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专题09 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)


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【高考地位】 最值问题是高考的热点,而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点,不仅会在选择题或填空题中进 行考察,在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心. 【方法点评】 方法一 圆锥曲线的定义转化法 解题模板:第一步 根据圆锥曲线的定义,把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离 等; 第二步 利用两点间线段最短,

或垂线段最短,或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条 件,进而求出最值. 例 1.已知点 F 是双曲线 小值为 【答案】9 【解析】 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,定点 A(1, 4), P 是双曲线右支上动点,则 | PF | ? | PA | 的最 4 12

设双曲线右焦点为 F ? ,则 | PF | ? | PF ? |? 2a ? 4 ?| PF |? 4? | PF ? | 所以 | PF | ? | PA |? 4? | PF ? | ? | PA |? 4? | AF ? |? 9 【变式演练 1】 【2014 届湖南省怀化市二模】 抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到直线 x ? ?1 的距离与到点 Q ? 2, 2 ? 的距离之差的最大值为( A. 3 B. 3 ) C. 5 D. 5

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方法二 切 线 法 使用情景:当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线 y ? kx ? c 的距离的最值时 解题模板:第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线 y ? kx ? b , 第二步 切线方程 y ? kx ? b 与曲线方程联立,消元得到一个一 元二次方程,且 ? ? 0 ,求出 b 的值,即可求出切线方程; 第三步 两平行线间的距离就是所求的最值,切点就是曲线上去的最值时的点. 例 2. 的坐标. 求 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 y ? x ? 2 3 的距离的最大值和最小值, 并求取得最值时椭圆上点 2

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【解析】

x2 y 2 【变式演练 2】 【2015 届福建高三 9 月月考】如图,设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 , a b
上顶点为 A ,点 B, F2 关于 F1 对称,且 AB ? AF2

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[来源:Zxxk.Com]

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知 P 是过 A, B, F2 三点的圆上的点,若 ?AF1 F2 的面积为 3 ,求点 P 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 距 离的最大值. 【答案】 (1)

1 ; (2)4. 2

方法三 参 数 法 解题模板:第一步 根据曲线方程的特点,用适当的参数表示曲线上点的坐标; 第二步 将目标函数表示成关于参数的函数; 第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.

x2 ? y 2 ? 1 上动点,则 S ? x ? y 的最大值是________. 例 3.在平面直角坐标系中, P( x, y) 是椭圆 2
【答案】2

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2 2 【变式演练 3】设 a, b ? R, a ? 2b ? 6 ,求 a ? 2b 的最大值和最小值,并求取得最值时 a, b 的值.

【答案】 (a ? 2b) max ? 2 3 ,此时 a ? 3, b ?

6 6 ; (a ? 2b) min ? ?2 3 ,此时 a ? ? 3, b ? ? . 2 2

方法四 基本不等式法 解题模板:第一步 将所求最值的量用变量表示出来, 第二步 用基本不等式求这个表达式的最值,并且使用基本不等式求出最值. 例 4. 【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学质量监测(一)20】已知椭圆 C1: C2: x ? y ? r (r ? 0) ,直线 l : y ? kx ? m 与 C 1 和 C2 分别有唯一的公共点 A 和 B.
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 和动圆 4

(I)求 r 的取值范围; (II )求|AB|的最大值,并求此时圆 C2 方程

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(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由(Ⅰ)的解答可知 x1=﹣ =﹣ ,x2=﹣ =﹣ .

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【变式演练 4】 【2014 新课标 1, 理 20】 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为
(Ⅰ)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

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方法五 函 数 法 解题模板:第一步 把所求最值的目标表示为关于某个 变量的函数; 第二步 通过研究这个函数求最值,是求各类最值最为普遍的方法.

x2 y 2 例 5. 【河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底考试,理 21】已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点 a b

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与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, 直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心, 以椭圆的长 半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)设 P 为椭圆上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T ,且满足

OS ? OT ? t OP (O 为坐标原点),求实数 t 的取 值范围。
x2 ? y2 ? 1; 【答案】 (1) (2) (-2,2). 2

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【变式演练 5】 【河北省唐山市第一中学 2015 届高三上学期期中考试,理 20】已知圆 C:(x-1)2+(y-1)2 =2 经过椭圆 Γ∶

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) (a>b>0)的右焦点 F 和上顶点 B. a2 b2

(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)如图,过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中点, 求

OM ? OQ 的最大值.

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1 3 1 ?当 k ? 时, ? (k ) max ? ? ( ) ? , 2 2 2
即 OM ? OQ 的最大值为 2 3 . 考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.直线与圆的位置关系;4.导数的应用. 【高考再现】 1 .【2014 高考福建 卷第 9 题】设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间 10

的最大距离是( A. 5 2

) C. 7 ? 2 D. 6 2

B. 46 ? 2

2.【2014 高考湖北卷理第 9 题】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且

?F1PF2 ?
A.

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(



4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

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3.【2014 四川高考理第 10 题】已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,
2

OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是(
A. 2 B. 3 C.



17 2 8

D. 10

4.【2014 高考湖南理第 21 题】如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 a 2 b2

x2 y 2 3 F1 , F2 ,离心率为 e1 ;双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 ,已知 e1e2 ? ,且 a b 2

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F2 F4 ? 3 ? 1 .
(1)求 C1 , C2 的方程; (2)过 F1 点作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时,求四边形

APBQ 面积的最小值.

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[来源:学科网 ZXXK]

5.【2014 高考江苏第 18 题】如图:为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设立一个圆形保护区, 规划要求,新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两 端 O 和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ,经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处, ( OC 为河岸) , tan ?BCO ? (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

4 . 3

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3 ? 136 ? t ? t ? 80, ? 3t ? 680 680 ? 3t 3 ? 5 r? ? ? 136 ? t ,∴ ? ∴ 10 ? t ? 35 , 所以学科网当 t ? 10 时, 5 5 5 3 ?136 ? t ? (60 ? t ) ? 80, ? 5 ?

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r 取得最大值 130m ,此时圆面积最大.
6.【2014 高考山东卷第 21 题】已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一
2

点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,

?ADF 为正三角形.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由

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[来源:Zxxk.Com]

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x2 y 2 7.【2014 高考四川第 16 题】已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与长 a b
轴的一个端点构成正三角形.

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(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; (ii)当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

【考点定位】椭圆 【反馈练习】 1.已知二次曲线

x2 y2 ? =1,则当 m ? ?? 2,?1? 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是 ( 4 m
B. [



A. [

2 3 , ] 2 2

2 6 , ] 2 2

C. [

5 6 , ] 2 2

D. [

3 6 , ] 2 2

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2. 【2015 河南顶级名校高三入学考试】 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , 点 A, B 在抛物线上, 且 ?AFB ? 1200 ,
2

弦 AB 中点 M 在其准线上的射影为 N ,则

| MN | 的最大值为( | AB |



[来源:学科网 ZXXK]

(A)

3 3

(B)

2 3 3

(C) 3

(D)

4 3 3

[来源:学_科_网]

4. 【2015 四川巴蜀联盟】如图,点 M( 3, 离之和为 4.

x2 y 2 2 )在椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上,且点 M 到两焦点的距 a b 2

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(1)求椭圆方 程; (2)设与 MO(O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于 A、B(A、B 不重合) ,求 OA ? OB 的取值范围.

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x2 y2 2 2 5. 【2015 浙江综合调研】已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1 ,设直 , ) ,其离心率为 a b 2 2
线 l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

[来源:学,科,网]

(Ⅱ)已知直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ?

2 相切,求证: OA ? OB ( O 为坐标原点) ; 3

,OB 为邻边作平行四边形 OAPB ,若点 Q 在椭圆 C 上,且满足 OP ? ? OQ ( O 为坐标 (Ⅲ)以线段 OA
原点) ,求实数 ? 的取值范围.

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6. 【2015 届四川成都实验外国语学校高三月考】设椭圆 E 中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 4,点 Q (2, 2 )在椭圆上. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点,且 ,求△OAB 的面积的取值范围.

(3)过 M( x1 , y1 )的直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 与过 N( x2 , y 2 )的直线 l 2 : P x0 , y 0 ) 在椭圆 E 上, 直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于 G, H 两点, 求 OG · OH x 2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 的交点 ( 的值.
? ?? ? ??

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7. 【2015 届辽宁省大连市第二十中学月考】平面内动点 P(x ,y)与两定点 A(-2, 0), B(2,0)连线的

斜率之积等于 ? ,若点 P 的轨迹为曲线 E,过点 Q (?1, 0) 作斜率不为零的直线 CD 交曲线 E 于点 C、D . (1)求曲线 E 的方程; (2)求证: AC ? AD ; (3)求 ?ACD 面积的最大值.

1 3

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8. 【2015 河南八校】已知抛物线 y ?
[来源:Zxxk.Com]

1 2 x ,过点 P(0,2)作直线 l,交抛曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点, 4

(Ⅰ)求证: OA ? OB 为定值; (Ⅱ)求三角形 AOB 面积的最小值.

9. 【2015 湖北孝感高中十月月考】设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,上顶点 a 2 b2

为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF 1 = F1 F2 ,且 AB ? AF2 .

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(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点,线段 MN 的中垂线与

x 轴相交于 P ? m, 0 ? ,求实数 m 的取值范围.

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10.【山东省日照一中 2014 届高三下学期开学考试】如图,椭圆 C1 :

2 x2 y 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

x 轴被曲线 C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的短轴长。C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与
C2 相交于点 A、B ,直线 MA, MB 分别与 C1 相交于点 D、E 。
(1)求 C1 、 C2 的方程; (2)求证: MA ? MB 。 (3)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1、S2 ,若

S1 ? ? ,求 ? 的取值范围。 S2

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利用三角形面积公式 分别计算 S1 , S2 ,用 k 表示,从而得到

S1 (1 ? 2k )(1 ? 2k ) ?? ? ? S2 16
2 1 2 2

5 ? 2(

1 ? k12 ) 2 k1 9 ? . 16 16

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