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山东省济宁市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省济宁市高二(上)期末数学试卷(文科)
一.选择题 1.双曲线 A.y=± B.y=± 的渐近线方程为( C.y=± ) D.y=±

2. “2b=a+c“是“a,b,c 成等差数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 3.下列说法正确的是(
2




2 2 2

A.命题“若 a>b,则 a >b ”的否命题是“若 a<b,则 a <b ” 2 2 2 2 B.命题“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题是“若 a≤b,则 a ≤b ” C.命题“? ∈R,cosx<1”的否命题是“? x0∈R,cosx0≥1” D.命题“? ∈R,cosx<1”的否命题是“? x0∈R,cosx0>1” 4.△ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a ,b,c,若 a +b ﹣c = A.30° B.60° C.120° D.150° 5. A. B.﹣ 等于( C. ) D.﹣
2 2 2

ab,则角 C 为(



6.若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最小值是(



A.6

B.3

C.

D.1

7.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.﹣11 B.﹣8 C.5 D.11
2

=(



8.数列{an}的通项公式 an=n +n, 则数列{

}的前 9 项和为(



A.

B.

C.

D.

9.下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,c<d,则 a﹣c<b﹣d B.若 a>b>0,c<d<0 则 ac<bd C.若 a>b>0,c<0,则 >< D.若 a>b>0,则 a >b
﹣a ﹣b

10.已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右

支上,且满足|PF1|= A.3 B. C.5

|,|OP|=|OF2|(O 为坐标原点) ,则双曲线 C 的离心率为( D.



二.填空题 11.已知 tanα= ,则 tan2α= .

12.△ABC 中,AC=

,BC=

,∠B=60°,则∠A=
2

. .

13.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n,则数列{an}的通项公式 an=
2

14.已知抛物线 C:y =4x 的焦点 F,点 P 为抛物线 C 上任意一点,若点 A(3,1) ,则|PF|+|PA| 的最小值为 . 15.已知正数 a,b 满足 2a+b=ab,则 a+2b 的最小值为 .

三.解答题 16.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asinB= ( 1)求角 A 的大小; (2)若 b=1,△ABC 的面积为 ,求 a 的值.
2 2

bcosA.

17.已知 p:? x∈R,x +mx﹣m+3>0;q:? x0∈R,x0 +2x0﹣m﹣1=0,若 p∧q 为真命题,求 实数 m 的取值范围. 18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=4,S4=30. (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)设 bn=an? 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.已知函数 f(x)= x.

(1)求函数 f(x)的最小正周期;[来源:Zxxk.Com] (2)若 f( )= , ,求 cosα的值.

20.如图,某学校准备修建一个面积为 2400 平方米的矩形活动场地(图中 ABCD)的围栏,按 照修建要求,中间用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形,EFCD 为正方形,设 AB=x 米,已知围墙 (包括 EF)的修建费用均为每米 500 元,设围墙(包括 EF)的修建总费用为 y 元. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,围墙(包括 EF)的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值.

21. 已知 F(﹣ c, 0) , F( 0) 分别是椭圆 M: 1 2 c,

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, 且|F1F2|=2



离心率 e=



(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)过椭圆右焦点 F2 作直线 l 交椭圆 M 于 A,B 两点. ①当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 AB 的长; ②若椭圆 M 上存在点 P,使得以 OA,OB 为邻边的四边形 OAPB 为平行四边形(O 为坐标原点) , 求直线 l 的方程.

2014-2015 学年山东省济宁市高二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1. (5 分) (2014 秋? 济宁期末)双曲线 A.y=± B.y=± C.y=± D.y=± 的渐近线方程为( )

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y= x,求出 a,b 即可得到渐近线方程.

解答: 解:双曲线 由于渐近线方程为 y= 即为 y=± x.

的 a=3,b=4, x,[来源:Zxxk.Com]

故选 A.[来源:学科网 ZXXK] 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题. 2. “2b=a+c“是“a,b,c 成等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义进行判断即可. 解答: 解:由 2b=a+c 得 b﹣a=c﹣b,即 a,b,c 成等差数列, 若 a,b,c 成等差数列,则 b﹣a=c﹣b, 即“2b=a+c“是“a,b,c 成等差数列”的充要条件, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据等差数列的定义是解决本题的关键. 3.下列说法正确的是(
2


2 2 2

A.命题“若 a>b,则 a >b ”的否命题是“若 a<b,则 a <b ” 2 2 2 2 B.命题“若 a>b,则 a >b ” 的逆否命题是“若 a≤b,则 a ≤b ” C.命题“? ∈R,cosx<1”的否命题是“? x0∈R,cosx0≥1”

D.命题“? ∈R,cosx<1”的否命题是“? x0∈R,cosx0>1” 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根查否命题和逆否命题的定义即可判断 解答: 解:选项 A,命题“若 a>b,则 a >b ”的否命题是“若 a≤b,则 a ≤b ”故错误, 2 2 2 2 选项 B,命题“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题是“若 a ≤b ,则 a≤b”故错误, 选项 C,D 命题“? ∈R,cosx<1”的否命题是“? x0∈R,cosx0≥1”故 C 正确,D 错误 故选:C 点评: 本题以命题为载体,考查否命题和逆否命题,属于基础题 4.△ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a +b ﹣c = ab,则角 C 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosC,把已知的等式代入求出 cosC 的值,由 C 为三角形的内角, 利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数. 解答: 解:∵a +b ﹣c = ∴根据余弦定理得:cosC=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ab, = ,

又∵C 为三角形的内角, 则∠C=30°. 故选:A. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,利用了整体代入的思想,余弦定理 很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 5. A. B.﹣ 等于( C. ) D.﹣

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用 tan45°=1 和两角和的正切公式化简 解答: 解: = 即可. =tan(45°+75°)

=tan120°= , 故选:B. 点评: 本题考查两角和的正切公式,以及特殊角的正切值: “1”的代换问题,属于基础题.

6.若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最小值是(



A.6

B.3

C.

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截 距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可.

解答: 解:变量 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=2x+y,

画出图形: 点 A(1,1) ,zA=3, B(0,1) ,zB=2×0+1=1 C(3,0) ,zC=2×3+0=6, z 在点 B 处有最小值:1, 故选:D.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得 到目标函数的最优解,是常用的一种方法.

7.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.﹣11 B.﹣8 C.5 D.11 考点: 等比数列的性质. 专题:[来源:学科网 ZXXK] 转化思想. 分析: 由等比数列的前 n 项和公式

=(



,故

=

=1+q ,由此知,应该

2

有方程 8a2+a5=0 求出 q 的值,再代入求值,选出正确选项 解答: 解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0 4 ∴8a1q+a1q =0 又数列是等比数列,首项不为 0 ∴8q+q =0,又 q 不为零,故有 q=﹣2
4



=

=

=5

故选 C 点评: 本题考查等比数列的性质,解题的关键是由 8a2+a5=0 求出公比 q 的值,再由等比数列 的求和公式将 用 q 表示出来,即可求出值,本题考查了转化的思想及计算能力,

8.数列{an}的通项公式 an=n +n,则数列{ A. B. C. D.

2

}的前 9 项和为(



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 an=n +n,可得 解答: 解:∵an=n +n, ∴ 则数列{ =1﹣ = . = }的前 9 项和= , + …+
2 2

=

,利用“裂项求和”即可得出.

故选:A. 点评: 本题考查了“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 9.下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,c<d,则 a﹣c<b﹣d B.若 a>b>0,c<d<0 则 ac<bd C.若 a>b>0,c<0,则 >< D.若 a>b>0,则 a >b
﹣a ﹣b

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由不等式的可乘性和可加性,即可判断 A;由不等式的可乘性,以及正向不等式的可 积性,即可判断 B; 由不等式的可乘性和反比例函数的性质,即可判断 C;运用举反例的方法,比如 a=1,b= , 即可判断 D. 解答: 解:对于 A.若 a>b,c<d,即﹣c>﹣d,则有 a﹣c>b﹣d,则 A 错; 对于 B.若 a>b>0,c<d<0,则﹣c>﹣d>0,则有﹣ac>﹣bd,即 ac<bd,则 B 对; 对于 C.若 a>b>0,c<0,则 0< < ,即有 > ,则 C 错;

对于 D.若 a>b>0,则可举 a=1,b= ,则 a =1,b =

﹣a

﹣b

,显然 1<

,则 D 错.

故选 B 点评: 本题考查不等式的性质及运用,考查反例法判断命题的真假,考查运算能力,属于基 础题和易错题.

10.已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右

支上,且满足|PF1|= A.3 B. C.5

|,|OP|=|OF2|(O 为坐标原点) ,则双曲线 C 的离心率为( D.



考点: 双曲线的简单性质. 专 题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用双曲线的定义,结合条件可得|PF1|=8a,|PF2|=6a,再由|OP|=|OF2|,得到∠ F1PF2=90°,由勾股定理及离心率公式,计算即可得到. 解答: 解:由于点 P 在双曲线的右支上, 则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a, 又|PF1|= |PF2|, 解得|PF1|=8a,|PF2|=6a, 由于△PF1F2 中,|OP|=|OF2|=|OF1|, 则∠F1PF2=90°, 2 2 2 由勾股定理得|PF1| +| PF2| =|F1F2| , 2 2 2 即有 64a +36a =4c , 即有 c=5a, 即 e= =5. 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查双曲线的离心率的求法,同时考查勾股定 理的运用,考查运算能力,属于基础题. 二.填空题 11.已知 tanα= ,则 tan2α= .

考点: 二倍角的正切. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用二倍角的正切公式,求得 tan2α的值.

解答: 解:∵tanα= ,∴tan2α=

=

= ,

故答案为: 点评: 本题主要考查二倍角的正切公式的应用,属于基础题.

12.△ABC 中,AC=

,BC=

,∠B=60°,则∠A=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由已知及正弦定理可得 sinA= 解答: 解:∵由正弦定理可得:sinA= 又∵AC= >BC= , ∴∠B=60°>∠A, ∴∠A= . . ,又 AC= = >BC= ,由大边对大角即可求∠A. = ,

故答案为:

点评: 本题主要考查了正弦定理、大边对大角等知识的应用,属于基础题 . 13.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n,则数列{an}的通项公式 an= 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件利用公式 解答: 解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n, ∴a1=S1=1+1=2, 2 2 an=Sn﹣Sn﹣1=(n +n)﹣[(n﹣1) +(n﹣1)]=2n, 当 n=1 时,上式成立, ∴an=2n. 故答案为:2n. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意公式 的合理运用.
2 2

2n .

,能求出 an.

14.已知抛物线 C:y =4x 的焦点 F,点 P 为抛物线 C 上任意一点,若点 A(3,1) ,则|PF|+|PA| 的最小值为 4 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.

2

分析: 设点 P 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求 |PA|+|PD|取得最小,进而可推断出当 D,P,A 三点共线时|PA|+|PD|最小,答案可得. 解答: 解:抛物线 C:y =4x 的准线为 x=﹣1. 设点 P 在准线上的射影为 D, 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|, 要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小. 当 D,P,A 三点共线时,|PA|+|PD|最小,为 3﹣(﹣1)=4. 故答案为:4.
2

点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当 D,P,A 三点共线 时|PA|+|PD|最小,是解题的关键. 15.已知正数 a,b 满足 2a+b=ab,则 a+2b 的最小值为 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵正数 a,b 满足 2a+b=ab, ∴ =1. =5+ =9,当且仅当 a=b=3 时取等号, 9 .

则 a+2b=(a+2b)

因此 a+2b 的最小值为 9. 点评: 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题. 三.解答题 16.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asinB= (1)求角 A 的大小; (2)若 b=1,△ABC 的面积为 ,求 a 的值.

bcosA.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理 化简已知条件,通过三角形内角求解 A 的大小即可. (Ⅱ)由三角形面积公式先求 c 的值,即可直接利用余弦定理求解. 解答: 解: (Ⅰ)asinB= bcosA,由正弦定理可得 sinAsinB= sinBcosA, ∵B 是三角形内角,∴sinB≠0, ∴可解得:tanA= ,A 是三角形内角,

∴A=

. = = ,

(Ⅱ)∵b=1,S△ABC= ∴可解得:c=4,

∴由余弦定理可知:a =b +c ﹣2bccosA…(9 分) =1+16﹣2×1×4× =13…(11 分) ∴a= …(12 分) 点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力,属于中档题. 17.已知 p:? x∈R,x +mx﹣m+3>0;q:? x0∈R,x0 +2x0﹣m﹣1=0,若 p∧q 为真命题,求 实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系化简命题 p,q,由 p∧q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题,即可得出. 解答: 解:p:? x∈R,x +mx﹣m+3>0,则△=m ﹣4(3﹣m)<0,解得﹣6<m<2; 2 q:? x0∈R,x0 +2x0﹣m﹣1=0,则△1=4﹣4(﹣m﹣1)≥0,解得 m≥﹣2. 若 p∧q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题, ∴ ,
2 2 2 2

2

2

2

解得﹣2≤m<2. ∴实数 m 的取值范围是﹣2≤m<2. 点评: 本题考查了一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系、复合命题的判定, 考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=4,S4=30. (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)设 bn=an? 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得 出; (2)bn=an? 2 =
n+1

? 2 .利用“错位相减法” 、等比数列的前 n 项和公式即可得出.

n+1

解答: 解: (1)设差数列{an}的公差为 d,∵a1=4,S4=30. ∴ 解得 d= . =30,

∴an=a1+(n﹣1)d=4+ ∴an= .
n+1

=



(2)bn=an? 2 =

? 2 . , +…+(7n﹣2)×2 +(7n+5)×2 ]
n n+1

n+1

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=

∴﹣Tn=

+…+7×2 ﹣(7n+5)×2 ]

n

n+1

=

= ∴Tn=

, .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法” ,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 f( )= ,

x.

,求 cosα的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先利用三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函 数的正周期. (2)利用(1)的函数关系式,对角进行恒等变形,进一步利用公式的展开式求出结果. 解答: 解: (1)f(x)= = = 所以: (2)由(1)得:f(x)= x.

所以: 则: 因为: 所以: 则: cosα= = 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,利用正弦型函数的周期公式求函 数的周期,角的恒等变化,求函数的值.属于基础题型. 20.如图,某学校准备修建一个面积为 2400 平方米的矩形活动场地(图中 ABCD)的围栏,按 照修建要求,中间用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形,EFCD 为正方形,设 AB=x 米,已知围墙 (包括 EF)的修建费用均为每米 500 元,设围墙(包括 EF)的修建总费用为 y 元. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,围墙(包括 EF)的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值. =cos( )cos +sin( )sin ,

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用;不等式的实际应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据面积确定 AD 的长,利用围墙(包括 EF)的修建费用均为 500 元每平方米, 即可求得函数的解析式; (2)根据函数的特点,满足一正二定的条件,利用基本不等式,即可确定函数的最值. 解答:解: (1) 设 AD=t 米, 则由题意得 xt=2400, 且 t>x, 故 t= (4 分) 则 y=500(3x+2t)=500(3x+2× ) , ) (0 =120000, ) .[来源:Z.xx.k.Com] >x, 可得 0 , …

所以 y 关于 x 的函数解析式为 y=1500(x+ (2)y=1500(x+ )≥1500×2

当且仅当 x=

,即 x=40 时等号成立.

故当 x 为 40 米时,y 最小.y 的最小值为 120000 元. 点评: 本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,确定函数模型是关键.

21. 已知 F(﹣ c, 0) , F( 0) 分别是椭圆 M: 1 2 c,

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, 且|F1F2|=2



离心率 e=



(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)过椭圆右焦点 F2 作直线 l 交椭圆 M 于 A,B 两点. ①当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 AB 的长; ②若椭圆 M 上存在点 P,使得以 OA,OB 为邻边的四边形 OAPB 为平行四边形(O 为坐标原点) , 求直线 l 的方程. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)运用离心率公式和 a,b,c 的关系,可得 a,b,进而得到椭圆方程; (2)①设直线 l:y=x﹣ ,代入椭圆方程,求出方程的根,即可求线段 AB 的长; ②假设椭圆上存在点 P(m,n) ,使得以 OA、OB 为邻边的四边形 OAPB 为平行四边形.设直线 方程为 y=k(x﹣ ) ,代入椭圆方程,运用韦达定理,结合 = + ,则 m=x1+x2,n=y1+y2,

求得 P 的坐标,代入椭圆方程,即可得到 k,即可判断 P 的存在和直线的方程. 解答: 解: (1)由题意,c= ∴a=2,b=1, ∴椭圆 M 的标准方程为 ; , = ,

(2)①可设直线方程为 y=x﹣ 2 代入椭圆方程可得 5x ﹣8 x+8=0 ∴x= ∴弦 AB 的长为 = ;

②假设椭圆上存在点 P(m,n) ,使得以 OA、OB 为邻边的四边形 OAPB 为平行四边形. 设直线方程为 y=k(x﹣ ) ,代入椭圆方程,可得(1+4k )x ﹣8 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 = + ,则 m=x1+x2,n=y1+y2,
2 2

k x+12k ﹣4=0,

2

2

x1+x2=

,x1x2=



y1+y2=k(x1+x2﹣2

)=k(

﹣2

)=

,[来源:Z.xx.k.Com]

即有 P(



) ,

代入椭圆方程可得

=1,

解得 k = ,解得 k=± 故存在点 P( 则有直线 l:y= ,﹣ x﹣

2

, ) ,或( 或 y=﹣ ,﹣ x+ ) , .

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查离心率公式和方程的运用,联立直线方程,运 用韦达定理,考查运算能力,属于中档题.


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