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2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案高二年级


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.函数 f ( x) ?
x ?1 的值域为 [0

, x ? 4x ? 7
2

6 ]. 6
1 . 3

2.已知 3 sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 1 , 3(sin? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? ? 3.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数,
? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ? ?3a n ? 1, a n 为奇数,

如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 a1 ? 5 . 4.设集合 S ? {1,2,3, ? ,12} , A ? {a1 , a 2 , a 3 } 是 S 的子集,且满足 a1 ? a 2 ? a 3 , a 3 ? a 2 ? 5 ,那么满足条 件的子集 A 的个数为 185 .
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任 a2 b2

5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :

6 1 一点.若直线 PM , PN 的斜率之积为 ? ,则椭圆 C 的离心率为 . 3 3
6.在△ ABC中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC的内心,若 AO ? p AB ? q AC ,则

3 p 的值为 . q 2

7 .在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p ,则长方体的体积最大时, p 为

1?

2 3 . 3
2012

8.设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则

?[
k ?0

2012 ? 2k ]? 2k ?1

2012



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知正项数列 {a n } 满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an?1 且 a1 ? 1 , a2 ? 8 ,求 {a n }
2

的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以 an an?1 ,得 1 ?
a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an

所以

1?

an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an

------------------------------------------4 分

令 bn ? 1 ?

a n ?1 ? 1 , 则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {bn } 是以 b1 = 4 为首项 ,4 为公比的等比数列,所以 an

bn ? b1 ? 4 n?1 ? 4 n .

------------------------------------------8 分 ------------------------------------------12 分

所以 1 ?

a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an

于是,当 n ? 1 时,
a n ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1]a n?1 ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1] ? [(4 n?2 ?1) 2 ?1]a n?2
? ? ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1]a1 ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1] ,
k ?1 k ?1 n ?1 n ?1

因此, a n ? ? n ?1

?1, ?

n ? 1,
k ?1

? ? k ?1

? [(4

? 1) ? 1], n ? 2.
2

------------------------------------------16 分

10.已知正实数 a , b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的取值范围. 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m?

?
2

,则

cos3 ? ? sin3 ? ? 1 (cos? ? sin? )(cos2 ? ? cos? sin? ? sin2 ? ) ? 1 ? .----------------------------------------5 分 (cos? ? sin? ? 1) 3 (cos? ? sin? ? 1) 3

? x 2 ?1 令 x ? cos ? ? sin ? ,则 x ? 2 sin( .------------------------------10 分 ? ? ) ? (1, 2 ] ,且 cos ? sin ? ? 4 2 于是
x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . 3 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2

------------------------------15 分

因为函数 f ( x) ? 又 f (1) ?

3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 2( x ? 1) 2

1 3 2 ?4 3 2 ?4 1 ,所以 m ?[ , f ( 2) ? , ). 4 2 2 4

--------------------------------------20 分

11.已知点 E (m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直线交抛物线 于 A, B , C , D ,且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点. 解 AB 所在直线的方程为 x ? t1 ( y ? n) ? m ,其中 t1 ?
1 ,代入 y 2 ? 2 px 中,得 k1

y2 ? 2 pt1 y ? 2 pt1n ? 2 pm ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y 2 ? 2 pt1 ,从而

x1 ? x2 ? t1 ( y1 ? y2 ? 2n) ? 2m ? t1 (2 pt1 ? 2n) ? 2m .

2 则 M ( pt1 ? nt1 ? m, pt1 ) .

CD 所在直线的方程为 x ? t 2 ( y ? n) ? m ,其中 t 2 ?

1 2 ,同理可得 N ( pt2 k2

? nt2 ? m, pt2 ) .

------------------------------------------5 分
2 ) M ( pt12 ? m, pt1 ) , N ( pt2 ( 1 ) 当 n ? 0 时 , E (m , 0 , ? m, pt2 ) , | EM |?| pt1 | 1 ? t1 2 ,
2 | EN |?| pt2 | 1 ? t 2 .

又 k1 ? k 2 ? ?1 ,故 t1 ? t 2 ? ?1 ,于是△ EMN 的面积

1 1 2 p2 2 2 S ? | EM | ? | EN |? | p t1t2 | (1 ? t1 )(1 ? t2 ) ? ? 2 ? t12 ? t2 2 2 2 2 ? p2 ? 4 ? p2 , 2

当且仅当 | t1 |?| t 2 |? 1 时等号成立. 所以,△ EMN 的面积的最小值为 p 2 . (2) k MN ?
p(t1 ? t 2 ) p(t1 ? t 2 ) ? n(t1 ? t 2 )
2 2

------------------------------------------10 分
1

?

n (t1 ? t 2 ) ? p 1



MN 所在直线的方程为 y ? pt1 ?

n (t1 ? t 2 ) ? p

? [ x ? ( pt1 ? nt1 ? m] ,

2

即 y (t1 ? t 2 ? ) ? pt1 t 2 ? x ? m . 又 k1 ? k 2 ?

n p

------------------------------------------15 分

t ?t 1 1 ? ? ? ,即 t1t 2 ? 1 2 ,代入上式,得 y (t1 ? t2 t1 t 2 ?
p ny

t ?t n ? )? p? 1 2 ? x ?m, p ?

即 (t1 ? t 2 )( y ? ) ? x ? ? m . ? p
p ? ?y ? ? ny 当 y ? ? 0 时,有 x ? ? m ? 0 ,即 ? 为方程的一组解, n p ? ?x ? m ? ? ?

p

所以直线 MN 恒过定点 (m ?

? ?

n p , ).

------------------------------------------20 分


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