tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

北师大版数学必修1《3.4.2换底公式》教学设计


§4.2 换底公式 ----教学设计
教材分析
本节是在新高中课程标准下新增的内容之一.通常情况下,计算对数需要使用计算工具, 而一般的科学计算器只能对常用对数或自然对数进行计算 ,因此需要用换底公式,化成常用 对数或自然对数.前面对数的运算性质只能解决同底对数的加减幂运算,对于乘除束手无策, 因此也需要换底公式化不同底为同底,化未知为已知,从而再进行运算.<

br />
教学目标
1.知识与技能 (1)理解从特殊到一般的类比推导对数的换底公式的方法,并掌握换底公式; (2)能够灵活地运用换底公式与对数的运算性质进行对数运算与并解决实际问题. 2.过程与方法 通过设置问题串的方式,让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数 的换底公式的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力. 3.情感态度与价值观 让学生探究对数的换底公式,培养学生的探究意识,培养学生严谨的思维品质,感受对 数的广泛应用,增强学习的积极性.

教学重点和难点
教学重点:对数的运算性质及换底公式及其应用. 教学难点:灵活地使用对数的运算性质和换底公式进行计算、化简.

教学方法与手段
教学方法:启发引导式教学. 教学手段:多媒体辅助教学.

教学过程
一、导入课题
1.复习对数的定义及运算性质. 2.思考:我们能否直接求出 lg15 、ln 2 、log 2 15 的值呢?借助科学计算器呢?这样如果

能将其他底的对数转化成以 10 为底或以 e 为底的对数就能方便地求出任意不等于 1 的正数 为底的对数.那么,如何转换呢?引出课题换底公式.

二、探究课题
1、提出问题 阅读教材,回答以下问题(通过投影仪提出问题,提供 5 分钟时间让学生自学探究,适时 引导). 问题 1.如何使用科学计算器计算 log 2 15 ? 问题 2.如果 a ? 0 且 a ? 1 ,你能用以 a 为底的对数式来表示 log 2 15 吗? 问题 3.更一般地, logb N ?

log a N (a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0) 成立吗?如何证明? log a b

问题 4.你能用自己的话概括出换底公式吗? 活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示 学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的自学能力与创造性思维能力. 对于问题 1,考虑利用对数的定义,转化成指数方程,再两边取常用对数或自然对数来求解; 对于问题 2,考虑参考问题 1 的思路和结果的形式借助对数的定义可以表示;对于问题 3,借 助问题 1、2 的思路,利用对数的定义来证明;问题 4 抓住问题的实质,用准确的语言描述出 来,一般是按照从左到右的形式. 2、探究结果 探究 1.设 log 2 15 ? x ,根据对数的定义,写成指数式,得 2 ? 15
x



对①式两边取常用对数(两边取对数的依据是什么?) , 得 x lg 2 ? lg 15 ,所以

x?

lg 15 . lg 2
这样我们可以用科学计算器中“ log ”键算出 log 2 15 ?

lg15 ? 3.906 890 6 . lg 2
ln15 ? 3.906 890 6 . ln 2

如果对①式两边取自然对数,得 x ln 2 ? ln15 所以 log 2 15 ?

探究 2.如果对①式两边取以 a 为底的对数,得 x loga 2 ? loga 15 所以 x ? 探究 3.证明:设 x ? logb N ,根据对数定义,写成指数式,得 N ? b .
x

log a 15 . log a 2

根据相等的两个正数的同底对数相等,两边取以 a 为底的对数,得 loga N ? loga b x . 而 loga bx ? x loga b ,所以 loga N ? x loga b . 由于 b ? 1 ,则 loga b ? 0 ,解出 x ,得 x ?

log a N . log a b

因为 x ? logb N ,所以 logb N ?

log a N (板书对数换底公式). log a b

探究 4.一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商,这样就把一个对 数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商.

三、新知应用
例 1.用科学计算器计算(精确到 0.001) : (1) log2 48 ; 解:(1) log 2 48 ? (2) log8 ? .

ln ? lg 48 ? 0.550 . ? 5.585 ;(2) log8 ? ? ln 8 lg 2

课堂练习 1.利用科学计算器计算:

log 2 10 ; log2 100 ; log 2 50 ; log3 20 ; log3 1000 ; log5 0.99 .
活动:让学生通过合作学习,使用计算器完成.看谁算得快,增强合作与竞争意识. 解: log2 10 ? 3.321 9 ; log2 100 ? 6.643 9 ; log2 50 ? 5.643 9 ; log3 20 ? 2.726 8 ;

log3 1000 ? 6.287 7 ; log5 0.99 ? ?6.244 6 ?10?3 .
例 2.计算: (1) log9 27 ; (2) log8 9 ? log27 32 .

活动:学生观察题目,思考讨论,互相交流,教师适时提示,使用换底公式统一底数;根据 题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,可以化成常用对数或自然对数,当然以 2 为底或以 3 为底的对数也可.在讲授时通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况. 解:⑴ log9 27 ?

lg 27 lg 33 3 ? ? . lg 9 lg 32 2 lg 32 lg 25 2lg 3 5lg 2 10 ? ? ? ? . lg 23 lg 32 3lg 2 2lg 3 9

⑵ log8 9 ? log 27 32 ?

点评:灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键. 再思考活动 :从例题的解答过程中 ,引导学生思考一般性结论 , log a m b ?
n

n log a b (强 m

调底数的次方数为分母,真数的次方数为分子), loga b ? logb a ? 1 (强调互为倒数).

3 3 log 3 3 ? . 2 2 2 5 10 2 5 (2) 原式 ? log 23 3 ? log 33 2 ? log 2 3 ? log 3 2 ? . 3 3 9
上题也可直接这样算:(1) 原式 ? log 32 3 ?
3

课堂练习 3.利用换底公式证明: (1) log am b ?

1 ; m logb a

(2) logam bm ? loga b .

活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,在讲授时可 通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况. 证明:(1) log am b ?

logb b log a bm m log a b 1 m ; (2) ? log b ? ? ? log a b . am logb a m m logb a log a a m m log a a

例 3.一种放射性物质不断变化为其它物质, 每经过一年剩留的质量约为原来的 84%, 估 计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字). 解:设最初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y ,则 经过 1 年,剩留量是 y ? 0.84 ;经过 2 年,剩留量是 y ? 0.84 ;
2

??经过 x 年,剩留量是 y ? 0.84 ;
x

方法一:根据函数关系式列表如下

x
y ? 0.84x

0 1

1 0

2 0 .59

3 0 .50

4 0 .42

5 0 ? ?

? ?

4, 观察表中数据, y ? 0.5 时对应有 .84 x ? .71

即约经过 4 年,该物质的剩留量是原来的一半. 方法二:依题意得 0.84 ? 0.5 ,用科学计算器计算得
x

x ? log 0.84 0.5 ?

ln 0.5 ? 3.98 . ln 0.84

即约经过 4 年,该物质的剩留量是原来的一半.

四、课题小结
1.换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化,该公式既可以正用,也可逆用,使用

时的关键是选择底数,在对数的运算中,应尽量化为同底的对数,以便用于运算. 2.不论是指数和对数的互化,还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数 ,都用到了 转化与化归的思想,方程思想.另外本堂课题还用到了数学建模思想等.

五、课题延伸
问题:对数有换底公式,指数有换底公式吗? 一般地, 根据指数函数的性质可以知道,对于任意的正数 a 和 b ,总能把 a 的指数幂化为

b 的指数幂.因为一定存在唯一的常数 ? ,使得 a ? b? .所以根据实数指数幂的运算性质,得

an ? (b? )n ? bn? ( ? ? logb a ).
问题与思考 (1)你能证明指数换底公式吗? (2)已知 lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ,你能否较快地比较 2 (3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?
100

与 3 的大小吗?

65

六、课题分层作业
必做题: 教材 88 页 B 组第 4 题. 选做题:(1)已知 log7 3 ? a,log7 4 ? b ,求 log48 49 的值; (2)已知 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,求 log

2

x 的值. y

七、板书设计
换底公式 1.换底公式 例1 提出问题

2.几个推论

例2

探究结果

例3

八、教学反思
本节课的成功之处: 一、本节课采用学生探究的方式教学, 充分发挥了学生的积极性和主动性, 效果比较好.

二、例题由易到难,设置得比较科学,学生做起来比较轻松. 不足之处: 一、时间未把握好,课题延伸这一环节没有时间讲.


推荐相关:

2016年新高一数学参考教学案:3.4.2 换底公式(北师大版必修1)

2016年新高一数学参考教学案:3.4.2 换底公式(北师大版必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 对数换底公式 [教学目的...


2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案3.4.2换底公式

高中数学《换底公式》教... 暂无评价 3页 免费 《步步高 学案导学设计》......北师大版高中数学必修4第... 49页 1下载券2​0​1​3​-​2​...


2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.2换底公式练习北师大版必修1(新)

2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.2换底公式练习北师大版必修1(新)_数学_高中教育_教育专区。4.2 换底公式巩固提 升 课后训 练案 A组 4...


§3.4.2换底公式(学案)

§3.4.2换底公式(学案)_数学_高中教育_教育专区...普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修 1 ...


人教A版高一数学必修一《对数换底公式》公开课教案

人教A版高一数学必修一《对数换底公式》公开课教案_...之对数的换底公式及其应用 【教学目标】 1、知识与...1、对数的定义及性质;2、对数恒等式;3、 对数的...


2015年高一数学精品优秀教案:2.2.1《对数与对数运算》(新人教A版必修一)

《对数与对数运算(新人教A版必修一)_数学_高中...教学过程设计 一、问题情境设疑 引例 1:已知 2 ...并会用语言叙述该法则, 理解并能用换底公式化简求值...


高中数学必修一知识点(树状图分布)

高中数学必修一知识点(树状图分布)_高一数学_数学_...1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;...换底公式: g a b ? ? ? lo g c a ? ? ...


高一数学必修1知识网络

高一数学必修1知识网络_高一数学_数学_高中教育_教育...1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;...?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ?...


新人教版A高中数学必修1-5知识点高考复习总结大全

新人教版A高中数学必修1-5知识点高考复习总结大全_...1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;...?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ?...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com