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数列求和专题训练 (1)


一、错位相减法 设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ?是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解,均 可用错位相减法。 例 1;设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn

} 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

例 2;在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;

二、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] 等。 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

例 3:; 求数列

数列求和(错位相减、裂项相消法)专题训练
1、 求数列{n ? 2 }前n项和.
n

2、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

3、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

4、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

5、已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 1 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的 20 an an ?1

最小正整数 m;

6、 (本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

?

,点

(n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n

数列求和专项练习
1、 求数列 {? 2n ?1? ? 3 }前n项和.
n

1 3 5 7 2n ? 1 2、求数列 , , , , ??? , n 的前 n 项和. 2 4 8 16 2

3、求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

4、已知数列 ?an ?的通项公式为 a n ?

1 n ?1 ? n

求它的前 n 项的和.

5、已知数列{ an }满足: a1 ? 3a2 ? ? ? (2n ? 1)an ? (2n ? 3) ? 2n?1 , 数列 {bn }的前 n 项和

S n ? 2n 2 ? n ? 2.求数列 {an ? bn }的前n项和Wn .

6、在数列 ?an ?中, a1 ? 1 , an ? Sn 的表达式.

2 ?1? 2S n (n ? 2). 证明数列 ? ? 是等差数列,并求出 2S n ? 1 ? sn ?

7、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (1)求 a n 及 S n ; (2)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

8、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, S n ? an ( S n ? ) ; (1)求 Sn , an (2)求 ?Sn ? 的前 n 项和 Tn

1 2

9、已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? ?1 ? (1)设 bn ?

? ?

1? n ?1 ? an ? n n? 2

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式 n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

10、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (1)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (2)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

11、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

12、 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ?

m 1 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的 20 an an ?1

最小正整数 m;

13、已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) , 2

(I)求 an 与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

14、本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

?

,点

(n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n

15、数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1,2S n ? (n ? 1)an , (I)求 an 与 a n ?1 的关系式,并求{ an }的通项公式; (II)求和 Wn ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . a ? 1 a3 ? 1 a n ?1 ? 1
2 2

16、 (1)设 a1 , a2 ,?, an 是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将 此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; d

(ii)求 n 的所有可能值. (2)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列

bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列. ?, b1,b2,

17、已知函数 f(x)=m· 2x+t 的图象经过点 A(1,1)、B(2,3)及 C(n,Sn),Sn 为数列{an}的前 n 项和,n∈N*. (1)求 Sn 及 an; (2)若数列{cn}满足 cn=6nan-n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

18、将 n2 个数排成 n 行 n 列的一个数阵: a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n … … … … … an1 an2 an3 … ann 已知 a11=2, a13=a61+1, 该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列, 每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列,其中 m 为正实数. (1)求第 i 行第 j 列的数 aij; (2)求这 n2 个数的和.


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