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2015年高三高考(文科)数学复习专题五:解析几何


平面解析几何
用代数方法研究几何图形的几何性质, 体现着数形结合的重要数学思想. 直线与圆的方 程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容,题量一般为一道解答题和两道填空题.江苏高 考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解,圆锥曲线 突出了直线与椭圆(理科有与抛物线)的位置关系,淡化了直线与双曲线的位置关系.直线 与圆锥曲线的有关问题始终是命题

的热点内容之一, 必考一道解答题. 直线与圆锥曲线所涉 及的知识点较多, 对解题能力的考查层次要求较高, 所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置 关系、定点(定值) 、最值以及参数的取值范围等. 本单元二轮专题和课时建议:
课时 第一课时 第二课时 第三课时 专题 直线与圆 椭圆、双曲线、抛物线 解析几何综合应用 内容说明(核心) 直线和圆的基本构成要素、点到直线的距离、 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆锥曲线的定义、方程及性质、直线与椭圆的 位置关系 解析几何定点与定值问题、范围与最值问题、 探索问题 备注

第一课时
教学目标:在 2013 年的备考中,需要关注:

直线与圆

(1)直线的基本概念,直线的方程,两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识; (2)活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系; (3)对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。 一、基础回顾: 1、若直线(a2+2a)x-y+1=0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是________. 2、经过 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆心,且倾斜角为
2 2

? 的直线方程为 6

.

3、直线 ax+2y+6=0 与直线 x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行,则 a=________. 4、 直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长度等于
2 2

.

5、已知圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 2 ,过原点的直线 l 与圆 C 相切,则所有切线的斜率之和 为 .
2 2

6、过点 A ? 0,6 ? 且与圆 C : x ? y ? 10x ? 10 y ? 0 切于原点的圆的方程为 二、典型问题 基本题型一:直线的概念、方程及位置问题

.

例 1 过点 P(3,2)作直线 l,交直线 y=2x 于点 Q,交 x 轴正半轴于点 R,当△QOR 面积最小 时,求直线 l 的方程. 解析: 方法一:设点 Q 的坐标为(a,2a),点 R 的坐标为(x,0),其中 x>0. 当 a=3 时,△QOR 的面积 S=9;
1

当 a≠3 时,因为 P,Q,R 三点共线, 2a-2 2 2a 所以 = ,解得 x= (a>1), 3-x a-3 a-1 1 2a2 1 ∴△QOR 的面积 S= |OR|· 2a= =2[(a-1)+ +2]. 2 a- 1 a-1 1 当且仅当 a-1= (a>1),即 a=2 时,S 取得最小值 8. a-1 此时点 Q 的坐标为(2,4),将 Q,P 两点坐标代入直线方程两点式,并整理得 2x+y-8=0. 解法二:设 l 的方程为 x=3 或 y-2=k(x-3), 当 l 的方程为 x=3 时,△QOR 的面积 S=9;
? ?y=2x, 当 l 的方程为 y-2=k(x-3)时,联立方程组? ?y-2=kx- ?



解这个方程组,得点 Q 的坐标为?

?3k-2,6k-4?. ? ? k-2 k-2 ?
3k-2 ? ? k ,0?,

在方程 y-2=k(x-3)中,令 y=0,得点 R 的坐标为? 1 3k-2 6k-4 (3k-2) ∴△QOR 的面积 S= · · = 2 , 2 k k-2 k -2k 变形得(S-9)k2+(12-2S)k-4=0,
2

2 2 因为 S≠9,所以判别式 Δ≥0,即(12-2S) +16(S-9)≥0,化简,得 S -8S≥0, 当且仅当 k=-2 时,S 取得最小值 8,此时直线 l 的方程为 y-2=-2(x-3), 即 2x+y-8=0. 综上,当△QOR 的面积最小时,直线 l 的方程为 2x+y-8=0. 说明:直线方程是平面解析几何的基础内容,该考点属于高考必考内容,且要求较高,均属 理解、掌握的内容.纵观近几年的高考试题,一般以填空题的形式出现.求直线的方程要充 分利用平面几何知识,采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法;平行与垂直是平面内 两条直线特殊的位置关系,高考一般考查平行或垂直的应用. 基本策略:(1) 求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法时,要注意方程的 选择,用点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,可以设直线 l:x=ky+m, 不能平行于 x 轴的直线,防止丢解.另外,解题时认真画图,有助于快速准确地找到解题思 路. (2) 求最值的问题,可先适当选取自变量,其次建立目标函数,再次是求最值,最后讨论 何时取得最值. 基本题型二:圆的方程及圆的性质问题 例 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接 点 M, N 均在直线 x=5 上. 圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O, 半径为 r1=13; 圆弧 C2 过点 A(29,0). (1) 求圆弧 C2 所在圆的方程;
2

(2) 曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA= 30PO ?若存在,指出有几个这样的点;若不 存在,请说明理由; 解析:(1) 由题意知,圆弧 C1 所在圆的方程为 x2+y2=169. 当 x=5 时,y=± 12,所以点 M(5,12),N(5,-12). 由对称性知,圆弧 C2 所在圆的方程的圆心在 x 轴上. 设圆弧 C2 所在圆的方程为(x-a)2+y2=r2 2,将 M(5,12), A(29,0) 代入,得
2 2 ? ? -a +144=r2, ? 解得 2 2 ? -a =r2, ?

? ? ? ? ?

a=14, r2=15.

故圆弧 C2 所在圆的方程为(x-14)2+y2=225,即 x2+y2-28x-29=0. 2 (2) ①如果点 P 在圆弧 C1 上,设 P(x0,y0)(-13≤x0≤5),则 x2 0+y0=169.
2 2 2 2 由 PA= 30PO,得(x0-29)2+y2 0=30(x0+y0),即 x0+y0+2x0-29=0, 所以 169+2x0-29=0,解得 x0=-70,与-13≤x0≤5 矛盾; ②如果点 P 在圆弧 C2 上,设 P(x0,y0)(5≤x0≤29),则(x0-14)2+y2 0=225, 2 2 由 PA= 30PO,得(x0-29)2+y2 0=30(x0+y0),解得 x0=0,与 5≤x0≤29 矛盾. 综上所述,曲线 C 上不存在点 P,使 PA= 30PO. 说明:对于圆的方程,高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式,利用待定系数法求

出圆的方程,并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题.该部分在高考中常以填空题的 形式直接考查,或是在解答题的综合考查. 基本策略:求圆的方程有两类方法: (1)几何法:通过研究圆的几何性质、直线和圆、圆和圆的位置关系,求得圆的基本量(圆心、 半径),进而得到圆的方程. (2)代数法:用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是:①根据题意选择方程的形式—— 标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线,故设标准形式较简单);②利用条件列出关 于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组;③解出 a,b,r 或 D,E,F,代入标准方程或一般方程. 基本题型三:直线与圆的位置关系 例 3 如图所示, 已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7 =0 相切,过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点, Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程; (2)当 MN=2 19时,求直线 l 的方程; → → (3)B Q · B P 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说 明理由. 解 (1)设圆 A 的半径为 R. ∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切,

3

|-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0.连结 AQ,则 AQ⊥MN. ∵MN=2 19,∴AQ= 20-19=1.由 AQ= ∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. → → → → → → → → → → → → → (3)∵AQ⊥BP,∴AQ·BP=0.∴BQ·BP=(BA+AQ)·BP=BA·BP+AQ·BP=BA·BP. → → 5 5 -2,- ?.则BP=?0,- ?,又BA=(1,2), 当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P? 2? 2? ? ? → → → → ∴BQ· BP=BBA· BP=-5. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2). 由?
? ? ? ?

|k-2|
2

3 =1,得 k= . 4 k +1

y=k?x+2?, x+2y+7=0

解得 P?

?-4k-7, -5k ?.,∴BP=? -5 , -5k ?. ? ?1+2k 1+2k? ? 1+2k 1+2k? ? ?



→ → → → -5 10k ∴BQ· BP=BA· BP= - =-5. 1+2k 1+2k → → → → 综上所述,BQ· BP是定值,且BQ· BP=-5. 说明:弦长问题是高考命题的热点,同时,对于这部分知识,高考常有创新,如与向量知识 结合等.层次要求较高,从近年来的命题趋势看,命题形式以填空题为主,在复习时,要熟 练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角三角形,从而准确地解答问题. 基本策略:(1)直线和圆的位置关系常用几何法,即利用圆的半径 r,圆心到直线的距离 d 及 l 半弦长 ,构成直角三角形关系来处理. 2 (2)要注意分类讨论, 即对直线 l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究, 以防漏解或 推理不严谨. 基本题型四:直线与圆的综合应用问题 例4 如图所示,已知直线 l : y ? x ,圆 C1 的圆心为(3,0) ,且经过点 A ? 4,1? .

(1) 求圆 C1 的方程;

4

(2) 若圆 C2 与圆 C1 关于直线 l 对称, 点 B、 D 分别为圆 C1、C2 上任意一点, 求 | BD | 的 最小值; (3) 已知直线 l 上一点 M 在第一象限,两质点 P、Q 同时从原点出发,点 P 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴正方向运动, 点 Q 以每秒 2 2 个单位沿射线 OM 方向运动, 设运动时间为 t 秒。问:当 t 为值时直线 PQ 与圆 C1 相切?

说明:直线与圆的综合应用问题上高中一类重要问题,常常以解答题形式出现,常将直线与 圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇,求解参数、函数最值、圆的方程问题, 这些问题是探索性问题、证明问题、求值问题等。因此研究此类问题就显得非常重要. 基本策略:对这类问题的求解,首先,我们要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深 入联系;其次,要对问题的条件进行全方位的审视,特别是题中各个条件之间的相互关系及 隐含条件的挖掘;再次,要掌握解决问题常常使用的思想方法,如数形结合、化归转化、待 定系数、分类讨论等思想方法;最后,要对求解问题的过程清晰书写,准确到位。 三、课后检测 1、设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的

5

______________条件. 2、 已知 A(-1,1), B(3,1), C(1,3), 则△ABC 的 BC 边上的高所在直线的方程为_____________. 3、自点 A ? ?1, 4? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线,则切线 l 的方程为 .

4.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线的方程为____________. 5、若圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 与圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程
2 2



.

π 6、若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实 2 数 a=________. 7、若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是____________. 8、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 9、已知集合 A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|x2+y2≤r2,r>0},若“点(x,y)∈A”是“点 (x,y)∈B”的必要不充分条件,则 r 的最大值是________. 10、在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 O 为圆心的圆与直线 l : y ? mx ? ? 3 ? 4m ?

? m ? R ? 恒有公共点,且要求使圆 O 的面积最小.
(1)写出圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A, B 两点,圆内动点 P 使 PO ? PA ? PB ,求 PA ? PB 的取值范 围.
2

11. 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有 PM= PO,求使得 PM 取得最小值的点 P 的坐标.
2 12、已知圆 M : x ? ? y ? 4 ? ? 4 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 是直线 l 上一动点, 2

过点 P 作圆的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . (1)当 P 的横坐标为

16 时,求∠ APB 的大小; 5
6

(2)求证:经过 A、P、M 三点的圆 N 必过定点,并求出所以定点的坐标. (3)求线段 AB 长度的最小值.

第二课时

椭圆、双曲线、抛物线

教学目标:在 2013 年的备考中,需要关注: (1)圆锥曲线基本量之间的关系; (2)圆锥曲线的标准方程和基本性质的应用,重点掌握运用待定系数法确定圆锥曲线 的标准方程; (3)直线和圆锥曲线的关系,其中椭圆是需要重点关注的内容; (4)与圆锥曲线有关的定点、定值问题。 一、基础回顾: 1、以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方程为______.

2、已知椭圆的标准方程为 合为 。

x2 y2 ? n ? 1? n ? N ? ? ,若椭圆的焦距为 2 5 ,则 n 的取值集 6n ? 3 2

3、点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为

4、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 , F2 ,点 P 在该椭圆上.若 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 , 4 2

则△ PF 1F2 的面积是______.

5、若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 24 ? 0 的圆心,且虚 a2 b2

轴长为 6 ,则双曲线的离心率为 x2 y2 6、设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)恒过定点 A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值是 a b ________. 二、典型问题 基本题型一:圆锥曲线的定义及方程 x2 y2 例 1 已知二次曲线 Ck 的方程: + =1. 9-k 4-k (1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件; (2)若双曲线 Ck 与直线 y=x+1 有公共点且实轴最长,求双曲线方程; (3)m、n 为正整数,且 m<n,是否存在两条曲线 Cm、Cn,其交点 P 与点 F1(- 5,0), → → F2( 5,0)满足PF1· PF2=0?若存在,求 m、n 的值;若不存在,说明理由.
7

? ?9-k>0 解析: (1)当且仅当? ,即 k<4 时,方程表示椭圆. ?4-k>0 ?

当且仅当(9-k)(4-k)<0,即 4<k<9 时,方程表示双曲线. y=x+1 ? ? 2 (2)解法一:由? x 化简得,(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0 y2 + = 1 ? ?9-k 4-k ∵Δ≥0,∴k≥6 或 k≤4(舍) ∵双曲线实轴最长,∴k 取最小值 6 时,9-k 最大即双曲线实轴最长, x2 y2 此时双曲线方程为 - =1. 3 2 x2 y2 解法二:若 Ck 表示双曲线,则 k∈(4,9),不妨设双曲线方程为 2- =1, a 5-a2 y=x+1 ? ? 2 联立?x 消去 y 得,(5-2a2)x2-2a2x-6a2+a4=0 y2 = 1 2- 2 ? ?a 5-a ∵Ck 与直线 y=x+1 有公共点,∴Δ=4a4-4(5-2a2)(a4-6a2)≥0, 即 a4-8a2+15≥0,∴a2≤3 或 a2≥5(舍), x2 y2 ∴实轴最长的双曲线方程为 - =1 3 2 x2 y2 解法三:双曲线 + =1 中 c2=(9-k)+(k-4)=5,∴c= 5,∴F1(- 5,0), 9-k 4-k 不妨先求得 F1(- 5,0)关于直线 y=x+1 的对称点 F(-1,1- 5), 设直线与双曲线左支交点为 M,则 2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MF|≤|FF2|= ?-1- 5?2+?1- 5?2=2 3 x2 y2 ∴a≤ 3,∴实轴最长的双曲线方程为 - =1. 3 2 (3)由(1)知 C1、C2、C3 是椭圆,C5、C6、C7、C8 是双曲线,结合图象的几何性质,任意 两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点 设|PF1|=d1,|PF2|=d2,m∈{1,2,3},n∈{5,6,7,8} → → 则根据椭圆、双曲线定义及PF1· PF2=0(即 PF1⊥PF2),应有

?d +d =2 9-m ?|d -d |=2 9-n ?d +d =20
1 2 1 2 1 2 2 2

,所以 m+n=8.

?m=1 ?m=2 ?m=3 ? ? ? 所以这样的 Cm、Cn 存在,且? 或? 或? ?n=7 ?n=6 ? ? ? ?n=5

说明: 圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本, 利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲
8

线的一个重要命题点, 在历年的高考试题中曾多次出现. 圆锥曲线的标准方程是用代数方 法研究圆锥曲线的几何性质的基础, 高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种: 一是在 解答题中作为试题的入口进行考查; 二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考 查. 基本策略:(1)椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点,是画图的依据和基础,而定义 中的定值是求标准方程的基础,在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵 活.已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解. (2)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆 在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成 mx2+ny2=1 (mn≠0),这样可以避免对参数的讨 论.如用待定系数法求解圆锥曲线的标准方程的方法时要“先定型,后计算”.所谓“定型”, 是指确定类型,也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,抛物线的焦 点是在 x 轴的正半轴、负半轴,还是 y 轴的正半轴、负半轴,从而设出相应的标准方程的形 式;“计算”就是指利用待定系数法求出方程中的 a2、b2、p 的值,最后代入写出椭圆、双曲 线、抛物线的标准方程. 基本题型二:圆锥曲线的几何性质 例 2 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线 段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左 侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(1)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(2)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 解: (1)设 C1 的方程为

x2 x2 2 ? y 2 ? 1,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 . ? y ? 1 ,C 的方程为 2 2 2 b a a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 , 2 a

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

? C2 的方程为 a2 x2 ? y2 ? 1 .
当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) . 2 2 2 2a 2
5 1 a 5 1 ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ,所以, 2 4 2a 2 4

又? AC ?

9

? C1 ,C2 的方程分别为
2

x2 ? y 2 ? 1, 4 x 2 ? y 2 ? 1 . 4
1 1 ? m 2 ,m) . a

(2)A(- a 1 ? m ,m), B(OB∥AN,? kOB ? k AN ,

?

m ? 1 1 ? m2 a

?

m ?1 ?a 1 ? m
2

,? m ?

1 . a ?1
2

e2 ?

a2 ?1 1 ? e2 1 2 a ? m ? , ? , . ? 1 ? e2 a2 e2 1 ? e2 2 ? 1,? ? e ? 1. 2 e 2

0 ? m ? 1 ,? 0 ?

说明: 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容, 主要考查椭圆与双曲线的离心率的 求解、双曲线的渐近线方程的求解.试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位 置关系等为主进行命题. 基本策略:研究圆锥曲线的几何性质,实质是求参数 a、b、c 或者建立 a、b、c 的关系式(等 式或不等式),然后根据概念讨论相应的几何性质.特别求离心率,其法有三:一是通过已 知条件列方程组,解出 a , c 的值;二是由已知条件得出关于 a , c 的二元齐次方程,然后转化 为关于离心率 e 的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率。 基本题型三:直线与椭圆的位置关系 例 3 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB 解析: (1)M(-2,0),N(0, ? 2 ), M、N 的中点坐标为(-1, ?

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原 4 2

y

P
M

O

C

B

A

N

2 2 ),所以 k ? 2 2

10

(2)由

?

y ?2 x x? 2 4 2 4 2 y 3 即: ? x 2 ? 2 y 2 ? 4 得 P( , ), A( ? , ? ) , C ( , 0) ,AC 方程:

2

3 3

3

3

3

?

4 3

2 2 ? ? 3 3

2 4 2 ? ? 2 3 3 3 2 2 y ? x ? ,所以点 P 到直线 AB 的距离 d ? ? 3 3 2
(3)法一:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C( x0 ,0) , A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0 , 又因为点 P、B 在椭圆上, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

?

x0 2 y0 2 x2 y2 x ?x ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: k PB ? ? 0 1 4 2 4 2 2( y0 ? y1 )
y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )

? kPAkPB ?
? PA ? PB

法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A,B中点N(x 0 ,y0 ),则P(-x1, ? y1 ),C(-x1,0) , A、C、B 三点共线,?

y2 y ?y y ? 2 1 ? 1 ? k AB , 又因为点 A、B 在椭圆上, x2 ? x1 x2 ? x1 2 x1

x2 2 y2 2 x12 y12 y 1 ? ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减得: 0 ? ? , 4 2 4 2 x0 2k AB
? kON kPA ? y0 y1 1 ?? ? 2k AB ? ?1 , ON PB,? PA ? PB x0 x1 2k AB

说明: 近几年江苏高考试卷圆锥曲线在解答题考查以直线与椭圆圆的位置关系为核心, 呈现 范围、几何位置、最值、定点定值、存在性方式,注重运算求解能力和探究问题;在第二轮 复习要熟练掌握通性通法和基本知识。 基本策略: 直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法, 即将直线的方程与圆锥曲线 的方程联立, 根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系. 若与圆锥曲线的弦的中 点有关的问题除了可以联立方程利用根与系数的关系外,还可以利用“点差法”,即设出弦的 两个端点, 并将其代入圆锥曲线方程作差分解因式, 注意在作差的过程中要与直线的斜率联 系起来,这样可以简化运算.对于椭圆,有如下结论: (1)内接矩形最大面积: ; ,则
11

(2)P,Q 为椭圆上任意两点,且



(3)当点

与椭圆短轴顶点重合时 最大; 设而不求(代点相减法)——处理弦中点与直线斜率问题 步骤如下: 、 中点为 ,

x2 y 2 (4)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,①设点 a b
②作差得

; k AB kOM ? ?

b2 ; a2

(5)若 M , N 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上关于原点对称两点,P 为椭圆上动点(不同于 a 2 b2 b2 2 = e ? 1 ,特殊地,若 A1 , A2 是椭圆两长轴的端点,P 为椭圆上 a2

,则 kPM ? kPN ? ? M, N )

动点,则 kPA1 ? k PA2 ? ?

b2 2 = e ? 1 .等 a2

基本题型四:圆锥曲线中定点、定值问题 例 4 已知椭圆 C:

x2 y 2 F2,且椭圆 C 过 ? ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右焦点分别为 F1, a 2 b2

4 b 点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其 到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y A P F1 O
1

F2

x

4 b 16 1 解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以 2+ =1,解得 a2=2, 3 3 9a 9

(例 4 图)

b b 3 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b2=c(4?3c). c4 ?c 3 x2 而 b2=a2?c2=2?c2,所以 c2?2c+1=0,解得 c2=1,故椭圆 C 的方程是 +y2=1. 2 (2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.
12

因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 △=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0,即 1+2k2=p2. 设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 |ks+p| |kt+p| |k2st+kp(s+t)+p2| ? 2 = =1, k2+1 k2+1 k +1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
?st+1=0, ?s=1 ?s=?1 由(*)恒成立,得? 解得? ,或? , 而(**)不恒成立. ?t=?1 ?t=1 ?s+t=0.

②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. 说明:圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点,题型以解答题为主,解决的基本思想从 变量中寻求不变,即先用变量表示要求的量或点的坐标,再通过推理计算,导出这些量或点 的坐标和变量无关. 基本策略: 定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题, 基本思想是使用参数表示 要解决的问题, 证明要解决的问题与参数无关. 在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. 另外,对于某些定点问题的证明,可以先通过特殊情形探求定点坐标,然后对一般情况进行 证明,这种方法在填空题中更为实用. 三、课后检测

1、已知

分别为椭圆

的左、右两个焦点,

的周长为 8。

则实数 的值为 2、抛物线 y=ax2 的准线方程是 y-2=0,则 a 的值是________. x2 y2 3、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直 a b → → 线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是________. x2 y2 4、若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为________. 6 2 x2 y2 5、已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于点 A,B,若 AB=5, 16 9 则 AF1+BF1=________. 6、已知定点 A 的坐标为 (1, 4) ,点 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支上 4 12

13

的动点,则 PF ? PA 的最小值为



7、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 M 作 直 线 MA, MB交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 设 a 2 b2

1 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,且 k1 ? k2 ? ? , 则此椭圆的离心率 3
为___________. 8、已知抛物线 的焦点

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 与双曲线 7 9
,则△ AFK 的面积为

轴的交点为

,点

在抛物线上且

9、已知 M 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的点,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的 a2 b2

焦点 F ,圆 M 与 y 轴相交于 P, Q 两点.若 ?PQM 为锐角三角形,则椭圆的离心率的取值 范围为

x2 y 2 10、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b
左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且 AF2 ? 5 BF2 ? 0 . (1)求椭圆 E 的离心率; (2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, M 为椭圆 E 上的动点 (异于点 A 、B ) , 连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ , 设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

14

11、已知椭圆

的方程为:

,其焦点在 轴上,离心率

.

(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 满足 ,其中 M,N 是椭圆 上的点,直线 OM

与 ON 的斜率之积为

,求证:

为定值. ,使得 为定值?

(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点 若存在,给出证明;若不存在,请说明理由. 12、已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1,

2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的 3

椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 一、基础回顾: 1、答案:

x2 y 2 ? ?1 4 4

2、答案:{2,4,5} 3、答案:3 4、答案: 2 5、答案: 6、答案:

5 4
5+2

三、课后检测 1、答案:2 1 2、答案:- 8 1 3、答案: 2 4、答案:4 1 5、答案: 9

15

6、答案:9 7、答案:

6 3

8、答案:32 9、答案: ? ? 解: (1)

? 6 ? 2 5 ?1 ? , ? 2 2 ? ? ?

AF2 ? 5BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,? c ? 2 ,从而 a ? 3 , 7

左焦点 F1 ? ?2,0 ? , 椭圆 E 的方程为 b? 5,

x2 y 2 ? ? 1 .设 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? ,P ? x3 , y3 ? , 9 5

Q ? x4 , y4 ? , 则 直 线 MD 的 方 程为 x ?
5 ? x1 2 x1 ? 1 y ? y?4?0 . y12 y1

x1 ? 1 x2 y 2 ? ?1 ,整理得, y ? 1 , 代 入 椭 圆 方程 y1 9 5

y1 ? y3 ?

y1 ? x1 ? 1? x1 ? 5

, ? y3 ?

4 y1 5x ? 9 . 从 而 x3 ? 1 ,故点 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? y1 y2 ? , P? 1 , , ? .同理,点 Q ? ? . 三点 M 、 F1 、 N 共线,? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? .从而
4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y3 ? y4 x1 ? 5 x2 ? 5 k2 ? ? ? 1 2 ? ? . x3 ? x4 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5

故 k1 ?

4k 2 4 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? , l ? ? . 7 7

11、解: (1)由



,解得



故椭圆的标准方程为 (2)设 则由 , ,得

.



16





∵ 点 M,N 在椭圆 设 分别为直线

上,∴ 的斜率,由题意知,

,∴ 故



, 即 (定值)

12、解析:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0).
? ? 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 3 ? ?
2 2

2 y2 ?1. 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 . x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ?
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k2 x ? 3k2 ? 6 ? 0.

?3k1k2 2k 2 , yM ? . 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12
17

同理, xN ?

?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=
2 4 ? 6(k2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? y N = . ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) xM ? xN ?9k2 k1

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
y?

2k 2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), 2 ? 9 k k 2 ? 3k1 2 ? 3k12 2 1

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k 2 k1 3k1k 2 2k 2 x?( ? ? ), ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12
10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

y?

此时直线过定点 (0, ? 2 ) . 3 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) . 3

18


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