)=f(x)-g(x),则 F(x)的图象在[a,b]上是连续不断的. 因为 f(a)<g(a),f(b)>g(b),所以 F(a)·F(b)<0. 因此 F(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设为 x0.即 F(x0)=0,也即 f(x0)=g(x0). 19.当 f(1)·f(2)≤0 时函数 f(x)在区间[1,2]内有零点,解得 k∈ ? 1 ,1? ,所以实数 k 的取值范围为 ? 1 ,1? . ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? 20.由于 f(x)=x3-3x+1 在区间[1,2]上的图象是连续不间断的,且 f(1)·f(2)=-3<0,所以函数 f(x)在区 间(1,2)内必有零点. 取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下: 端点(中点)坐标 x0=1.5 x1=1.75 x2=1.625 x3=1.562 5 x4=1.531 25 x5=1.546 875 x6=1.539 062 5 计算中点的函数值 f(x0)=-0.125<0 f(x1)=0.109 375>0 f(x2)=0.416 015>0 f(x3)=0.127 197 265>0 f(x4)=0.003 387 451 17<0 f(x5)=0.060 771 942>0 取区间 [1,2] [1.5,2] [1.5,1.75] [1.5,1.625] [1.5,1.562 5] [1.531 25,1.562 5] |an-bn| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25

[1.531 25,1.546 875] 0.015 625

由上表可知 x6=1.539 062 5 可作为所求函数的误差不超过 0.01 的一个零点的近似值.

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