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2016-2017学年高中数学模块综合测评北师大版必修4(新)


模块综合测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 tan α >0,则( A.sin α >0 C.sin 2α >0 ) B.cos α >0 D.cos 2α >0

解析:由 tan α >0 知角 α 是第一或第三象限角,当 α 是第一象限角时,sin 2α =2sin α cos α >0; 当 α 是第三象限角时,sin α <0,cos α <0,仍有 sin 2α =2sin α cos α >0,故选 C. 答案:C 3.在△ABC 中,=c,=b.若点 D 满足=2,则=( A.b+c C.b-c 答案:A 5.已知函数 f(x)=-2cos x(x∈R),则下面结论中错误的是( A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数 f(x)在区间上是增函数 C.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 解析:∵f(x)=-2cos x(x∈R)的图像是由函数 g(x)=2cos x 的图像沿 x 轴翻折而成的,∴A,B,C 均正 确.函数 f(x)是偶函数,故 D 错误. 答案:D 8.为了得到函数 y=sin 2x-cos 2x 的图像,只需把函数 y=4sin xcos x 的图像( A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:y=sin 2x-cos 2x=2sin ) ) B.c-b D.b+c )

解析:由题意得=2(),则 3+2=c+2b,所以 c+b.

=2sin,y=4sin xcos x=2sin 2x,故只需将 y=4sin xcos x 的图像向右平移个单位长度即可.
答案:A 9.4cos 50°-tan 40°=( A. C. B. D.2-1 )

解析:4cos 50°-tan 40°=

=

1

= = =.
答案:C 10.如图,已知|p|=2,|q|=3,p,q 的夹角为.若=5p+2q,=p-3q,D 为 BC 的中点,则||为( )

A.

B.

C.7

D.18

解析:∵D 为 BC 的中点,

∴)=(5p+2q+p-3q) =(6p-q). ∴||= = = =.
答案:A 11.(2016 辽宁五校高中联考)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的部分图像如图所示,则

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于(

)

A.2 C.2+2

B.2+ D.-2-2

解析:由题中图像易知 f(x)=2sinx,其周期为 8,

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sin+2sin+2sin=2+2.
答案:C 12.已知向量 a=(cos 2α ,sin α ),b=(1,2sin α -1),α ∈,若 a·b=,则 tan=( A. sin α =, B. C. D.
2 2 2

)

解析:a·b=cos 2α +sin α (2sin α -1)=cos 2α +2sin α -sin α =1-2sin α +2sin α -sin α =1-

∴sin α =. ∵α ∈,∴cos α =-,∴tan α =-, ∴tan.
答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

2

13.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =-,则 y= 解析:r=,∵sin θ =-,

.

∴sin θ ==-,解得 y=-8 或 y=8(舍去).
答案:-8 14.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,且|AB|=,则= 解析:如图,作 OC⊥AB 于点 C,易得点 C 平分线段 AB,
2 2

.

∴AC=,又 OA=1,∴在 Rt△AOC 中,OC=,∠AOC=60°.

则∠AOB=120°,=||·||cos∠AOB=1×1×cos 120°=-. 答案:15.(2016 辽宁铁岭高三模拟)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若=1,则 AB 的长为

.
2 2

解析:设 AB 的长为 a(a>0),因为,于是=()·=-a +a+1,由已知可得-a +a+1=1. 又 a>0,所以 a=,即 AB 的长为. 答案: 16.给出下列四个命题:

①函数 y=tan x 的图像关于点(k∈Z)对称;②函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数;③
设 θ 为第二象限的角,则 tan>cos,且 sin>cos;④函数 y=cos x+sin x 的最小值为-1. 其中正确命题的序号是
2

.

解析:①由正切曲线知点(kπ ,0)(k∈Z), (k∈Z)都是正切函数图像的对称中心,故正确.②

f(x)=sin|x|不是周期函数,故错误.③∵θ ∈,k∈Z,∴,k∈Z.当 k=2n+1,n∈Z 时,sin<cos,故错误. ④y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x=-,∴当 sin x=-1 时,ymin=1-(-1)2+(-1)=-1,故正确.
答案:①④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知角 α 的终边过点 P. (1)求 sin α 的值; (2)求的值. 解:(1)由正弦函数的定义得 sin α =-. (2)原式=. 由已知条件易得 cos α =,∴原式=. 18.(12 分)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的图像如下图所示.

3

(1)求 ω ,φ 的值; (2)设 g(x)=f(x)f,求函数 g(x)的单调递增区间. 解:(1)由题图可知 T=4=π ,∴ω ==2. 由 f(0)=-1 得 sin φ =-1.

∵|φ |<π ,∴φ =-.
(2)由(1)知 f(x)=sin=-cos 2x,

∴g(x)=f(x)f =(-cos 2x) =cos 2xsin 2x=sin 4x,
由 2kπ -≤4x≤2kπ +(k∈Z), 得≤x≤(k∈Z),故函数 g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 19.(12 分)(2015 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若 m⊥n,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为,求 x 的值. 解:(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且 m⊥n,

∴m·n=·(sin x,cos x) =sin x-cos x=sin=0.
又 x∈,∴x-.

∴x-=0,即 x=. ∴tan x=tan=1.
(2)由(1)和已知得 cos

= =sin,
又 x-,

∴x-,即 x=.
20.(12 分) 导学号 03070150 设函数 f(x)=a·(b+c),其中向量 a=(sin x,-cos x),b=(sin x,-3cos

x),c=(-cos x,sin x),x∈R.
(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)将函数 y=f(x)的图像按向量 d 平移,使平移后的图像关于坐标原点中心对称,求长度最小的 d. 解:由题意得 f(x)=a·(b+c)=(sin x,-cos x)·(sin x-cos x,sin x-3cos x)=sin x-2sin xcos
2

x+3cos2x=2+cos 2x-sin 2x=2+sin.
(1)函数 f(x)的最大值为 2+,最小正周期是 T==π . (2)由 sin=0,得 2x+=kπ ,k∈Z,即 x=,k∈Z. 于是 d=(k∈Z),|d|=(k∈Z).

4

因为 k 为整数,所以要使|d|最小,只要 k=1,此时 d=. 21.(12 分)已知点 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ),α ∈. (1)若||=||,求角 α 的值; (2)若=-1,求的值. 解:∵=(cos α -3,sin α ),=(cos α ,sin α -3),

∴||=,||=.
(1)由||=||得 sin α =cos α .

∵α ∈, ∴α =.
(2)由=-1,得(cos α -3)cos α +sin α (sin α -3)=-1,∴sin α +cos α =,

∴1+2sin α cos α =, ∴ =2sin α cos α =-.
22.(12 分) 导学号 03070151 设函数 f(x)=sin ω x+sin,x∈R. (1)若 ω =,求 f(x)的最大值及相应的 x 的取值集合; (2)若 x=是 f(x)的一个零点,且 0<ω <10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 解:(1)f(x)=sin ω x+sin=sin ω x-cos ω x. 当 ω =时,f(x)=sin-cos

=sin,x∈R,
因为-1≤sin≤1, 所以 f(x)的最大值为. 此时+2kπ ,k∈Z,即 x=+4kπ ,k∈Z.

∴相应的 x 的取值集合为.
(2)依题意得 fsin=0,即=kπ ,k∈Z. 整理得 ω =8k+2, 又 0<ω <10,所以 0<8k+2<10,即-<k<1, 而 k∈Z,所以 k=0,则 ω =2, 所以 f(x)=sin, 则 f(x)的最小正周期为 π .

5



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