tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

二O一六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛标准答案


二O一六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷
(考试时间:2016 年 7 月 3 日上午 9:00-11:30,满分 150 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 2 3 答案: 3 2.已知 f(x)是 R 上最小正周期

为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为______________. 答案:7

? x? ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ? ?? , ? ? 内单调递增,且函数 3. 已知函数 f ? x? ? sin? x ? cos ? ,x ? R若函数
y ? f ? x? 的图象关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为
答案: . 开始 a=2,i=1 否

?
2

4. 已 知 a 为 如 图 所 示 的 程 序 框 图 中 输 出 的 结 果 , 则 二 项 式 1 6 (a x ? ) 的展开式中含 x 2 项的系数是 . x

i<2016 是

3 答案: ? 16
5. → → → 已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设 C 是直线 OP 上的一

a?

1 1? a

输出 a 结束

i=i+1 第 4 题图

→ → → 点 ( 其中 O 为坐标原点 ) .当 CA · CB 取到最小值时的 OC 的坐标为 ________________. 答案:(4,2)

6.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,满足 f(1-m)+f(1-m2)<0,则实数 m 的取 值范围是_______________. 答案:[-1,1) x2 y2 7.双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0) a b 4 到直线 l 的距离之和 s≥ c,则双曲线离心率 e 的取值范围是____________. 5 5 答案:[ , 5] 2 8.已知甲乙两个工程队各有若干人,如果从甲工程队调 90 人到乙工程队,则乙工程队的总人数是甲工程队 的 2 倍,如果从乙工程队调部分人到甲工程队,则甲工程队的总人数是乙工程队的 6 倍.则甲工程队原来最 少有___________人. 答案:153 9. 已知 a, b 是方程 log 3 x 3 ? log 27 (3x) ? ? 答案:

4 的两个根,则 a ? b ? ________. 3

10 81
1

10. 数列 a0 , a1 , ???an 满足 a0 ?

3 , an ?1 ? ? an ? ?

1 ,( ? a ? , ?a ? 分别表示 a n 的整数部分和小数部分 ), 则 ?an ? n n

a2016 =_____________.
答案: 3024 ? 3 二、解答题(共 6 小题,满分 80 分。要求写出解题过程) 11.(本题满分 13 分)在非等腰 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足

(2c ? b) cos C ? (2b ? c) cos B. (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 4, 求?ABC 面积的取值范围.
解: (1)因为 (2c ? b) cos C 所以 (2sin C ? sin B) cos C 则 sin 2C ? sin 2 B

? (2b ? c) cos B , ? (2sin B ? sin C ) cos B ,

? sin( B ? C ) ,

所以 2 cos(C ? B ) sin(C ? B ) ? sin( B ? C ) . 因为 ?ABC 不是等腰三角形,所以 sin( B ? C ) 则 cos(C ? B) ? ?

? 0,

1 ,所以 C ? B ? 120 2
2 2 2

,因此 A ? 60 .
2 2

(2)方法 1.根据余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,有 16 ? b ? c ? bc
2 2 因为 b ? c ? 2bc (当且仅当 b ? c ? 2 时不等式取等号)

所以 16 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc,
2 2

即 bc ? 16 ,所以 ?ABC 的面积 S ?

1 3 bc sin A ? bc ? 4 3, 2 4

且当 a ? b ? c ? 4 时等号取到,又因为 ?ABC 不是等腰三角形,所以 S ? 4 3 ; 又显然 S ? 0 ,所以 ?ABC 的面积的取值范围是 (0, 4 3) . 方法 2.由正弦定理得:

a b c 8 8 8 ,? b ? ? ? ? sin B, c ? sin C , sin A sin B sin C 3 3 3

1 16 16 8 3 4 3 ? S ? bc sin A ? sin B sin C ? sin B sin(120? ? B) ? sin( 2 B ? 30?) ? 2 3 3 3 3
B ? (0?,120 ?),? S ? (0,4 3 )

2

12. (本题满分 13 分)某电视娱乐节目的游戏活动中,每个人需完成 A、B、C 三个项目,已知选手甲完 成 A、B、C 三个项目的概率分别为

3 3 2 , , .每个项目之间相互独立. 4 4 3

(Ⅰ)选手甲对 A、B、C 三个项目各做一次,求甲至少完成一个项目的概率; (Ⅱ)该活动要求项目 A、B 各做两次,项目 C 做三次,如果两次 A 项目都完成,则进行项目 B,并获得 积分 a,两次 B 项目都完成则进行项目 C 并获积分 3a,3 次 C 项目只要两次成功,则该选手闯关成功并获 积分 6a(积分不累计) ,且每个项目之间互相独立,用 X 表示选手甲所获积分的数值,写出 X 的分布列并 求数学期望. 解析: (Ⅰ)设选手甲对 A、B、C 三个项目记为事件 A、B、C,且相互独立,至少完成一个项目为事件 D, 则 P ? D ? ? 1 ? P ABC ? 1 ?

?

?

1 1 1 47 . ? ? ? 4 4 3 48

(Ⅱ)X 的取值分别为 0, a,3a, 6a. 则

P ? X ? 0? ?

1 3 1 7 3 3 7 ? ? ? (也可以 P ? X ? 0 ? ? 1 ? ? ? ), 4 4 4 16 4 4 16
2 2

? 3 ? ? 1 3 1 ? 63 ? 3 ? ? 3 3 ? 63 (也可以 P ? X ? a ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ), P ? X ? a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 4 4 ? 256 ? 4 ? ? 4 4 ? 256
2 2 2 2 2 ? 21 ? 3 ? ? 3 ? ?? 1 ? 1?1? P ? X ? 3a ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? C2 ? ? ? ?? ?4? ?4? ? ? 3? 3? ?? 3 ? ? 256 2 2 2 2 1 ? 60 ? 3 ? ? 3 ? ?? 2 ? 1? 2? P ? X ? 6a ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? C2 ? ? ? ? ? ?4? ? 4? ? ? 3 ? 3? ?? 3 ? ? 256 7 63 21 60 (也可以 P ? X ? 6a ? ? 1 ? ) ? ? ? 16 256 256 256

X 的分布列为: X 0 a 3a 6a

P 故 E ?X? ? 0?

7 16

63 256

21 256

60 256

7 63 21 60 243 ? a? ? 3a ? ? 6a ? ? a. 16 256 256 256 128

3

13. (本题满分 13 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2, π AC=4,∠ACB=∠ACD= ,F 为 PC 的中点,AF⊥PB. 3 (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B-AF-D 的正弦值. 解 (1)如图,连接 BD 交 AC 于点 O,

因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形, 又 AC 平分∠BCD,故 AC⊥BD. → → → 以 O 为坐标原点,OB,OC,AP的方向分别为 x 轴,y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz, π 则 OC=CDcos =1, 3 而 AC=4,得 AO=AC-OC=3, π 又 OD=CDsin = 3. 3 故 A(0,-3,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),D(- 3,0,0). 因为 PA⊥底面 ABCD,可设 P(0,-3,z), z? 因为 F 为 PC 的中点,所以 F? ?0,-1,2?. z? → → 又AF=? ?0,2,2?,PB=( 3,3,-z), → → 因为 AF⊥PB,故AF· PB=0, 2 z 即 6- =0,z=2 3(舍去-2 3), 2 → 所以|PA|=2 3,所以 PA 的长为 2 3. → → → (2)由(1)知,AD=(- 3,3,0),AB=( 3,3,0),AF=(0,2, 3). 设平面 FAD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 FAB 的法向量为 n2=(x2,y2,z2). → → 由 n1· AD=0,n1· AF=0 得

?- 3x1+3y1=0, 因此可取 n1=(3, 3,-2). ? ?2y1+ 3z1=0,
→ → 由 n2· AB=0,n2· AF=0 得

? 3x2+3y2=0, 故可取 n2=(3,- 3,2). ? ?2y2+ 3z2=0,
从而法向量 n1,n2 的夹角的余弦值为 n1· n2 1 cos〈n1,n2〉= = . |n1|· |n2| 8 二面角 B-AF-D 的正弦值为

63 . 8

4

1 1 14.(本题满分 13 分)若数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,点( a n , S n )在 y= - x 的图象上(n∈N*). 6 3 (1)求数列{ a n }的通项公式; (2) 若 c1 = 0 , 且 对 任 意 正 整 数 n 都 有 cn ?1 ? cn ? log 1 an . 求 证 : 对 任 意 正 整 数 n≥2 , 总 有
2

1 1 1 1 ? + + + 3 c2 c3 c4

1 3 ? cn 4 .

1 1 (1)解 ∵Sn= - an, 6 3 1 1 ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an-1- an, 3 3 1 ∴an= an-1. 4 1 1 1 又∵S1= - a1,∴a1= , 6 3 8 1 1?n-1 ?1?2n+1 ∴an= ? =?2? . 8?4? (2)证明 由 cn+1-cn=log 1 an=2n+1,
2

得当 n≥2 时,cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=0+3+5+…+(2n-1)=n2-1=(n+1)(n- 1). 1 1 1 1 ∴ + + +…+ c2 c3 c4 cn = 1 1 1 1 + + +…+ 2 22-1 32-1 42-1 n -1

1 ?? 1? ?1 1? ?1 1? 1- + - + - +…+ = × 2 ?? 3? ?2 4? ?3 5? 1 1 ?? 1 1 1+ ?-?n+ = ?? 2? ? n+1?? 2?? 1 3 1 1 3 = - ?n+n+1?< . 4 2? ? 4 1 1 1 1 1 1 又∵ + + +…+ ≥ = , c2 c3 c4 cn c2 3 ∴原式得证.

? 1 - 1 ?? ?n-1 n+1??

5

15. (本题满分 14 分)已知点 F 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,点 M ( m, 0) 、 N (0, n) 分别是 x 1 ? a2

轴、 y 轴上的动点,且满足 MN ? NF ? 0 .若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; OB 与直线 x ? ?a 分别交于点 S 、 (2) 设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、B 两点, 直线 OA 、

T ( O 为坐标原点) ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
解析: (1)? 椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 右焦点 F 的坐标为 ( a, 0) , ? NF ? (a, ? n) . 2 1? a

MN ? (?m, n) ,? 由 MN ? NF ? 0 ,得 n 2 ? am ? 0 .
设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 OM ? 2ON ? PO ,有 ( m, 0) ? 2(0, n) ? ( ? x, ? y ) ,

?m ? ? x , ? 2 2 ? y 代入 n ? am ? 0 ,得 y ? 4ax . n? . ? 2 ?
(2)(法 1)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? a , A(

y12 y2 , y1 ) 、 B( 2 , y2 ) , 4a 4a

则 lOA : y ?

4a 4a x , lOB : y ? x. y1 y2

4a ? x, 4a 2 4a 2 ?y ? y1 ,得 S (?a, ? 由? ) , 同理得 T (?a, ? ). y y 1 2 ? x ? ?a ?

? FS ? (?2a, ?

4a 2 4a 2 16a 4 . ) , FT ? (?2a, ? ) ,则 FS ? FT ? 4a 2 ? y1 y2 y1 y2

? x ? ty ? a, 16a 4 2 2 2 2 ? y y ? ? 4 a y ? 4 a t y ? 4 a ? 0 由? 2 , 得 , 1 2 . 则 FS ? FT ? 4a ? ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 2 (?4a ) ? y ? 4ax
因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 . (法 2)①当 AB ? x 时, A( a, 2a ) 、 B (a, ? 2a ) ,则 lOA : y ? 2 x ,

lOB : y ? ?2 x .

? y ? 2 x, 得点 S 的坐标为 S ( ? a, ? 2a ) ,则 FS ? (?2a, ? 2a) . ? x ? ?a ? y ? ?2 x, 由? 得点 T 的坐标为 T (?a, 2a ) ,则 FT ? ( ?2a, 2a ) . ? x ? ?a
由?
6

? FS ? FT ? (?2a) ? (?2a) ? (?2a) ? 2a ? 0 .
②当 AB 不垂直 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? a )(k ? 0) , A( 得 FS ? FT ? 4a 2 ?

y1 y , y1 ) 、 B( 2 , y2 ) ,同解法一, 4a 4a

2

2

16a 4 . y1 y2
,得 ky ? 4ay ? 4ka ? 0 ,? y1 y2 ? ?4a .
2 2

由?

? y ? k ( x ? a), ? y ? 4ax
2

2

则 FS ? FT ? 4a 2 ?

16a 4 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 2 (?4a )

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 .

7

16. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x . (1)设实数 k 使得 f ( x) ? kx 恒成立,求 k 的取值范围;

ln x

1 e 1 ? 2 ln x f ( x) ln x ( x ? 0) 解: (Ⅰ)设 h( x) ? ? 2 ( x ? 0) ,则 h?( x) ? x3 x x
令 h? ? x ? ?

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? kx (k ? R) ,求函数 g ( x) 在区间 [ , e 2 ] 上的有两个零点,求 k 的取值范围.

1 ? 2 ln x ? 0 ,解得: x ? e x3

当 x 在 (0, ??) 上变化时, h?( x) , h( x) 的变化情况如下表:

x
h? ? x ?

(0, e)

e
0

( e, ??)


+ ↗

h( x )

1 2e

由上表可知,当 x ?

e 时, h( x) 取得最大值
f ( x) ? h( x) 恒成立 x

1 2e

由已知对任意的 x ? 0 , k ? 所以, k 得取值范围是 ( (Ⅲ)令 g ( x) ? 0 得: k ?

1 , ??) . 2e

f ( x) ln x ? 2 x x

由(Ⅱ)知, h( x) ?

ln x 1 在 [ , e] 上是增函数,在 [ e,e2 ] 上是减函数. 2 e x

1 1 2 且 h( ) ? ?e 2 , h( e) ? , h(e 2 ) ? 4 e e 2e



2 1 1 ≤k ? 时,函数 g ( x) 在 [ ,e2 ] 上有 2 个零点 4 e 2e e 2 1 ≤k ? . e4 2e

所以 k 的取值范围

8


推荐相关:

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区参考答案与评分细则一、填空题(本题满分 70 分...在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有...


2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分...??? ? ? O A 绕点 O 逆时针旋转 2 王新敞奎屯 新疆 得向量 O B , ...


2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案

2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。二O一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案一、填空题(共 10 小题,每小题 7...


2007年全国高中数学联赛(湖北赛区)预赛试题详解

2007 年全国高中数学联合竞赛(湖北赛区)预赛试题一、...S△O1B1M = 2 : 3 ,则四面体 O1 ADM 的体积...本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 D...


2006~2011年全国高中数学联赛_江苏赛区 初赛试卷(精华版)

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题小题, 要求直接将答案写在横线上) 一、...2 1 1 (2)若∠BPC = 90o + ∠BAC 且∠APC = 90o + ∠ABC ,证明:...


2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案

7. 设 O 是 ABC 的内心, AB = 5 , AC = 6 , BC = 7 , OP = ...2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准 一、填空题(每小...


2011、2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题(含答案)

2011、2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题(含答案) 数学竞赛数学竞赛隐藏>> Http://www.fhedu.cn 二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题一.填空题(本题满分 ...


二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(附答案)

二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(附答案)...? 04 预赛试卷第1页(共 6 页) 京翰教育中心 ...5 的动弦 .O 为坐标 2 04 预赛试卷第4页(共 ...


2013年全国高中数学联赛甘肃省预赛

2013 年全国高中数学联赛甘肃省预赛 试题一、填空题(每小题 6 分,共 60 分...则二面角 O—A 1 B 1 —C1 的平面角的正切值 2 (第 8 题) 为___. ...


二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)

二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷 2007 年 9 月 23 日上午(8∶30-11∶00)考生注意:1、本试卷共三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分. 2、用...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com