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黑龙江省哈三中2013届高三上学期期末考试数学理


哈三中 2012—2013 学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷(理科)
考试说明: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分. 考试时间为 120 分钟; (2)第 I 卷,第 II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第I卷
有一项是符合题目要求的)

(选择

题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只

1.已知集合 A ? ?2,3, 4? , B ? ?2, 4,6,8? , C ? ( x, y ) x ? A, y ? B, 且log x y ? N 则 C 中元素个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

?

?

?,

?x ? y ? 3 ? 0 ? 2.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y ? 4 的最大值为 ?y ?1 ?
A. 5 B. 1 C. ? 1 D. ? 4

3.下列说法正确的个数是 ①“在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题; ②“ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 2 ? 0 垂直”的充要条 件; ③“三个数 a, b, c 成等比数列”是“ b ?
3 2

ac ”的既不充分也不必要条件;

④命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , x03 ? x02 ? 1 ? 0 ” . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. 1 C.

1 2

1 3 3 D. 2
B.

5. 首项为 1 , 且公比为 q ( q ? 1 )的等比数列的第 11 项 等于这个数列的前 n 项之积,则 n 的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?1,2? 内是增函数的是 A. y ? cos 2 x
?x

B. y ? log1 x
2

C. y ? x

?

2 3

e x ? e?x D. y ? 2

7.方程 e

? ln x 的两个根为 x1 , x 2 ,则
B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1 D. 0 ? x1 x2 ? 1

A. x1 x2 ? 0

8.已知 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? ? ? R, | ? |? ?

? ?

??

? 1 ? ,满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) , f (0) ? , 2 2 2?

? ?? f ?(0) ? 0 ,则 g ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) 在区间 ?0, ? 上的最大值与最小值之和为 ? 2?
A. 2 ? 3 B. 3 ? 2 C. 0 D. ? 1

x2 y 2 ? ? 1 ,过椭圆上一点 P(2,1) 作切线交 y 轴于 N ,过点 P 的另一 9.已知椭圆方程为 8 2
条直线交 y 轴于 M ,若 ?PMN 是以 MN 为底边的等腰三角形,则直线 PM 的方程为 A. y ?

3 x?2 2

B. y ?
2

1 x 2
2

C. y ? ?2 x ? 5

D. y ?

2 1 x? 3 3

10.直线 3ax ? by ? 1与圆 x ? y ? 2 相交于 A, B 两点( a ,b ? R ) ,且 ?AOB 是直角

1 三角形( O 是坐标原点) ,则点 P( a ,b ) 与点 ?0, ? 之间距离的最大值是
A.

17 4

B. 4

C. 2

D.

7 3

11.已知双曲线左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 为其右支上一点, ?F PF2 ? 60? ,且 1

S?F1PF2 ? 2 3 ,若 PF1 ,
A. 3

1 2 F1 F2 , PF2 成等差数列,则该双曲线的离心率为 4
C. 2 D.

B. 2 3

2

?a n ? 1, n为偶数 ? 2 19 ? 12.数列 ?a n ?定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, a n ? ? ,若 a n ? ,则 1 11 , n为奇数 ? ? a n ?1 ?
正整数 n ? A. 112 B. 114 C. 116 D. 118

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知向量 a ? 1 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,若 a ? ?b ? 1 ,则实数 ? 的取
?

值范围是



14.抛物线 y 2 ? 8x 的顶点为 O , A ?1,0 ? ,过焦点且倾斜角为

? 的直线 l 与抛物线交于 4

M , N 两点,则 ?AMN 的面积是



15.已知四棱锥 P ? ABCD 的所有侧棱长都相等,底面 ABCD 为正方形,若四棱锥的高 为 3 ,体积为 6 ,则这个四棱锥的外接球的体积为 .

16.设 G 是 ?ABC 的重心,且 7 sin AGA ? 3 sin BGB ? 3 7 sin CGC ? 0 ,则角 B 的大 小为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本大题 12 分) 如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ,距离为 12 6 海里,在 A 处看灯塔
?

C 在货轮的北偏西 30? ,距离为 8 3 海里,货轮由 A 处向正北方向航行到 D 处,再看
灯塔 B 在北偏东 120 . (I)求 A, D 之间距离; (II)求 C , D 之间距离.
?

18. (本大题 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? an ? an?2 ,求证:

? ?

Sn ? * ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,其中 n ? N . n ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? . 12 b1 b2 bn 16

19. (本大题 12 分) 如 图,四 棱锥 P ? ABCD 中 , AD ∥ BC , AD ? DC, AD ? 2BC ? 2CD ? 2, 侧 面

APD 为等腰直角三角形, ?APD ? 90? ,平面 PAD ? 底面 ABCD ,若 EC ? ? PC ,

? ? ?0,1? .
(I)求证: PA ? DE ; (II)若二面角 E ? BD ? A 的余弦值为 ? 求实数 ? 的值.

3 , 3

20. (本大题 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 y ? x ? 4 与以原点为圆 2 2 a b 3

心,短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆的方程; (II)过左焦点 F1 作不与 x 轴垂直的直线 l ,与椭圆交于 A, B 两点,点 M (m, 0) 满足

?MA ? MB?? ?MA ? MB? ? 0 .
???? ???? MA ? MB (ⅰ)求 ???? ? 的值; MF1
(ⅱ)当 3 AF ? 4 MF1 时,求直线 l 的方程. 1

21. (本大题 12 分) 已知函数 f ?x? ?

1 2 x ? ( x ? 3) ln?x ? 1? ? ax . 2

(I)设 x ? 2 是函数 f ?x ? 的一个极值点,求函数 f ?x ? 在 x ? 0 处的切线方程; (II)若对任意 x ? ?0,?? ? ,恒有 f ?x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请 写清题号. 22. (本大题 10 分)

? 如图, Rt ?ABC 中, C ? 90? ,D 是 BC 上一点, BD 为直径的圆交 AB 于点 F , 在 以
连 CF 交半圆于点 E ,延长 BE 交 AC 于点 G . (I)求证: BE ? BG ? BD ? BC ;

(II)求证: A、G、E、F 四点共圆.

23. (本大题 10 分) 倾斜角为 ? 的直线 l 过点 P(8, 2) , 直线 l 和曲线 C : ? 2 (1 ? 7sin 2 ? ) ? 32 交于不同的两 点 M1、M 2 . (I)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程,并写出直线 l 的参数方程; (II)求 PM1 PM 2 的取值范围.

24. (本大题 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 , g( x) ? x ? a ? 1. (I)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (II)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

哈三中 2012—2013 学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷答案(理科)
二、选择题 1.C 7.D 二、填空题 13. ? 三、解答题 17. (本大题 12 分) (I) AD ? 24 ; 18. (本大题 12 分) (I) an ? 2n ; 19. (本大题 12 分) (I)证明:略; 20. (本大题 12 分) (I) (II) ? ? (II)略. (II) CD ? 8 3 . 2.B 8.A 3.C 9.B 4.B 10.C 5.B 11.A 6.D 12.D

1 ???0 2

14. 4 2

15.

32? 3

16.

? 3

1 . 3

x2 y2 ? ? 1; 16 12

(II) 4 ;

(III) y ? ?

5 ?x ? 2? . 2

21. (本大题 12 分) (I) y ? ??

?2 ? ? ln 3 ? x ; ?3 ?

(II) a ? 3 .

22. (本大题 10 分) (I)证明:略; (II)证明:略.

23. (本大题 10 分) (I)

? x ? 8 ? t cos ? x2 y2 ? ? 1; ? ( t 为参数) 32 4 ? y ? 2 ? t sin ?

(II) (

128 ,64 ) 9

24. (本大题 10 分) (I) ?? ? ,?1? ? ??

? 1 ? ,?? ? ; ? 3 ?

(II) a ?

1 . 2


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