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2012年全国高中数学竞赛(四川预赛试题及解答)(1)


2012 年全国数学竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、设集合 S ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? ,T ? ? x | x ? 2 |? 3? ,则 S ? T =( A、 {x | ?5 ? x ? ?1}
{x |1 ? x ? 5}



B、

{x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}

D 、

2、 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是 ( A、 D、
? 2 ? 6


? 3

B、

? 4

C、

2 3、已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,g ( x) ? kx ? 1,则“ | k| ? ”是“ f ( x) ? g ( x)

在 R 上恒成立”的(



A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ,作 ?1 的内切圆,再作内切圆 的内接正三角形,设为 ?2 ,面积为 S2 ,如此下去作一系列的正三 角形 ?3 , ?4 ,? ,其面积相应为 S3 , S4 ,? , 设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ?? Sn ,则 nlim Tn =( ??? A 、 D 、2 5、设抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的 动点,则 A 、 D 、 3
| MO | 的最大值为( | MF |
6 5


4 3

B 、

C、

3 2

) B 、
2 3 3

3 3

C、

4 3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器 内注入水,并放入半径为 r 的一个实心球,此时球与容器壁及水 面恰好都相切,则取出球后水面高为( A、 r
3

) D 、

B、 2r

C、 3 12r

15r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小
A D F E B

题 5 分,

共 30 分)

C

7、如图,正方形 ABCD 的边长为 3, 的 中点, AE 与 BD 相交于 F ,则 FD ? DE 的值是
??? ??? ? ?

E



DC



8、 ( x 2 ? x ? 数字作答)

1 6 ) 的展开式中的常数项是 x

. (用具体

9、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 值为 .

(an ? 1) 2 4

,则 S20 的

10 、 不 超 过 2012 的 只 有 三 个 正 因 数 的 正 整 数 个 数 为 .
A 11 、 已 知 锐 角 A, B 满 足 t an ( ? B ) 2 t an , 则 t a nB ? A

的最大值



. 12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五

位数 abcde , 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 .

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x ?1 , (I)求函数 f ( x) 在 [0,
?
2 ] 上的最大值与最小值;

(II)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求
b cos c 的值. a

14、已知 a, b, c ? R? ,满足 abc(a ? b ? c) ? 1 , (I)求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 1的左支交于 A 、 B 两点,直线 l 经过点 (?2, 0) 和 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

16、 设函数 fn ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [

1 ,1] 上的最大值为 an n ? 1, 2,3,? ) ( . 2

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?
1 (n ? 2)2

成立;

(III)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:对任意正整数 n , 都有 Sn ?
7 成 16

参考解答 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、 C D 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2、 A 3、 A 4、 B 5、 B 6、

7、?
2 15

3 2

8、?5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13 、 解 : ( I ) 由 条 件 知 (5 分) 由 0 ? x ? 知,
?
2 2 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 3

?



?

?
3

? x?

?
3

?

5? 6

,于是

1 ? ? sin( x ? ) ? 1 2 3

所以 x ? 时, f ( x) 有最小值 2 ? 当
x?

?
6

1 ?1 ? 2 ; 2





f ( x)



最 (10 分)





2 ?1 ? 1 ? 3 .

(II)由条件可知
2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立, 3 3

?

?

∴ 2a sin( x ?

?

) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3 3

?

?

∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ? ∴ (15 分)

?

) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3

?

? a ? b cos c ? 0 ? ?b sin c ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ?

,

由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ?1 , , 解 得
a?b? 1 , c ? (2k ? 1)? 2









b cos c ? ?1 . a

(20 分)
1 ab

14、 (I) 解: 因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c2 ? ab ? (a ? b ? c)c ? ab ? 分)

(5

? 2 ab ?

1 ? 2 ,等号成立的条件是 ab ? 1 , ab

当 2.

a ? b ? 1, c ? 2 ?1

时 ,

S

可 取 最 小 值

(10 分)

(II)当 S 取最小值时, ab ? 1 ,从而 c(a ? b ? c) ? 1, 即
c2 ? (a ? b)c ?1 ? 0





t ? ?a

b ,



t ? 2 ab ? 2

(15 分)
?t ? t 2 ? 4 ?t ? t 2 ? 4 从而 c ? 或者 c ? ? 0 (舍去) 2 2
2 故 c ? ?t ? t ? 4 ?

2 t2 ? 4 ? t
t?2

2

在 t ?[2, ??) 单减, 时 ,
c


2 ?1 .













(20 分)

15 、 解 : 将 直 线
? y ? kx ? 1 ? 2 2 ?x ? y ? 1

y ? kx ? 1

与 双 曲 线 x2 ? y 2 ? 1 方 程 联 立 得

化 (5 分)





(k 2 ?1) x2 ? 2kx ? 2 ? 0



? ?? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x1 ? x2 ? ? 2k ? 0 ,解得 ? k 2 ?1 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ?
1? k ? 2 . (10

分)
2k , k 2 ?1

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? ?

2k 2 2 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ? 2 ?2?? 2 k ?1 k ?1

故 AB 的中点为 (? 所以直线
b ?
2

k 1 ,? 2 ) , k ?1 k ?1 ?1 l 方程为 y? 2 ( x ? 2 ), 其 在 y 2k ? k ? 2
2

轴的截距

?2 , (15 2k ? k ? 2

分)
1 2 17 ) ? , 其取值范围是 (?1, 2 ? 2) 4 8

2 当 1 ? k ? 2 时, k 2 ? k ? 2 ? 2(k ?





b

?

?2 2k ? k ? 2
2













(??, ?2 ? 2) ? (2, ??) .

(20 分)

16、解: (I) fn' ( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1(1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] , 当
1 x ? [ ,1] 2

时 , 由 fn' ( x) ? 0 知

x ?1

或 者

x?

n n?2



(5 分)
n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f1 ( ) ? , f n (1) ? 0 ,故 a1 ? ; n?2 3 2 2 8 8 n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时, , fn (1) ? 0 ,故 a2 ? ; n?2 2 2 2 16 16 n 1 ? [ ,1] , 当 n ? 3 时, n?2 2 1 n n ) 时, fn' ( x) ? 0 ; x ? ( ,1) 时, fn' ( x) ? 0 ; ∵ x ?[ , 2 n?2 n?2

当 n ? 1 时,

∴ f n ( x) 在 x ? 综
?1 ?8 , n ? ? an ? ? n ? 4n , n? ? ( n ? n? 2 ?

n n?2

处取得最大值, an ? ( 即 所
1 ( 2

n n 2 2 4nn ) ( ) ? n?2 n?2 (n ? 2)n? 2


(


)

, (10


2 ) )

分) (II)当 n ? 2 时,欲证
4nn 1 ? n?2 (n ? 2) (n ? 2)2

,只需证明 (1 ?

2 n ) ?4 n

∵ (1 ?

2 n 2 2 2 0 1 2 n ) ? Cn ? Cn ? ( )1 ? Cn ? ( ) 2 ? ? ? Cn ? ( ) n n n n n n(n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n

所 立.







n?2









an ?

1 (n ?

2

2


)

(15 分)

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 Sn ?
1 1 ? ? a3 ? a4 ? ? ? an 8 16

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ??? 8 16 5 6 (n ? 2) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 8 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 7 ? ? ? ? . 8 16 4 16

所 以 , 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 立. (20 分)

Sn ?

7 16




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