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2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课时2)课件


1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
第二课时 计数原理的综合应用

1.通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决一些 生活中的实际问题。
2.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,能说明两 个计数原理的不同之处,能根据具体问题的特征、选择恰 当的原理解决一些简单的实际问题,体现数学实际应用和 理论相结合的统一美,经历从特殊

到一般的思维过程; 3.体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理,让学 生体验到发现数学、运用数学的过程。

本节课是练习课的教学典范.通过典型丰富的实例,如 汽车号码排序, DNA 核糖核酸排序问题,电子计算机模块

排序,二进制问题等引导学生在不断思考中利用两个计数 原理解决问题;然后通过实例探究,归纳原理.得出先 “两类”后“多类”,先“分类”后“分步”,先“加法” 后“乘法”的逐步过渡,然后归纳小结引导学生在加法与 乘法原理相互转化的过程中灵活运用两个计数原理.
最后,通过设置有关高考科目改革的热点思考题,为后 继学习排列组合做好铺垫,激发学生进一步学习的欲望.

1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类

办法中有 m1 种不同的方法 , 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方 法?,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共 有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. 2、分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法?,做第n步 有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点: 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题

不同点: 分类加法计数原理与分类有关, 分步乘法计数原理与分步有关。

分类加法计数原理 相同点

分步乘法计数原理

用来计算完成一件事的方法种数 分类、 相加 相乘 分步、 每步依次完成才算完 成这件事情(每步中 的每一种方法不能独 立完成这件事) 步步相依 缺一不可

不同点

每类方案中的每一 种方法都能独立完 成这件事

注意点 类类独立 不重不漏

例1. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一 项,报名方法的种数为多少?又他们争夺这四项比 赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种?
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每

个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 5 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 4 种 .
(2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 4 故有n=5×5×5×5= 5 种 .

例2.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首个字符要求用字 母A ~ G或U ~ Z,后两个要求用数字1~9,问最多可以给多 少个程序命名?

分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:
第一步,选首字符;

第二步,先中间字符;
13种 9种 9种

第三步,选末位字符。 解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法

例3.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子是一个有 着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成 分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用A,C,G,U表示,在一个RNA分子中, 各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基 无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成,那么能有多少种不同的RNA分子?

分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从A、C、 G、U中任选一个来占据。 第 1位 第 2位 第 3位 第100位
……
4种 4种 4种 4种

解:100个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U 中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理,共有
100 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 = 4 ?? ? ??? ? 种不同的RNA分子. 100 个4

例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? ( 2 )计算机汉字国标码( GB 码)包含了 6763 个汉字,一个汉 字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多 少个字节表示? 如00000000,10000000, 11111111.
2种 2种 2种 第1位 第2位 第3位 第8位

……
2种

解:(1)用图来表示一个字节.一个字节共有8位, 每个字节上有两种选择.根据分步乘法计数原理, 一个字节最多可以表示2x2x2x2x2x2x2x2=28=256个

不同的字符.
(2)所以要表示这些汉字,每个汉字至少要用2 个字节表示 .

例5.计算机编程人员在编写 开始 好程序以后要对程序进行测 试。程序员需要知道到底有 多少条执行路(即程序从开 子模块1 子模块3 子模块2 始到结束的线),以便知道 18条执行路径 28条执行路径 45条执行路径 需要提供多少个测试数据。 一般的,一个程序模块又许 A 多子模块组成,它的一个具 有许多执行路径的程序模块。 问:这个程序模块有多少条 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 执行路径?另外为了减少测 试时间,程序员需要设法减 少测试次数,你能帮助程序 员设计一个测试方式,以减 结束 少测试次数吗?

分析:整个模块的任 意一条路径都分两步 完成:第1步是从开 始执行到A点;第2步 是从A点执行到结束。 而第步可由子模块1 或子模块2或子模块3 来完成;第二步可由 子模块4或子模块5来 完成。因此,分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径 A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

开始 在实际测试中,程序员总 是把每一个子模块看成一 个黑箱,即通过只考察是 子模块3 子模块2 否执行了正确的子模块的 子模块1 28条执行路径 45条执行路径 方式来测试整个模块。这 18条执行路径 样,他可以先分别单独测 A 试 5 个模块,以考察每个 子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为: 子模块5 子模块4 18+45+28+38+43=172。 43条执行路径 38条执行路径 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常,需要测 试的次数为:3 2=6。 如果每个子模块都正常工 结束 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常,那么 这样,测试整个模块的次数就变为 整个程序模块就正常。 172+6=178(次)

?

例6.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增 长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母 和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现, 3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?

分析:按照新规定,牌照可以分为两类, 即字母组合在左和字母组合在右. 确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.

解:牌照可以分为两类即字母组合在左和字母组合 在右

字母组合在左时 ,分6个步骤确定一个汽车牌 照的 字母和数字 :
第1步, 从26个字母中选 1个, 放在首位 ,有26种选法;

第 2 步, 从剩下的 25个字母中选 1 个, 放在第 2位,有 25种选法; 第3步, 从剩下的 24个字母中选 1 个, 放在第 3位,有 24种选法;
第4步, 从10个数字中选 1个, 放在第 4位,有10种选法;

第5步, 从剩下的 9个数字中选 1个, 放在第 5位,有9 种选法;
第6步, 从剩下的 8 个数字中选 1个, 放在第 6位,有8 种选法.

根据分步乘法计数原理 ,字母组合在左的牌照共 有26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11 232 000?个?.
同理,字母组合在右的牌照也 有 11 232 000个.
所以,共能给11232000 ? 11232000 ? 22464000 辆汽车上牌照 .

升华提高:
1. 应用两个基本计数原理解题时,首先必须弄明
白怎样就能“完成这件事”?其次要做到合理分 类,准确分步,按元素的性质分类,按事件发生

的过程分步是计数问题的基本方法。
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题,可优先安排。

练习
1.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格 里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的 数字均不同的填法有_____种. 解:1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填法.1 号方格填好后,再填与1号方格内数字相同的号的 方格,又有3种填法,其余两个方格只有1种填法.

所以共有3×3×1=9种不同的方法.

2.用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的:

(1)银行存折的四位密码? (2)四位数? (3)四位奇数?
(1)解:完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以 分四个步骤: 第一步 第二步 第三步 选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法; 选取左边第二个位置上的数字,有4种选取方法; 选取左边第三个位置上的数字,有3种选取方法;

第四步 选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法;
由分步乘法计数原理,可组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120(个)

2.用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的: (1)银行存折的四位密码? (2)四位数? (3)四位奇数? (2) 解:完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分 四个步骤: 第一步 从1,2 ,3, 4中选取一个数字做千位数字,有4 种不同的选取方法; 第二步 从1,2 ,3, 4中剩余的三个数字和 0 共四个数字 中选取一个数字做百位数字,有4种不同的选取方法; 第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字, 有3种不同的选取方法; 第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法; 由分步乘法计数原理,可组成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96(个)

2.用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的: (1)银行存折的四位密码? (2)四位数? (3)四位奇数? (3)解:完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事, 可以分四个步骤: 第一步 确定个位数字:从1,3中选取一个数字做个位数 字, 有2种不同的选取方法; 第二步 确定千位数字:从1,2,3,4剩余的三个数字中 选取一个数字做千位数字,有3种不同的选取方法; 第三步 确定百位数字:从1,2,3,4剩余的两个数字和 0共三个数字中,选取一个数字做百位数字,有3种不同的选取 方法; 第四步 确定十位数字:从剩余的两个数字中,选取一个 数字做十位数字,有2种不同的选取方法; 由分步乘法计数原理,符合条件的四位奇数共有 N=2×3×3 ×2 =36(个).

应用两个基本计数原理解题时应注意的问题: 1.首先必须明确怎样就“完成这件事”?

2.其次分类要不重不漏,分步要步骤完整。
3.还须注意特殊元素(或特殊位置)优先安排 以及是否重复等。


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