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高考第一轮复习数学:4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)


4.2

两角和与差、二倍角的公式(一)

●知识梳理 1.C(α +β )的推导 角α 的始边为 Ox,交单位圆于 P1,终边 OP2 交单位圆于 P2,角β 的始边为 OP2,终边 交单位圆于 P3,角-β 的始边为 Ox,终边交单位圆于 P4,由| P1 P3 |=| P2 P4 |,得[cos(α +β ) -1]2+sin2(α

+β )=[cos(-β )-cosα ]2+[sin(-β )-sinα ]2.
y P3 ? ? O ? ? P1 x P2

P4

∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 2.S(α ±β ) (α -β ) (α ±β )以及推导线索 、C 、T (1)在 C(α +β )中以-β 代β 即可得到 C(α -β ). (2)利用 cos(
π 2

-α )=sinα 即可得到 S(α +β ) ;再以-β 代β 即可得到 S(α -β ).
sin ? cos ?

(3)利用 tanα =

即可得到 T(α ±β ).

说明:理清线索以及各公式间的内在联系,是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式, 才能用活公式. ●点击双基 1.(2004 年重庆,5)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 A.-
1 2

B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

解析:原式=sin17°(-sin43°)+(-sin73°) (-sin47°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=
1 2

.

答案:B 2.(2005 年春季北京,7)在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析:由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin(A+B) , ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB-sinAcosB=0. ∴sin(B-A)=0.∴B=A. 答案:B 3. A.
2 cos 10 ? ? sin 20 ? sin 70 ?

的值是 B.
3 2

1 2

C. 3

D.

2

解析:原式= =

2 cos 30 ? ? 20 ?)? sin 20 ? ( sin 70 ?

( cos 30 ? ? cos 20 ? ? sin 30 ? ? sin 20 ?)? sin 20 ? 2 sin 70 ?

=

3 cos 20 ? cos 20 ?

= 3.

答案:C 4.已知α ∈ (0, ) β ∈ , (
2 π π 2 π 2

, ) sin π , (α +β ) =
π 2 56 65

33 65

, cosβ =-
3π 2

5 13

, sinα =_______. 则

解析:由 0<α <


33 65

π 2

<β <π ,得

<α +β < .

.

故由 sin(α +β )= 由 cosβ =-
5 13

,得 cos(α +β )=-
12 13

,得 sinβ =

.
33 65

∴sinα =sin[ +β )-β ]=sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ = (α -(-
56 65

? (-

5 13



) ?

12 13

=-

507 845

.

答案:-

507 845

5.△ABC 中,若 b=2a,B=A+60°,则 A=_______. 解析:利用正弦定理,由 b=2a ? sinB=2sinA ? sin(A+60°)-2sinA=0 ? 3sinA=0 ? sin(30°-A)=0 ? 30°-A=0°(或 180°) ? A=30°. 答案:30° ●典例剖析 【例 1】 设 cos(α - 求 cos(α +β ). 剖析:
? ? ?
2

3

cosA-

?
2

)=-

1 9

,sin(

?
2

-β )=

2 3

,且

π 2

<α <π ,0<β <

π 2



=(α -

?
2

)-(

?
2

-β ).

依上述角之间的关系便可求之. 解:∵
π 2

<α <π ,0<β <
?
2

π 2

,∴

π 4

<α -
?
2

?
2

<π ,-
4 5 9

π 4



?
2

-β <

π 2

.

故由 cos(α - 由 sin( ∴cos(
?
2

)=-
2 3

1 9

,得 sin(α -
?
2

)=
5 3

.

-β )=

,得 cos(
?
2

-β )=
?
2
239 729

.
7 5 27

? ? ?
2

)=cos[ - (α
? ? ?
2

)-(

-β ) ]=?= .

.

∴cos(α +β )=2cos2

-1=?=-

评述: 在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时, 首先要分析已知和 要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换. 【例 2】 (2000 年春季京、皖)在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c.

证明:

a

2

?b c
2

2

=

sin( A ? B ) sin C

.

剖析:由于所证结论是三角形的边、角关系,很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理. 证明:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, ∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB, 整理得
a
2

?b c
2

2

=
a c

a cos B ? b cos A c

. ,∴
a
2

依正弦定理有

=

sin A sin C

, =
c

b

sin B sin C

?b c
2

2

=

sin A cos B ? sin B cos A sin C

=

sin( A ? B ) sin C

.

评述:在解三角形中的问题时,首先应想到正余弦定理,另外还有 A+B+C=π ,a+b>c, a>b ? A>B ? sinA>sinB 等. 【例 3】 已知α 、β 、γ ∈(0,
π 2

) ,sinα +sinγ =sinβ ,cosβ +cosγ =cosα ,求β

-α 的值. 剖析:由已知首先消去γ 是解题关键. 解:由已知,得 sinγ =sinβ -sinα ,cosγ =cosα -cosβ . 平方相加得(sinβ -sinα )2+(cosα -cosβ )2=1. ∴-2cos(β -α )=-1.∴cos(β -α )=
1 2

.∴β -α =±
π 3

π 3

.

∵sinγ =sinβ -sinα >0,∴β >α .∴β -α = 评述:本题极易求出β -α =± 问题要注意分析隐含条件. ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年上海,1)若 tanα =
1 2

.

π 3

,如不注意隐含条件 sinγ >0,则产生增根.因此求值

,则 tan(α +
π 1 ?1 1 2

π 4

)=____________.

解析:tan(α +

π 4

t an ? ? t an

)=

4 π 1 ? t an ? ? t an 4

=

2 1? ?1

=3.

答案:3 2.要使 sinα - 3 cosα = A.m≤
7 3

4m ? 6 4? m

有意义,则应有 B.m≥-1

C.m≤-1 或 m≥

7 3

D.-1≤m≤ )=
4m ? 6 4? m

7 3

解析:2sin(α - 由-1≤ 答案:D
2m ? 3 4? m

π 3

?
7 3

sin(α - .

π 3

)=

2m ? 3 4? m

.

≤1 ? -1≤m≤

3.(2004 年福建,2)tan15°+cot15°等于 A.2 B.2+ 3
sin 15 ? cos 15 ?

C.4 +
cos 15 ? sin 15 ?

D.
15 ? ? cos
2

4 3 3

解析一:tan15°+cot15°=

=

sin

2

15 ?

cos 15 ? sin 15 ?

=

1 1 2 ? sin 30 ?

=4.

解析二:由 tan15°=tan(45°-30°)=

tan 45 ? ? tan 30 ? 1 ? tan 45 ? tan 30 ?

1?

3 3

=
1?

=

3? 3?

3 3

.

3 3

∴原式= 答案:C

3? 3?

3 3

+

3? 3?

3 3

=4.

4.在△ABC 中,若

a b

2 2

=

t an A t an B

,则△ABC 的形状为_______.
sin sin
2 2

解析: 左边利用正弦定理, “切变弦” 原式可化为 右边 , sin2A=sin2B ? 2A=2B 或 2A=π -2B ? A=B 或 A+B= 答案:等腰三角形或直角三角形 5.(2004 年湖南,17)已知 tan( 解:由 tan(
π 4 π 4

A B

=

sin A cos B cos A sin B

?

sin A sin B

=

cos B cos A

?

π 2

.

+α )=2,求
1

1 2 sin ? cos ? ? cos
2

?

的值.

+α )=

1 ? tan ? ? ? tan ?

=2,得 tanα = .
3
( 1 3 2? 1 3 ?1 ) ?1
2

于是

1 2 sin ? cos ? ? cos
2

?

=

sin

2

? ? cos ?
2 2

2 sin ? cos ? ? cos

?

=

tan

2

? ??

2 tan ? ? ?

=

=

2 3

.

6.已知 cosα = 解:由 cosα = 得β =
π 3

1 7 1 7

,cos(α +β )=-

11 14

,α 、β ∈(0,

π 2

) ,求β .
1 2

,cos(α +β )=-

11 14

,得 cosβ =cos[ +β )-α ]= (α



.

培养能力 7.已知 sin(
π 4

-x)=

5 13

,0<x<

π 4

,求

cos 2 x cos ( π 4

的值.

? x)

分析:角之间的关系: ( 角函数的关系便可求之. 解:∵(
π 4

π 4

-x)+(

π 4

+x)=

π 2



π 2

-2x=2(

π 4

-x) ,利用余角间的三

-x)+(

π 4

+x)=

π 2

,∴cos(

π 4

+x)=sin(

π 4

-x).

又 cos2x=sin( ∴
cos 2 x cos ( π 4

π 2

-2x)=sin2(
π 4

π 4

-x)=2sin(
12 13

π 4

-x)cos(

π 4

-x) ,

=2cos(

-x)=2?

=

24 13

.

? x)

8.已知 sinβ =msin(2α +β ) (m≠1) ,求证:tan(α +β )=

1? m 1? m

tanα .

证明:∵sinβ =msin(2α +β ) , ∴sin[ +β )-α ]=msin[ +β )+α ]. (α (α ∴sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα =msin(α +β )cosα +mcos(α +β )sinα . ∴(1-m)sin(α +β )cosα =(1+m)cos(α +β )sinα . ∴tan(α +β )=
1? m 1? m

tanα .
3 5

9.(2005 年北京西城区抽样测试)已知 sin2α = (1)求 cosα 的值;

,α ∈(

5π 4



3π 2

).

(2)求满足 sin(α -x)-sin(α +x)+2cosα =- 解: (1)因为
5π 4

10 10

的锐角 x.

<α <
1 ? sin
2

3π 2
2?

,所以 =-
4 5

5π 2

<2α <3π .

所以 cos2α =-

.
10 10

由 cos2α =2cos2α -1,所以 cosα =-

.
10 10

(2)因为 sin(α -x)-sin(α +x)+2cosα =- 所以 2cosα (1-sinx)=- 因为 x 为锐角,所以 x= 探究创新 10.sinα +sinβ =
2 2 10 10



.所以 sinx=

1 2

.

π 6

.

,求 cosα +cosβ 的取值范围. ① ②

解:令 t=cosα +cosβ , sinα +sinβ =
2 2


1 2

①2+②2,得 t2+

=2+2cos(α -β ).
3 2

∴2cos(α -β )=t2- ∴t∈[-
14 2

∈[-2,2].



14 2

].

●思悟小结 1.不仅要能熟练推证公式(建议自己推证一遍所有公式) 、熟悉公式的正用逆用,还要

熟练掌握公式的变形应用. 2.注意拆角、拼角技巧,如α =(α +β )-β ,2α =(α +β )+(α -β )等. 3.注意倍角的相对性,如 3α 是
3? 2

的倍角.

4.要时时注意角的范围的讨论. ●教师下载中心 教学点睛 1.本节公式多,内在联系密切,建议复习时,要使学生理清公式间的推导线索,让学生 亲自推导一下 C(α +β ). 2.公式应用讲究一个“活”字,即正用、逆用、变形用,还要创造条件应用公式.如拆角、 拼角技巧等,要注意结合题目使学生体会其间的规律.

拓展题例 【例 1】 已知 a=(cosα ,sinα ) ,b=(cosβ ,sinβ )(a≠b). , 求证: (a+b)⊥(a-b). 分析:只要证(a+b)(a-b)=0 即可. ? 证法一: (a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=1-1=0,∴(a+b)⊥(a-b). ? 证法二:在单位圆中设 OA =a, OB =b,以 OA 、 OB 为邻边作□OACB,则 OACB 为菱形.
y B A O x C

∴ OC ⊥ BA . ∴ OC ? BA =0, 即(a+b)(a-b)=0. ? ∴(a+b)⊥(a-b). 【例 2】 α 、β ∈(0,
π 2

) ,3sin2α +2sin2β =1,①

3sin2α -2sin2β =0②,求α

+2β 的值. 解:由①得 3sin2α =1-2sin2β =cos2β . 由②得 sin2β =
3 2

sin2α .

∴cos(α +2β )=cosα cos2β -sinα sin2β =3cosα sin2α -sinα ? ∵α 、β ∈(0, ∴α +2β =
π 2 π 2
3 2

sin2α =0.
3π 2

) ,∴α +2β ∈(0,

).

.


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