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2015年高三高考(文科)数学复习专题五:解析几何


平面解析几何
用代数方法研究几何图形的几何性质, 体现着数形结合的重要数学思想. 直线与圆的方 程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容,题量一般为一道解答题和两道填空题.江苏高 考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解,圆锥曲线 突出了直线与椭圆(理科有与抛物线)的位置关系,淡化了直线与双曲线的位置关系.直线 与圆锥曲线的有关问题始终是命题

的热点内容之一, 必考一道解答题. 直线与圆锥曲线所涉 及的知识点较多, 对解题能力的考查层次要求较高, 所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置 关系、定点(定值) 、最值以及参数的取值范围等. 本单元二轮专题和课时建议:
课时 第一课时 第二课时 第三课时 专题 直线与圆 椭圆、双曲线、抛物线 解析几何综合应用 内容说明(核心) 直线和圆的基本构成要素、点到直线的距离、 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆锥曲线的定义、方程及性质、直线与椭圆的 位置关系 解析几何定点与定值问题、范围与最值问题、 探索问题 备注

第一课时
教学目标:在 2013 年的备考中,需要关注:

直线与圆

(1)直线的基本概念,直线的方程,两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识; (2)活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系; (3)对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。 一、基础回顾: 1、若直线(a2+2a)x-y+1=0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是________. 2、经过 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆心,且倾斜角为
2 2

? 的直线方程为 6

.

3、直线 ax+2y+6=0 与直线 x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行,则 a=________. 4、 直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长度等于
2 2

.

5、已知圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 2 ,过原点的直线 l 与圆 C 相切,则所有切线的斜率之和 为 .
2 2

6、过点 A ? 0,6 ? 且与圆 C : x ? y ? 10x ? 10 y ? 0 切于原点的圆的方程为 二、典型问题 基本题型一:直线的概念、方程及位置问题

.

例 1 过点 P(3,2)作直线 l,交直线 y=2x 于点 Q,交 x 轴正半轴于点 R,当△QOR 面积最小 时,求直线 l 的方程. 解析: 方法一:设点 Q 的坐标为(a,2a),点 R 的坐标为(x,0),其中 x>0. 当 a=3 时,△QOR 的面积 S=9;
1

当 a≠3 时,因为 P,Q,R 三点共线, 2a-2 2 2a 所以 = ,解得 x= (a>1), 3-x a-3 a-1 1 2a2 1 ∴△QOR 的面积 S= |OR|· 2a= =2[(a-1)+ +2]. 2 a- 1 a-1 1 当且仅当 a-1= (a>1),即 a=2 时,S 取得最小值 8. a-1 此时点 Q 的坐标为(2,4),将 Q,P 两点坐标代入直线方程两点式,并整理得 2x+y-8=0. 解法二:设 l 的方程为 x=3 或 y-2=k(x-3), 当 l 的方程为 x=3 时,△QOR 的面积 S=9;
? ?y=2x, 当 l 的方程为 y-2=k(x-3)时,联立方程组? ?y-2=kx- ?



解这个方程组,得点 Q 的坐标为?

?3k-2,6k-4?. ? ? k-2 k-2 ?
3k-2 ? ? k ,0?,

在方程 y-2=k(x-3)中,令 y=0,得点 R 的坐标为? 1 3k-2 6k-4 (3k-2) ∴△QOR 的面积 S= · · = 2 , 2 k k-2 k -2k 变形得(S-9)k2+(12-2S)k-4=0,
2

2 2 因为 S≠9,所以判别式 Δ≥0,即(12-2S) +16(S-9)≥0,化简,得 S -8S≥0, 当且仅当 k=-2 时,S 取得最小值 8,此时直线 l 的方程为 y-2=-2(x-3), 即 2x+y-8=0. 综上,当△QOR 的面积最小时,直线 l 的方程为 2x+y-8=0. 说明:直线方程是平面解析几何的基础内容,该考点属于高考必考内容,且要求较高,均属 理解、掌握的内容.纵观近几年的高考试题,一般以填空题的形式出现.求直线的方程要充 分利用平面几何知识,采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法;平行与垂直是平面内 两条直线特殊的位置关系,高考一般考查平行或垂直的应用. 基本策略:(1) 求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法时,要注意方程的 选择,用点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,可以设直线 l:x=ky+m, 不能平行于 x 轴的直线,防止丢解.另外,解题时认真画图,有助于快速准确地找到解题思 路. (2) 求最值的问题,可先适当选取自变量,其次建立目标函数,再次是求最值,最后讨论 何时取得最值. 基本题型二:圆的方程及圆的性质问题 例 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接 点 M, N 均在直线 x=5 上. 圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O, 半径为 r1=13; 圆弧 C2 过点 A(29,0). (1) 求圆弧 C2 所在圆的方程;
2

(2) 曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA= 30PO ?若存在,指出有几个这样的点;若不 存在,请说明理由; 解析:(1) 由题意知,圆弧 C1 所在圆的方程为 x2+y2=169. 当 x=5 时,y=± 12,所以点 M(5,12),N(5,-12). 由对称性知,圆弧 C2 所在圆的方程的圆心在 x 轴上. 设圆弧 C2 所在圆的方程为(x-a)2+y2=r2 2,将 M(5,12), A(29,0) 代入,得
2 2 ? ? -a +144=r2, ? 解得 2 2 ? -a =r2, ?

? ? ? ? ?

a=14, r2=15.

故圆弧 C2 所在圆的方程为(x-14)2+y2=225,即 x2+y2-28x-29=0. 2 (2) ①如果点 P 在圆弧 C1 上,设 P(x0,y0)(-13≤x0≤5),则 x2 0+y0=169.
2 2 2 2 由 PA= 30PO,得(x0-29)2+y2 0=30(x0+y0),即 x0+y0+2x0-29=0, 所以 169+2x0-29=0,解得 x0=-70,与-13≤x0≤5 矛盾; ②如果点 P 在圆弧 C2 上,设 P(x0,y0)(5≤x0≤29),则(x0-14)2+y2 0=225, 2 2 由 PA= 30PO,得(x0-29)2+y2 0=30(x0+y0),解得 x0=0,与 5≤x0≤29 矛盾. 综上所述,曲线 C 上不存在点 P,使 PA= 30PO. 说明:对于圆的方程,高考要求能根据所给的条件选取恰当的方