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3.1.1倾斜角与斜率 (1)


第三章 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率

补充结论

公式: tan(180°-α) = -tanα

例如: tan135°= tan(180°- 45°)= - tan45° = - 1.

一、新课导入

我们知道,两点确定一条直线。 一点能 已知直线l经过点P, 确定一条直线的位置吗? 直线l的位置能确定吗? 过一点可以确定无数 条直线l1,l2,l3......它们都经 过点P(组成一个直线 束),这些直线区别在哪 里? 倾斜程度不同

P

思考:怎样描述直线的倾斜程度呢?

二、讲授新课 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基 准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角. 注意: y l (1)直线向上方向; ? (2)x轴的正方向; (3)小于平角的正角 o

x

二、讲授新课 【例】下列各图中标出的角α是直线的倾斜 角吗? y o y y α x y x

α x
o



o α

x

二、讲授新课 观察下列直线的变化,说出直线的倾斜

角大致是一个什么范围内的角? y

o

x

二、讲授新课 2、直线倾斜角的范围:

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为0°,那么直线的倾斜 角的取值范围是什么?

0°≤α<180°

二、讲授新课 3、直线倾斜角的意义:

反映直线对x轴正方向的倾斜程度。

倾斜程度? 倾斜角
?倾斜角相同能确定 一条直线吗? ?相同倾斜角可作无数 互相平行的直线
l3

yl l 2 1

o

x

二、讲授新课

4、如何才能确定直线位置?
y

l
?
x

过一点且倾斜角为 ? 能不能确定一条直线?

o


确定一条直线

一点+倾斜角 ?

(两者缺一不可)

二、讲授新课 初中学过的“坡度(比)”是什么含 义?它能否表示直线的倾斜程度?它与这 条直线的倾斜角之间有什么关系?

升高量 坡度(比)= 前进量
α 前进量

升 高 量

“坡度”实际就是“倾斜角a的正切”

二、讲授新课 我们把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示, 即k=tanα,那么任何一条直线都有斜率 吗?

特别:倾斜角是90°的直线(垂直于x 轴的直线)没有斜率.

二、讲授新课 【例】当倾斜角α=0°,30°,45°,60°时,
这条直线的斜率分别等于多少?

【例】当α是锐角时,有tan(180°-α) =-tanα. 那么当倾斜角α=120°,135°, 150°时,这条直线的斜率分别等于多少?

二、讲授新课
倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值 范围分别是什么?一般地,直线的斜率的取值 范围是什么?

倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; ° 倾斜角为0 时,k=0.

二、讲授新课
在直角坐标系中,经过两点A(2,4)、B (-1,3)的直线有几条?直线AB的斜率是多 少?

y B α α

A C o

x

二、讲授新课 5、斜率公式
一般地,已知直线上的两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),且直线P1P2与x轴不垂直,即 x1≠x2,直线P1P2的斜率是什么?

y P1 α α o

P2
Q

y

P2

θ Q

P1

α

y2 ? y1 k? (x1 ? x2) x2 ? x1

x

o

x

二、讲授新课 思考:经过点A(a,b)、B(m,n)(a≠m)的直 线的斜率是什么?

b?n n?b k? ? a?m m?a

思考:对于三个不同的点A,B,C, 若 k AB ? k AC ,则这三点的位置关系 如何?

二、讲授新课

0 1、当直线平行于? x轴,或与 x轴重合 时,上述公式还适用吗?为什么? ?
?

思考?

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

k ? tan0 ? 0 y2 ? y1
k? x2 ? x1

P 2 ( x2 , y2 )

x1

o

x2

x

成立,因为分子为0, 分母不为0,k=0

二、讲授新课

思考? 2、当直线平行于y ?轴,或与 ? y轴重合 ? ? 90 , tan90 (不存在) 时,上述公式还适用吗?为什么?

y

k不存在
P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x

不成立,因 为分母为0。

三、例题精讲 【例1】已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线 的倾斜角是锐角还是钝角.

三、例题精讲
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l 4 . y A A l3 l1 解:取 l1 上某一点为 A1 3 的坐标是 ( x1 , y1 ) ,根据斜 A 1 率公式有: O x
3

的坐标是 (1,1) .过原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 .
l2 是过原点及 A2 ( x2 , y2 )的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线,l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

y1 ? 0 1? , 即 x1 ? y1 . x1 ? 0 设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A 1

A2

l4

l4

A4

ll 2
2

三、例题精讲 【例3】已知三点A(a,2),B(5,1),

C(-4,2a)在同一直线上,求a的值
【变式】证明A(2,-3),B(4,3), C(5,6)三点共线

四、当堂检测

1.若直线l向上的方向与y轴正方向成
30 角,则l的倾斜角为 60 或120 ,
o o o

l的斜率为

3 或? 3

.

2.当且仅当m为何值时,经过两点
A(m,3)、B(-m,2m-1)的直线的

倾斜角为60 ?

o

四、当堂检测 3.已知等边三角形ABC,若直线AB平 行于y轴,则∠C的平分线所在的直线的 o 倾斜角为 0 ,斜率为 0 ,另两边AC、 o o BC所在的直线的倾斜角为 150 、30 , 斜率为 ? 3 、 3 .
3 3

4.教材P.86练习第1、2、3、4题.

五、课堂小结

1. 倾斜角、斜率的概念; 2. 斜率的计算公式.

六、课后作业

《学习指导》及小页



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