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数学奥林匹克高中训练题(16)及答案


数学奥林匹克高中训练题(16)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 21)集合 M 由两个以上连续自然数构成,其元素之和为 1996.这样的集合 M(B) . (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 有两个 (D) 有三个以上 2.(训练题 21) x ∈ [0, π ] , y = sin(cos x ) 最小值为 a

, y = cos(sin x ) 最小值为 b , y = tan(sin x ) 最 小值为 c , y = cot(cos x ) 最小值为 d .则 a , b, c, d 大小关系是(C) (A) d < a < c < b (B) c < a < b < d
sin x

(C) a < d < c < b (D) b < a < d < c

3.(训练题 21)若方程 2 a9 (A) a ≥ 0 或 a ≤ ?8

+ 4a3sin x + a ? 8 = 0 有解,则 a 的取值范围是(D)
(B) a ≥ 0 (C) 0 ≤ a ≤

8 31

(D)

8 72 ≤a≤ 31 23

4.(训练题 21)椭圆长轴为 6,左顶点在圆 ( x ? 3) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 上,左准线为 y 轴.则椭圆离心率 e 的取值范围是(A) (A)

3 3 ≤e≤ 8 4

(B)

1 3 ≤e≤ 4 8

(C)

1 1 ≤e≤ 4 2

(D)

1 3 ≤e≤ 2 4

5.(训练题 21)设 I = {1, 2,L ,100} . M 表示 I 中最大元素为 66 的子集个数, N 表示 I 中最小元素为 33 的子集个数, P 表示 I 中最大元素为最小元素 3 倍的子集个数.则(B) (A) M < N < P (B) M < P < N (C) N < P < M (D) P < M < N 13 1 3 4 6.(训练题 21)设复数 z≠1,z =1.则 z +z +z +z9+z10+z12 的值为(B) (A) 有理数 (B) 无理数 (C) 虚数 (D) 纯虚数 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.(训练题 21)设实数 x, y 满足方程 9 x 2 + 4 y 2 ? 3 x + 2 y = 0 .则 z = 3 x + 2 y 的最大值是____1____. 2.(训练题 21)设 M , N 是线段 AB 上两点,

AM 1 AN 3 = , = ,以 AB 为斜边任作 Rt ?ABC .再作 MB 4 NB 2 MD ⊥ BC 于 D , ME ⊥ AC 于 E , NF ⊥ BC 于 F , NG ⊥ AC 于 G . 则 比 值 y=
10 ? 4 3 MD + ME + NF + NG 之最大可能值为___ _____. AB + BC + AC 5

3.(训练题 21) 动直线 l 交 y 轴于 A ,交 x 轴于 B ,设 ?AOB 面积 S 为定值.过原点 O 作 l 垂线,垂 足为 P ( x, y ) .则 P 点的轨迹方程是

( x 2 + y 2 )2 = 2 S xy

.

4.(训练题 21) 正四棱锥 S ? ABCD .延长底面一边 CD 至 E ,使 DE = 2CD .过 B, E 和棱 SC 中

点 F 作一平面,这个平面将四棱锥分为两部分.则这两部分体积之比为____31:29___. 5.(训练题 21) 把 ( 7 ? 6) 写成 N + 1 ?
6

N 的形式, N 为则自然数。则 N =___76545000___.

6. (训练题 21) 从 1,2, …, 1996 中, 选出 k 个数, 使其中任意两数之和不能被这两数之差整除。 k 的 则 最大可能值是 666 .

第二试
一、 (训练题 21) (本题满分 25 分) f ( x ) 是 x 的整系数多项式 f ( x) ? 17 有五个互不相同的整数根. 设 证 明:方程 f ( x ) = 0 没有整数根. 二、(训练题 21)(本题满分 25 分)空间有 n 个平面( n ≥ 4 ),任意两个不平行,任意三个不共线,它 们两两交线中,最多能有多少对异面直线? 3Cn
k

三、(训练题 21)(本题满分 35 分)过圆外两点 C1 , C2 分别作圆的切线 C1 A1 , C1 B1 和 C2 A2 , C2 B2 ( A1 , A2 , B1 , B2 为切点).1) ( 两弦 A1 B1 和 A2 B2 相交于圆内某点 P 充要条件什么?(2 ) 若 A1 B1 和 A2 B2 相 交于圆内 P 点,过 P 作弦 AB // C1C2 .求证: PA = PB . 四、(训练题 21)(本题满分 35 分)某校有微机 n 台,分别放在 n 个房间,各房间开钥匙互不相同。某 期培训班有学员 m 人( m > n ),每晚恰有 n 人机房实习操作,为保证每人一台机,至少应准备多少把 钥匙分给这 m 个学员,使得每晚不论哪 n 个人进机房,都能用自己分到的钥匙打开一间机房的门进去 练习,并按分得钥匙少的人先开门的原则,能保证每人恰可得到一个房间.


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